Leçons de niveau 12

Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés

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Barycentre de 2 points pondérés
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Chapitre no 1
Leçon : Barycentre
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Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés
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Notes de cours issues d'un cours de 1re S durant l'année scolaire 2008/2009. Le cours sur le barycentre n'est aujourd'hui plus enseigné au lycée.


On commence par rappeler une relation qui s'avèrera fort utile.

Rappel : Relation de Chasles

Quels que soient les points , et , on a .

Définition : Si désigne un point et un réel, le couple est appelé point pondéré ou point massif et on dit que est le coefficient ou la masse de .

Théorème et définition : Soient et deux points, et et deux réels tels que . Alors il existe un seul et unique point tel que l'on ait . Le point est alors appelé barycentre du système de points pondérés .

Preuve : D'après la relation de Chasles, donc :

puisque par hypothèse . Les points et , et les réels et sont connus, il déterminent donc G de manière unique par la relation vectorielle :

Conséquence : La relation obtenue précédemment montre directement que les points , et sont alignés.

Propriété : Homogénéité du barycentre :

Soit le barycentre d'un système de points pondérés . Si désigne un réel non nul alors est aussi le barycentre du système de points pondérés . Autrement dit, on ne change pas le barycentre si toutes les masses sont multipliées par un même réel non nul.

Preuve : Soit un réel non nul. Alors par définition du barycentre :

avec puisque et par hypothèse . D'où la conclusion.

Propriété fondamentale : Soient et deux points, et et deux réels tels que . Alors est le barycentre du système de points pondérés si et seulement si pour tout point  :

ou encore puisque  :

Preuve : Soit un point quelconque du plan. Alors en introduisant le ce point quelconque grâce à la relation de Chasles, on a :

Application : Coordonnées du barycentre

Soient le barycentre du système de points pondérés , et les coordonnées respectives des points et dans un repère . Alors les coordonnées de dans le repère sont données par :

et .

Preuve : est le barycentre des points donc d'après la propriété fondamentale, pour tout point  :

.

En particulier, pour , on a :

.

Puisque l'on a choisit comme étant l'origine du repère, les vecteurs , et ont pour coordonnées respectives , et . Ainsi le vecteur a pour coordonnées donc les coordonnées du vecteur , et donc du point , sont :

.

Construction du barycentre : Soit le barycentre des points . On dispose de deux méthodes pour construire . La première consiste à utiliser la relation établie au début lors de la première définition. La seconde se fait par l'utilisation de la propriété fondamentale du barycentre. Par exemple, supposons que soit le barycentre des points pondérés . - En utilisant la définition, on a :

.

Ici on a introduit, grâce à la relation de Chasles, le point dans le vecteur , mais on aurait pu aussi bien introduire le point dans le vecteur . On aurait alors obtenu :

.

En utilisant la propriété fondamentale on a, pour tout point  :

En particulier, si on a :

.

Là encore, on aurait pu choisir . On aurait alors eu :