Discussion Recherche:Cardinal quantitatif

[Début Remarque]

Plutôt que de consulter cette page de discussion qui est brouillonne, peu organisée et peu structurée, consulter :

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia

[Fin Remarque]

Liens

J'ai donné les liens concernés, de mes documents hébergés sur mon hébergeur de PDF, gratuit, mais ce dernier émet des publicités agressives et intempestives, avec des junkware(PUP) et des virus, en particulier, en utilisant le navigateur Mozilla Firefox associé au système Windows 10, mais pas, en utilisant ce même navigateur associé au système Ubuntu (Linux) : Ce qui est problématique. Déposer tout le contenu LaTeX des fichiers source de mes documents PDF, concernés, sur la Wikiversité, en effectuant toutes les modifications nécessaires, prend et prendra beaucoup de temps.~Guillaume FOUCART 22 octobre 2017 à 11:43 (UTC)

Bonjour, j'ai bien peur que vous deviez, de toute façon, transférer vos documents sur la Wikiversité. Le principe de la Wikiversité est que tout le monde puisse participer aux recherches et les améliorer. Si vos recherches sont ailleurs, et que vous vous contentiez de les désigner par des liens, les contributeurs de la Wikiversité n'ont pas la possibilité d'y participer et nous ne sommes plus dans la philosophie de la Wikiversité. Lydie Noria (discussion) 8 novembre 2017 à 15:33 (UTC)

Le transfert a été effectué et j'ai fusionné le contenu issu du fichier source LaTeX, correspondant au PDF traitant de la définition du cardinal quantitatif, avec le contenu qui était déjà présent sur la page de Recherche du Cardinal quantitatif. Reste à savoir si je dois modifier ou si je dois purger, en partie, les sections Avant propos 1, Avant propos 2, Avant propos 3 et Post propos (redondant), voire Introduction. ~Guillaume FOUCART 18 novembre 2017 à 17:22 (UTC)

Il me reste à inclure et à intégrer dans la page de recherche sur le cardinal quantitatif, la majeure partie des contenus des fichiers source LaTeX, correspondant aux documents PDF "Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(25)" et "Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de $\mathbb {R} ^{n}$(9)". J'ai aussi un document PDF de recherche intitulé "Essence, existence, puissance d'interaction (philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne), version 1(37) et (38)", mais même s'il a un léger lien avec le cardinal quantitatif, il n'a rien à faire dans la page de recherche de ce dernier.~Guillaume FOUCART 19 novembre 2017 à 12:53 (UTC)

J'aimerais avoir un ou plusieurs avis, sur mes travaux de recherche sur le cardinal quantitatif. Combien de temps faudra-t-il que j'attende ? Normalement, il suffit d'avoir, au plus, une L3 de mathématiques, pour pouvoir les comprendre (à cause du fait qu'il faut connaître quelques notions de topologie [même si les variétés ne sont pas au programme de la L3, mes travaux exigent juste qu'on sache en avoir une représentation mentale], ainsi que les bases de la théorie de la mesure), et encore. ~Guillaume FOUCART 25 novembre 2017 à 14:42 (UTC)

Michel Coste n'a mis que quelques jours pour écrire son article informel de vulgarisation, final, intitulé La saga du "cardinal" version 4. C'est sans compter, que même si ce n'est pas son champ ou son domaine de recherche, à proprement parler, que d'autres membres ou d'autres collègues de son laboratoire l'IRMAR à l'Université de RENNES 1, travaillent sur des sujets, plus ou moins, connexes et qu'ils ont pu l'en informer lors de séminaires ou de discussions informelles. Par ailleurs, Michel Coste a plus d'expérience, de confiance et d'assurance que moi : Il m'aurait, sans doute, fallu beaucoup plus de temps et d'essais-erreurs que lui, pour pouvoir produire le même article que lui. Je fus étudiant à l'Université de RENNES 1, pendant 1 an, mais je n'ai pas osé, pour autant, rencontrer Michel Coste. De plus, ce dernier est à la retraite, depuis un bout de temps, maintenant. Si j'avais su, j'aurais pu aussi tenter de rencontrer les membres qui travaillent, plus ou moins indirectement, sur le sujet. Mais, je pourrais, aussi, tenter de les contacter par email. ~Guillaume FOUCART 25 décembre 2017 à 15:54 (UTC)

Une bannière d'avertissement indique que l'hébergeur que j'utilise pour héberger mes documents PDF et en particulier ceux dont j'ai fait figurer les liens dans ma page de recherche sur le "Cardinal quantitatif", émet des publicités, des junkwares et des virus.

Quel hébergeur gratuit de documents PDF me conseillez-vous, alors ?

Guillaume FOUCART (discussion) 31 janvier 2019 à 16:08 (UTC)

L'hébergeur en question est sérieux et émet plutôt des publicités intempestives voire agressives : Pour ne pas avoir de problème, il ne faut pas cliquer sur les publicités en question et parfois fermer la fenêtre où elles s'affichent, pour faire apparaître la bonne fenêtre. Étant donné le peu de documents que j'ai hébergés et que j'héberge sur mon hébergeur de PDF, je ne vais tout de même pas payer 5€/mois, pour qu'il n'y ait plus du tout de publicités.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 mars 2020 à 12:27 (UTC)

Avis

Série de remarques 1 (sur "Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$/Partie 1")

J'aimerais avoir un avis sur et qu'on me signale les éventuelles erreurs que j'aurais commises dans la version actuelle de ma page de recherche, sur le cardinal quantitatif, voire qu'on me propose des améliorations possibles.

Remarque :

1) Si $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$ et $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow A_{n}=A}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }A_{n}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}$,

que sous certaines conditions,

notamment (Cf. les PDF de Michel Coste), en particulier,

si $A\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$,

et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$.

(Michel Coste dit plutôt : si $A\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$, et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}\in {{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$).

Je tente de faire certaines généralisations.

Cela est, probablement, toujours, vrai,

si on remplace "${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$"

par "${PV}(\mathbb {R} ^{N})$",

ou par "réunion finie de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes",

[et peut-être même, en supposant que $A$ est une réunion (dénombrable [éventuellement, nécessairement, infinie]) de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes, et $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,A_{n}$ réunion finie de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$].

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.

2) Rappel :

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ et si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ (Cf. définition).

Alors on a : Axiome ou Conjecture : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

[Début de Ancienne version d'un passage qui a été corrigé dans la version actualisée]

3) Supposons :

${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

$I\,\,({\text{par exemple}}\,\,I=\mathbb {N} )\,\,\in {\cal {P}}(B)$ (ou telle que $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$). (On a donc, si $I=\mathbb {N}$, $\sup(I)=+\infty$.)

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

Supposons de plus :

$(H_{1})$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$)"

et $(H_{2})$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$),

et telles que $\displaystyle {\exists x\in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty ,\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}=x}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$

[où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$.

[Si $I=\mathbb {N}$,

soit $\varphi _{\,}\,:\,\,I\longrightarrow I$, strictement croissante,

c'est-à-dire ${{\Big (}u_{\varphi (n)}{\Big )}}_{n\in I}$ sous-suite de ${(u_{n})}_{n\in I}$.

Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{\varphi (n)}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$.]

Supposons de plus :

$(H_{1})$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)"

et $(H_{2})$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)

et telles que $\displaystyle {\exists y\in \mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty ,\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=y}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$

[où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux réunions finies de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}C_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}D_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}}$.

A-t-on (*) $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$ ?

Supposons que : $(H_{1})\Rightarrow (H_{2})$.

Si pour tous ${(A_{n})}_{n\in I}$, ${(B_{n})}_{n\in I}$ vérifiant $(H_{1})$,

et si pour tous ${(C_{n})}_{n\in I}$, ${(D_{n})}_{n\in I}$ vérifiant $(H_{1})$,

on a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

(c'est-à-dire vérifiant (*))

Alors, on pose : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

[Fin de Ancienne version d'un passage qui a été corrigé dans la version actualisée]

Remarque :

D'après la page 2 de la source : http://www.cmap.polytechnique.fr/~lefebvre/SEMESTRE_EV2/Cours2.pdf,

$\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\uparrow {\Big [}0,1-{\frac {1}{n}}{\Big ]}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big [}0,1-{\frac {1}{n}}{\Big ]}=[0,1[}$

Donc, une limite de suite de parties de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes] (et de dimension $1$), peut ne pas être compacte.

Mais $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\downarrow {\Big [}0,1+{\frac {1}{n}}{\Big ]}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\Big [}0,1+{\frac {1}{n}}{\Big ]}=[0,1]}$.

Remarque :

Si $A$ partie bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, de classe [$C^{0}$] et [$C^{1}$ par morceaux],

et si $f\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1])-1}}={\frac {{vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}{{vol}^{1}([0,1])}}={vol}^{1}{\Big (}f({\overline {A}}){\Big )}}$.

Si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$,

cette formule n'est, vraisemblablement, plus valable,

même si on attribue $\forall B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, non bornée, à ${vol}^{1}(B)$, une valeur plus précise que $+\infty$. Guillaume FOUCART (discussion) 17 août 2021 à 16:58 (UTC)

Série de remarques 2

Remarque : Michel Coste a dit, dans ses pdf, et, en tout cas, sur Les-mathematiques.net, qu'on pouvait approcher une partie de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe $C^{1}$, par une suite de parties de ${{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$. Mais, justement, comme les parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe $C^{1}$, et les parties de ${{\mathcal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, sont aussi des parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, je me suis dit que ce que Michel Coste a dit, pouvait, vraisemblablement, s'étendre, aussi, au moins, aux parties de ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, mais je n'en suis pas totalement certain.

Remarque : Quand on parle de partie (bornée) $A$ de classe ou de régularité $X$, on veut souvent dire, par là, que son bord $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$ est de classe ou de régularité $X$. De fait, en ce sens, toute partie bornée, convexe, (connexe) est, au moins, de classe $C^{0}$. Mais est-ce que c'est dans ce sens là que je veux en parler. Comment peut-on nommer ou parler du pourtour de la partie $A$, c'est-à-dire de la partie $A\setminus {\stackrel {\circ }{A}}\in {\cal {P}}(\partial A)$, et de sa classe ou de sa régularité ? Les intervenants remarque ou egoroff ou Steven Neutral, etc ..., sur Les-mathematiques.net, disent que si on ne s'est pas intéressé, jusqu'ici, à cette partie qui certes n'a rien d'extraordinaire, du point de vue définitionnel, mais pas plus que celle de bord, c'est qu'elle est sans intérêt. Il n'empêche que beaucoup de choses, sans intérêt, par le passé, peuvent finir par trouver un jour, un intérêt, voire un grand intérêt. De plus, si on veut parler de cardinal quantitatif qui est une mesure sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, et qui ne néglige aucun point, on est amené, à considérer les parties que les intervenants egoroff ou remarque ou Steven Neutral, etc ..., sur Les-mathematiques.net, considèrent comme sans intérêt.

Remarque : Pour mesurer l'aire d'une sous-variété de dimension $2$ de $\mathbb {R} ^{3}$ (respectivement la longueur d'une sous-variété de dimension $1$ de $\mathbb {R} ^{3}$, respectivement la quantité de points d'une sous-variété de dimension $0$ de $\mathbb {R} ^{3}$), la mesure volumique de dimension $3$ ou la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{3}$, ne convient pas, il faut une mesure surfacique de dimension $2$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{2}$, (respectivement une mesure curviligne de dimension $1$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{1}$, respectivement une mesure de comptage de dimension $0$ sur $\mathbb {R} ^{3}$, ${vol}^{0}$), et je crois, sans en être certain, que la généralisation de la notion de mesure de comptage (respectivement curviligne, respectivement surfacique), etc ..., sur $\mathbb {R} ^{N}$, est une notion de mesure de Lebesgue généralisée et un cas particulier de la notion de mesure de Hausdorff. La littérature sur le sujet, semble faire défaut sur Google. ~Guillaume FOUCART modifié le 19 décembre 2019 à 22:08 (UTC)

Série de remarques 3 (à propos de la signification du symbole "$+\infty$")

En utilisant une définition non conventionnelle du nombre $+\infty$ :

${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=+\infty _{classique}$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2(+\infty _{classique})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} )$,

ou plus précisément : ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$.

Mais au lieu de considérer le point "$+\infty _{classique}$", peut-être faudrait-il alors plutôt considérer l'ensemble "$+\infty$" tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, pour lever toute contradiction, on aura alors :

${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} )$,

ou plus précisément : ${vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} )\neq {vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})$.

Mais il faudra alors poser $\mathbb {R}$ tout simplement,

où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$.

$\displaystyle {\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+}),\,\,{vol}^{1}(A)\in +\infty }$,

et $\displaystyle {{vol}^{1}(A)={\frac {1}{2}}{vol}^{1}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})-1{\Big )}={\frac {1}{2}}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})-{\frac {1}{2}}<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})}$,

par exemple :

$\displaystyle {A=\bigcup _{i\in 2\mathbb {N} ^{*}}(i,i+1)}$

$\displaystyle {\exists B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+}),\,\,{vol}^{1}(B)\in +\infty }$,

et $\displaystyle {{vol}^{1}(B)={\frac {1}{2}}{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})+{\frac {1}{2}}<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})}$,

par exemple :

comme on a : $A\in {\mathcal {P}}{\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}$,

on peut définir : $\displaystyle {B={\Big (}\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1){\Big )}\setminus A=\mathbb {R} _{+}\setminus {\Big (}(0,1)\bigcup A{\Big )}=\bigcup _{i\in 2\mathbb {N} +1})i,i+1(}$,

et on a : $\displaystyle {\mathbb {R} _{+}\setminus (0,1)=A\bigcup B}$ et $\displaystyle {A\bigcap B=\emptyset }$.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 juin 2020 à 13:06 (UTC)

Remarque importante :

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "$\mathbb {R} =]-\infty _{classique},+\infty _{classique}[$" et que "$\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty _{classique},+\infty _{classique}]=\{-\infty _{classique}\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{classique}\}}$" où $-\infty _{classique},+\infty _{classique}$ sont considérés comme des points,

considérer que "$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Mais cette notation est problématique et ambigüe,

car, on a une première interprétation s'inspirant de la notation classique qui donne :

"$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" et "$\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=[-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )]=\{-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}}$" où $-\sup(\mathbb {R} )\in -\infty ,\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ sont des points,

et sinon on a une seconde interprétation qui donne :

$\displaystyle {]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[}$

$\displaystyle {=\{x\,\,|\,\,-\sup(\mathbb {R} )<x<\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x>-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {\neq \mathbb {R} }$

et qui donne :

$\displaystyle {[-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )]}$

$\displaystyle {=\{x\,\,|\,\,-\sup(\mathbb {R} )\leq x\leq \sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq -\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {\neq \{-\sup(\mathbb {R} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{\sup(\mathbb {R} )\}}$

$\displaystyle {={({\overline {\mathbb {R} }})}_{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )}}$

avec $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$.

Et on a ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ telle que ${vol}^{1}(A)\in +\infty$ et ${vol}^{1}(A)<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$

D'où la notation simple ${\Big (}$sans "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$", ni "$-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )$", ni "$-\sup(A),\sup(A)$" où $\sup(A)\in +\infty$${\Big )}$ : "$\mathbb {R}$" ("$\mathbb {R} _{+}$", "$\mathbb {R} _{-}$", "$\mathbb {R} ^{*}$", etc $\cdots$), pour désigner $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R} _{+}$, $\mathbb {R} _{-}$, $\mathbb {R} ^{*}$, etc $\cdots$).

Guillaume FOUCART (discussion) 27 juillet 2020 à 19:32 (UTC) (version modifiée)

Série de remarques 4

Quand on voit un article de recherche en ou une thèse de mathématiques fini(e), on ne voit que la partie émergée de l'iceberg : On ne se doute pas de tout ce qui se passe en coulisse et de toutes les versions brouillonnes qu'on a dues produire, des erreurs, des impasses, des remises en question, des retours en arrière et des nouveaux chemins qu'on a été amené à prendre. Moi, je me suis fait punir, à cause du fait que j'ai publié des versions brouillonnes et non potables de mes travaux, sur 2 forums de mathématiques, et le problème est que si je ne l'avais pas fait, je n'aurais pas eu, entre autre, les conseils de Michel Coste, que je trouve cruciaux, même pour la généralisation de la notion de cardinal quantitatif, même s'il ne s'est pas rendu compte que les arguments qu'il a proposés pour les parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, peuvent, très vraisemblablement, aussi, s'étendre aux parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, qui peuvent aussi être vues, comme des limites croissantes de suites de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, moyennant la prise en compte du choix du plafonnement à l'infini, {associé à|de} chacune de ces parties de $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine d'un repère orthonormé (direct) de $\mathbb {R} ^{n}$. De plus, que les limites de suites de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, soient des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou des parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, cela concerne aussi bien les limites particulières de suites croissantes de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui sont des parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, que les limites particulières de suites croissantes ou décroissantes de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Certes, dans un travail de recherche, il faut des démonstrations, mais là, certains résultats importants avaient déjà été établis auparavant par d'autres auteurs, et il s'agit, principalement, de donner les axiomes, les définitions et les résultats préparatoires nécessaires pour établir une définition du cardinal quantitatif et tenter de généraliser cette notion, ainsi que de donner des exemples, et il est nécessaire de se faire une idée du et de fixer et de discuter intuitivement le et d'affiner progressivement le cadre dans lequel on travaille ou dans lequel on travaillera. ~Guillaume FOUCART modifié le 21 mars 2019 à 12:11 (UTC)

Série de remarques 5 (sur les plafonnements à l'infini)

Pour tenter de généraliser la notion de cardinal quantitatif, mise à part une tentative de renotation plus appropriée de la notion de limite usuelle concernant les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, d'une classe particulière, afin d'éviter les contradictions, avec la première notion, je n'ai pas vraiment créé et utilisé d'outils nouveaux, comparé à ce qu'il se faisait, déjà, il y a 60-70 ans, mais peut-être que cela sera, véritablement, nécessaire {concernant le|lors du} passage des parties convexes de $\mathbb {R} ^{n}$, aux parties non convexes de $\mathbb {R} ^{n}$.

Du point de vue du cardinal quantitatif, approcher $\mathbb {R} ^{2}$, par la suite ${({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }\subset {PV}(\mathbb {R} ^{2})$, n'est pas la même chose que de l'approcher par la suite de boules euclidiennes fermées ${{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }\subset {PV}(\mathbb {R} ^{2})$ :

De fait, pour éviter la contradiction qui en résulte, avec les notations usuelles, on définit les 2 plafonnements à l'infini, différents, {de|associés à} $\mathbb {R} ^{2}$, autour de l'origine $O_{2}$ du repère orthonormé (direct) ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ :

${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et ${\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}$,

c'est-à-dire, avec la renotation dont j'ai parlé plus haut, les parties telles que :

(On pourra remplacer "$+\infty$" par "$\sup(\mathbb {N} )$", et on considérera alors que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

$\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\Big [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

et on a : ${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}\neq {\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}$

et

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{[-r,r]}^{2}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}({[-r,r]}^{2})}$

$\displaystyle {\neq \lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

et il n'y a pas de contradiction, contrairement avec la notation usuelle.

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant cette théorie, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

Par ailleurs, peut-être que ma théorie peut se passer des ensembles $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )},{\mathbb {R} '},{\mathbb {R} ''}$, etc ... , concernant les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, mais peut-être pas du nombre infini positif $+\infty _{\mathbb {R} }$ dont j'ai parlé plus haut dans la Série de remarques 3.

Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 21 mars 2019 à 12:26 (UTC)

Série de remarques 7 (autour des commentaires de Anne Bauval)

Série de remarques 7.1

Voici, la page d'origine, avant mes modifications : Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 26 juin 2018 à 01:59

J'ai été maladroit dans la page de Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 19:43 et Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 19:54, et je n'avais pas remarqué les commentaires de Anne Bauval, qui est immédiatement intervenue, peu après mes modifications. Je ne m'étais même pas aperçu, lors de ma 2nde modification, que ma 1ère modification avait été annulée, par Anne Bauval.

Mais j'ai été réglo dans la page de Discussion de Anne Bauval (A propos de la page Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche), du 28 juin 2018 à 20:10, et Anne Bauval a crû, après être revenue à une version antérieure à mes modifications, que je repostais de nouveau mes modifications antérieures, en l'état, en postant une version où mes modifications antérieures, en l'état, étaient présentes.

De toute façon, je ne vais pas insister, car elle menace de déposer une RA (requête aux administrateurs) à mon encontre, de plus, je ne suis plus le bienvenu sur sa page de discussion, alors que j'y suis très peu intervenu.

Je ne veux surtout pas me mettre à dos, des personnes (en particulier susceptibles et caractérielles), pour 3 fois rien, surtout des personnes comme Anne Bauval, qui de par son statut de maître de conférences, risque d'influencer particulièrement les administrateurs, voire de devenir administratrice elle-même et de s'en prendre à mes travaux, peut-être parfois, à raison, mais aussi parfois voire souvent, à tort.

Je rappelle que "ma" notion semble trop marginale et n'est pas présente sur Wikipedia, même concernant les parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, où elle est parfaitement définie, et depuis longtemps, mais pas, à tort, sous une bonne appellation plus parlante et plus légitime :

Alors supprimer mes travaux ou une partie, sous prétexte qu'une partie a déjà été établie et qu'elle serait, déjà, présente sur Wikipedia, n'est pas forcément une bonne idée. Il faut plutôt réhabiliter la notion en question sur Wikipedia.

Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 21 mars 2019 à 12:31 (UTC)

Le paragraphe suivant de Anne Bauval, à propos de moi :

"Bonjour Supreme assis, cet individu n'est pas raisonnable (tant sur son comportement que sur ses prétendues recherches mathématiques) donc c'est perdre son temps que de tenter un dialogue avec lui. Mais il sera certainement, tôt ou tard, sanctionné par les administrateurs. Anne Bauval (discussion) 24 juin 2018 à 16:23 (UTC)",

dans Mise au point,

est dangereux, surtout pour moi, et à l'emporte pièce :

Certes, j'effectue des modifications, voire de nombreuses modifications de mes messages, tant qu'on n'y a pas répondu, afin de les améliorer et de les rendre complets et parfaits

Certes, j'ai effectué une centaine de modifications de la page de Discussion de Lydie Noria, pour améliorer mes messages, à l'encontre de Supreme assis, mais j'ai arrêté.

J'ai été, intransigeant et quasiment sans complaisance vis à vis des travaux de Supreme assis, dans Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes, et il l'a pris pour de l'acharnement voire du harcèlement. Mais, même, il est, tout à fait, justifié, et, même, moralement, justifié de s'acharner et de s'en prendre, comme je l'ai fait, à de tels travaux.

Certes, cela a produit beaucoup de notifications chez mes interlocuteurs.

Voilà mes torts.

Mais, je connais, à peine, Anne Bauval et elle me connaît, à peine, et elle a, à peine, émis des jugements sur mes travaux et je me suis à peine défendu et j'ai pu à peine me défendre : Le message du paragraphe de Anne Bauval est, vraiment, prématuré, et, en plus, je devrais encaisser, tout ce qu'elle dit à mon encontre, sans pouvoir réagir et sans même pouvoir me défendre. Guillaume FOUCART (discussion) modifié le 31 janvier 2019 à 16:27 (UTC)

Citation de Anne Bauval, dans sa page de discussion : "Je préfère rester simple péon sous votre contrôle, car je me méfie à la fois de mon manque de diplomatie et de mon autoritarisme. Mieux vaut que je me cantonne à ce pour quoi je suis douée.". C'est bien de le reconnaître et, aussi, de reconnaître ses défauts. Guillaume FOUCART (discussion) 09 juillet 2018 à 14:15 (UTC)

Finalement Anne Bauval m'a fait supprimer mes passages personnels, en a supprimé certains et a épuré le reste, et m'a donné un bon coup de main. Ma page de recherche et la page de discussion associée s'en retrouve allégée et épurée.Guillaume FOUCART (discussion) 6 février 2019 à 18:44 (UTC)

Série de remarques 7.2

En réponse à Anne Bauval :

Si vous regardez bien :

Mes formules ont bel et bien un sens.

Les parties que vous incriminez doivent concerner, principalement, ce qui se rapporte à "Définitions de $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $+\infty _{\mathbb {R} }$, ${\widetilde {\mathbb {R} }}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$" et "Définitions de $diam$, ${\widetilde {diam}}$, $+\infty _{{\widetilde {diam}},C,{\mathcal {C}}}$, $+\infty _{{\widehat {\widetilde {diam}}},{\mathcal {C}}}$ et $+\infty _{\widehat {\widetilde {diam}}}$", que je peux omettre, puisqu'elles ne servent pas dans la définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ (celles qui se rapportent aux 2ndes ne servant nul part), et aussi celle concernant sa généralisation à des classes de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Après les avoir omises, vous verrez qu'au moins, les formules restantes, ont du sens, et que les travaux concernés ont déjà été faits, il y a longtemps, mais ne figurent, malgré tout, pas sur Wikipedia, malgré leur intérêt évident.

J'aurais dû d'abord traiter le cardinal quantitatif, dans le cas des variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$ et ${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux, et de dimension $0\leq i\leq n$, c'est-à-dire là où il est parfaitement connu et défini, et seulement après traiter et m'essayer ou m'hasarder à des {extensions|généralisations}.

Dîtes-moi ce que vous ne comprenez pas dans : "Définitions de $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $+\infty _{\mathbb {R} }$, ${\widetilde {\mathbb {R} }}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$" et "2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$".

Je peux, encore, le comprendre et comprendre que vous ne me comprenez pas et que vous vous y perdiez, étant donné le nombre de notations nouvelles que j'ai introduites et la technicité associée et utilisée pour les définir.

Pourtant, croyez moi, même s'il n'y a pas de schéma ou de représentation imagée, j'ai tout fait pour qu'elles soient les plus intuitives possible, mais malheureusement, comme vous en témoignez, cela ne suffit pas. Guillaume FOUCART (discussion) 31 janvier 2019 à 19:43 (UTC)

Tout d'abord $+\infty _{\mathbb {R} }=+\infty$ (classique).

$+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[,\mathbb {R} )}$ si $\displaystyle {a\in \mathbb {R} \bigcup +\infty _{\mathbb {R} }}$ doivent être les maillons faibles, puisque, normalement, une fois leur sens acquis, le reste a du sens.

Peut-être, mais je n’en suis pas certain, faut-il corriger les expressions données et les remplacer par les expressions plus lisibles :

Soit $\displaystyle {a\in \mathbb {R} \bigcup \{+\infty _{\mathbb {R} }\}}$.

On pose $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,]-\infty _{\mathbb {R} },a[\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\,\,|\,\,f\,\,{\text{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}f(x)=+\infty _{\mathbb {R} }\}}$,

et $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[),\,\,{\text{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$.

Si $f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$,

on note $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}^{\sim }f(x)=+\infty _{\lim ,f,a}}$

ou bien $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<a,\,\,x\rightarrow a}^{\sim }f(x)=+\infty _{f}}$, s'il n' y a aucune confusion possible.

On pose $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}=\{+\infty _{f}\,\,|\,\,f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)\}$.

Dîtes-moi ce qui ne va pas encore.

Dans mes travaux, j'ai défini une relation d'équivalence et une relation d'ordre sur $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$, en particulier si $a=+\infty _{\mathbb {R} }$.

Guillaume FOUCART (discussion) 1 février 2019 à 12:30 (UTC)

Comme déjà dit sur ma pdd, c'est un tissu d'âneries. Je l'ai éclairci pour vous et j'ai de plus rédigé à votre intention cet exercice, qui devrait vous faire réfléchir. Anne, 2/2/2019 à 21 h 04 (CET)

Ajout de Guillaume FOUCART du 11-07-2023 : [Lien vers l'Ex 3-3 supprimé par Anne Bauval (aller à la version du 10 juillet 2021 de 06h28)]. Il se peut qu'elle ait bel et bien raison et que toute fonction continue strictement croissante admette une décomposition en une fonction continue strictement croissante et une fonction continue dite "oscillante", quels que soient les sens possibles que l'on peut attribuer au terme "oscillante", sens que selon ses dires, je n'ai pas précisé (les fonction en question vérifiant les conditions que j'ai déjà mentionnées), mais suivant le sens que je veux lui attribuer et pour lequel je ne me suis pas encore décidé et prononcé, je n'en suis pas si sûr, mais, de toute façon, ça ne fera qu'anéantir la moitié de mes travaux sur le cardinal quantitatif et pas la moitié la plus fondamentale. Guillaume FOUCART (discuter) 11 juillet 2023 à 19:41 (UTC)

Mon idée n'est peut-être pas au point, mais normalement, vous devez comprendre ce que je veux faire et où je veux en venir. Par ailleurs, une fois que la mise au point sera faite, pour $f\in {\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$, j'identifie $+\infty _{f}$ à $f$ c'est-à-dire que l'on a $+\infty _{f}\equiv f$. Par fonctions oscillantes, j'entends des fonctions du type $\cos$ ou $\sin$, mais je sais qu'il existe des fonctions oscillantes différentes de ces dernières et qui tendent vers $0$ ou vers $+\infty$, à l'infini. Vous savez vous-même que la recherche n'est pas un long fleuve tranquille.Guillaume FOUCART (discussion) 3 février 2019 à 15:19 (UTC)

De plus ma construction, même si elle est, en partie, fausse, semble, a priori, intuitive. Ce que vous affirmez est vrai, mais n'est pas intuitif. Peut-être qu'au lieu de considérer les ensembles ${\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$, il faut et il suffit de considérer les ensembles ${\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$. Mais cette considération ne sera-t-elle pas problématique ? Guillaume FOUCART (discussion) 4 février 2019 à 18:07 (UTC)

De toute façon, si ma construction est fausse concernant les ensembles ${\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{3}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$ et ${\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}_{2}(]-\infty _{\mathbb {R} },a[)}$ : Cela ne fait tomber qu'un pan de ma théorie, mais pas tout. Guillaume FOUCART (discussion) 3 août 2021 à 20:52 (UTC)

Les notations concernant l'ensemble "$]-\infty _{\mathbb {R} },a[$" viennent d'être modifiées depuis hier, dans mes travaux sur le Cardinal quantitatif. Cf. aussi "Série de remarques 8/Partie non digressive 6". Guillaume FOUCART (discussion) 21 juin 2020 à 13:34 (UTC)

J'ai 2 problèmes notables, mais, pour majeure partie, indépendants :

a) Concernant les "plafonnements à l'infini" :

Pour pouvoir les comparer, il faut que je donne les définitions des relations suivantes :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subset [A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subset [B,{(B_{i})}_{i\in I}]$",

(et, en particulier, les relations :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subsetneq [A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subsetneq [B,{(B_{i})}_{i\in I}]$")

ainsi, je pourrai définir les relations :

"$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[A,{(B_{i})}_{i\in I}]$"

et "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$".

A défaut : On peut comparer leurs cardinaux quantitatifs.

b) Mes $+\infty _{f}$, pour certaines fonctions $f$, se doivent d'être parfaitement définis :

Sans avoir résolu le 1er problème, je ne peux, peut-être, pas étendre la notion de cardinal quantitatif à la "tribu de parties(*)" ${PV2}({\mathbb {R} }^{n})$, dans ma théorie non classique, présentant des différences minimes, par rapport à la théorie classique (Cette première n'est peut-être, d'ailleurs, une "tribu de parties(*)", que si on peut résoudre ce problème, dans cette théorie non classique).

Sans avoir résolu le 2nd problème, je ne peux pas l'étendre à la tribu de parties ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$. (Cette dernière n'existant, d'ailleurs, pas, si on ne peut résoudre ce problème)

Sans avoir résolu les 2, je ne peux pas l'étendre à la "tribu de parties(*)" ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, dans ma théorie non classique, présentant des différences minimes, par rapport à la théorie classique (Cette première n'est peut-être, d'ailleurs, une "tribu de parties(*)", que si on peut résoudre ce problème, dans cette théorie non classique).

Mais, le cardinal quantitatif n'en demeure pas moins, parfaitement, défini, sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

(*) Si ce n'est pas une tribu de parties, alors ce doit être une réunion de tribus de parties.

Concernant le 2nd problème :

Si on pose : ${{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}={{\mathcal {F}}_{2}(\mathbb {R} )}$,

on peut avoir, $\exists f,g\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ),\,\,f-g=\sin$,

et comme $+\infty _{f}\equiv f$ et $+\infty _{g}\equiv g$, cela pose, peut-être, problème pour définir $(+\infty _{f})-(+\infty _{g})$, puisque dans ce cas : $(+\infty _{f})-(+\infty _{g})=\sin$,

d'où le fait qu'il soit, peut-être, préférable qu'on se restreigne, d'avantage, et que l'on pose : ${{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}={{\mathcal {F}}_{3}(\mathbb {R} )}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 25 avril 2019 à 15:15 (UTC)

J'aurai une question concernant la sous-section "Définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$/Définition sur $\mathbb {R} ^{n}$" :

Est-ce que les conditions 1)b) et 2)a1) [additivité finie], avec peut-être d'autres conditions données dans la définition, impliquent la $\sigma$-additivité du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Si tel n'est pas le cas, ça n'est pas bien grave, au lieu de 2)a1), je mettrai la condition de $\sigma$-additivité sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

(Pourtant là, j'ai repris ce que Michel COSTE a écrit :

Il a dit au début de "La saga du "cardinal" ", qu'on donnait, prudemment, un des axiomes de définition du cardinal quantitatif, en se limitant aux réunions finies, mais il semble avoir fait comme si il s'appliquait aux réunions infinies dénombrables :

Il a donc dû affirmer, quelque part, que dans ce cas, l'additivité finie implique la $\sigma$-additivité sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.)

Guillaume FOUCART (discussion) 25 avril 2019 à 18:21 (UTC)

Série de remarques 8

Partie non digressive 1

La plupart des intervenants Des-mathématiques.net, y compris parmi les plus sérieux, ne comprennent ou ne veulent comprendre que ce qui est parfaitement rigoureux, ce qui n'aurait pas été le cas, par exemple, des mathématiciens du XVIIème siècle, même si d'autres problèmes se seraient, sans doute, posés avec les infinis en acte, avant Cantor.

Malgré tout, j'ai donné et j'ai fourni beaucoup d'indices et de matière pour qu'ils puissent, normalement, comprendre où je veux en venir et où je veux aller.

Dans mes travaux, il ne s'agit pas [ajout du 23/04/2020 : essentiellement et principalement] d'enchaîner des résultats et des démonstrations, mais avant tout d'un problème conceptuel, surtout dans le cas non borné et dans une partie du cas borné.

Concernant la partie achevée où les résultats ont déjà été établis par des mathématiciens, s'il y a un théorème qui peut poser problème dans sa forme et dans sa démonstration, mais dont le PDF de Michel COSTE nous assure bien l'existence, c'est bien le Corollaire 1.3.4.7 (le samedi 21 septembre 2019). Si je ne suis pas parvenu à une forme aboutie, c'est en grande partie parce que Michel COSTE ne l’a pas fournie et que si on veut la traiter correctement et complètement, il faut introduire des notations lourdes, même si elle fait appel à un autre résultat que j'ai admis, le Théorème 1.3.4.5 (le samedi 21 septembre 2019), mais qui a déjà été établi par des mathématiciens, et qu'elle ne présente pas de difficulté outre mesure.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 septembre 2019 à 13:04 (UTC)

Peut-être bien, afin d'être plus clair, qu'il faut que je scinde et divise le sujet des travaux sur le cardinal quantitatif, en une partie établie et connue (résultats établis et connus, mais disséminés de manière marginale, dans la littérature c'est-à-dire ceux présentés par Michel COSTE, dans ses PDF "La saga du "cardinal"") et en une partie spéculative (mes travaux de recherche sur le sujet, à proprement parler).

Guillaume FOUCART (discussion) 23 octobre 2019 à 18:25 (UTC)

Je crois, même, qu'il faut que je scinde le sujet des travaux sur le cardinal quantitatif, non pas en 2 parties, mais en 3 parties : 1 sur ce qui est déjà établi et connu, 2 sur la partie spéculative, dont 1 impliquant les plafonnements à l'infini, sans les nombres $+\infty _{f}$, et 1 impliquant les nombres $+\infty _{f}$, d'abord sans, puis avec les plafonnements à l'infini.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 octobre 2019 à 14:01 (UTC)

J'ai, en conséquence, intégralement réorganisé, le sujet du cardinal quantitatif, depuis aujourd'hui.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 novembre 2019 à 13:27 (UTC)

J'avais modifié et complété la Proposition admise 1.3.4.6 (du 16 novembre 2019) et j'ai corrigé, complété et, sensiblement, amélioré le contenu du Corollaire 1.3.4.7 (du 16 novembre 2019).

Guillaume FOUCART (discussion) 16 novembre 2019 à 12:32 (UTC)

Il faut que j'améliore et que je travaille d'avantage les Remarques 1.4.4.1.2 (du 18 novembre 2019) qui ne sont pas au point en l'état.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 novembre 2019 à 15:02 (UTC)

J'ai modifié et me semble-t-il corrigé un passage de la définition 1.4.4.1.1 (le 26 décembre 2019 et en juin 2020)

Dans "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$"

"A) Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\},\,\,a<b$,

où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On note :

"$R_{a,b}=(a,b[$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\mathbb {R}$.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x<b\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x\geq a\}$

ou

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x>a\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=(a,b[$."

$\cdots$

B) Définition des relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" sur ${\mathcal {F}}(R_{a,b})$ et des relations d'égalité "$=$" et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}$ :

Soient $f,g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})$.

Mes relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'égalité "$=$" sont définies par :

$\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)=0}$

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}={\underset {+\infty }{\sim }}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$

Mes relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

$\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)<0}$,

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{<}}={\underset {+\infty }{<}}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$,

et la seconde relation d'ordre est totale.

Anne Bauval avait dit que mes 2 relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" n'étaient hélas pas totales, mais je crois qu'en fait ce qu'elle a dit n'est valable que pour la 1ère relation d'ordre, et non pour la 2nde qui est bel et bien totale.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 juin 2020 à 15:14 (UTC) (version modifiée)

Certaines sous-parties n'étaient pas à leur place dans la partie concernant "${PV}(\mathbb {R} ^{n})$", je les ai donc mises dans la partie concernant "${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$", et j'ai corrigé, clarifié et désambiguïsé certains titres de sous-parties.

De même certaines sous-parties n'étaient pas à leur place dans la partie concernant "${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$", je les ai donc mises dans la partie concernant "${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$",et j'ai corrigé, clarifié et désambiguïsé certains titres de sous-parties.

Dommage que je m'en aperçois seulement maintenant : Ça m'a fait tout drôle et ça m'a drôlement stressé, car les manipulations correctives qui en découlent, s'avèrent de plus en plus délicates.

Guillaume FOUCART (discussion) 17 février 2020 à 23:16 (UTC)

Il se peut que l'ensemble des axiomes proposé puisse se restreindre à un ensemble ou un nombre d'axiomes plus limité : Dans le doute, je préfère être redondant, plutôt que de donner un ensemble d'axiomes insuffisant.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2020 à 12:10 (UTC)

Remarque : Sur la Wikiversité, il n'y a pas plus de 6 niveaux de sous-parties, possibles, et je suis arrivé au nombre de niveaux maximal. J'ai crû, un moment, qu'il m'en aurait fallu 7, pour une broutille, mais en fait non.

De plus, même si c'est pour être exhaustif et aussi, en partie, pour la clareté, trop de niveaux de sous-parties, nuit à la lisibilité de la table des matières.

Pourtant, je ne vois pas bien, comment réduire le nombre de niveaux de sous-parties de mes travaux sur le Cardinal quantitatif, et je pense qu'ils n'y gagneraient pas en clareté.

Il faudrait, qu'on puisse masquer ou qu'on puisse afficher certains sous-niveaux, à la demande du lecteur, qui pourra le faire en un coup de clic, comme c'est déjà le cas sur certaines pages de certains sites.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2020 à 14:07 (UTC)

Suite aux remarques qui m'ont été faites sur le forum Futura Sciences

J'ai entièrement corrigé et simplifié la section "Cardinaux négatifs ou complexes" qui était opaque et ne faisait pas entièrement sens, en l'état, avant cette intervention.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 février 2020 à 18:50 (UTC)

Cf. 3ème message de Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages complémentaires

Guillaume FOUCART (discussion) 28 février 2020 à 17:50 (UTC)

Je recommande au lecteur de consulter aussi : Les-mathematiques.net/Shtam/Conseils constructifs sur mes travaux.

Guillaume FOUCART (discussion) 20 mars 2020 à 15:58 (UTC)

D'après les conseils qui m'ont été donnés, il faut que j'écrive des phrases plus courtes, avec moins de virgules et sans accolade.

J'ai restructuré le 1er § de l'Introduction et une partie de ce qui est dit peu après.

Il faut dire que Anne Bauval avait initialement vidé l'Introduction d'une bonne partie de ses passages superflus et qu'après cela, je ne l'avais pas assez remaniée en conséquence.

J'ai remanié : Discussion Recherche:Cardinal quantitatif/Série de remarques 1.

Guillaume FOUCART (discussion) 23 mars 2020 à 14:11 (UTC)

Digression 1

[1]

Je suis à peu près sûr que je ne raconte pas n'importe quoi dans mes travaux et il y a d'ailleurs une partie établie et connue.

Le problème est de savoir comment je dois les rédiger et sous quelle forme pour pouvoir bien me faire comprendre et bien les faire comprendre.

Pourtant, j'y ai mis du mien et beaucoup d'énergie.

L'existence voire l'unicité de certains objets est assurée par l'intervention de Michel COSTE dans son PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4), même si c'est un article informel de vulgarisation et que toutes les démonstrations de tous les résultats n'y figurent pas.

Étant donné le peu de sources et de références qu'il a fournies et les insuffisances de son PDF, et le fait que je ne peux me baser et me référer que sur eux, je n'ai pas pu fournir ce que Michel COSTE n'a pas lui-même fourni.

Pour les sceptiques y compris du PDF de Michel COSTE, je ne peux rien faire.

Tout ce que je peux dire est que Michel COSTE est professeur émérite de l’Université de RENNES 1 et qu'il n'est pas du genre à raconter n'importe quoi et qu'il a pris toutes ses précautions en écrivant son article informel de vulgarisation.

Si certaines définitions [2 à 3 définitions] ne sont pas claires, c'est qu'elles sont partiellement inachevées sur certains points que je ne suis pas en mesure de fournir ou sur lesquels je ne suis pas en mesure de me {décider|prononcer} lorsque qu'il faut choisir entre plusieurs options qui se présentent.

Mis à part ça, les énoncés de mes propositions et de mes autres définitions non concernées par la phrase précédente sont parfaitement clairs et rigoureux, et pratiquement aucun n'a été donné sans que les prérequis ne soient donnés avant.

Peut-être qu'il faut que je mette un peu plus de texte explicatif permettant au lecteur de s'orienter dans le texte et de comprendre les enchaînements et les articulations des divers résultats, définitions et propositions, pourtant ces derniers sont évidents et sont souvent donnés de manière explicite.

L'Introduction vient d'être améliorée et restructurée, mais avait subi les subterfuges de Anne Bauval qui l'avait un peu trop vidée et déstructurée, lorsqu'elle a supprimé certains passages superflus.

Il est vrai que mes travaux sur le Cardinal quantitatif sont beaucoup plus secs que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

De toute façon, je ne disposais pas de toutes les connaissances et de tous les éléments dont disposait Michel COSTE pour pouvoir écrire l'article de vulgarisation informel tel qu'il l'a écrit.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur le Cardinal quantitatif et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors cardinal quantitatif et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.

Guillaume FOUCART (discussion) 19 juillet 2020 à 13:04 (UTC) (version modifiée)

Partie non digressive 2

Ensembles de départ et d'arrivée des applications : ${\widetilde {{card}_{Q}}}$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ :

Cf. Recherche:Cardinal quantitatif

1er temps :

En reprenant les notations de l'axiome 0) de la 1.3.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$) et de la 1.4.4.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$).

a) ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

c'est-à-dire ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

ou encore ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} _{n}[{\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$.

b) ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{n}[{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} '')\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$, par exemple $I=[0;1[$,

${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$, par exemple $I=[0;1[$,

ou encore ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{n}[{\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}(I)]\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}(A)={formule}$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R} ''$, par exemple $I=[0;1[$.

Remarque : Si $I$ est un intervalle compact de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {R} ''$, "${\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}(I)$" devient "${\widetilde {{card}_{Q}}}(I)$".

Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$.

Comment supprimer cette dépendance ?

Ne faut-il pas définir axiomatiquement l'ensemble d'arrivée de ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ à partir des axiomes de définition de ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ et de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Si je définis totalement l'application ${\widetilde {{card}_{Q}}}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ : Je n'ai plus besoin des axiomes qui la justifiaient et elle paraîtra parachutée.

Que faire ?

2ème temps :

En reprenant les notations de l'axiome 0) de la 1.3.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$) et de la 1.4.4.2.1 Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$).

a) $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=?$.

b) $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=?$.

Guillaume FOUCART (discussion) 15 avril 2020 à 14:15 (UTC)

À défaut de connaître pour le moment : "$(F,+,\times ,\leq )$", on peut le remplacer, dans un premier temps, par : "$\displaystyle {\mathbb {N} \bigcup +\infty }$" où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 juin 2020 à 13:45 (UTC)

Digression 2

En réponse à Les-mathematiques.net/Analyse/Ensembles de départ et d'arrivée des applicat :

Dans le doute, j'aurais dû contacter un des modérateurs-administrateurs par MP, pour savoir si j'avais le droit de poster de tels fils.

A Homo Topi : Si j'ai interdiction formelle de parler de mes travaux sur le Cardinal quantitatif, sur le forum : Je n'en parlerai plus dessus, mais je ne pourrai dès lors quasiment plus bénéficier d'aucune aide, y compris extérieure au forum, parce que telle est la situation dans les faits.

A Homo Topi, toujours : Ce n'est pas parce que je poste ou que je vais poster un n ème post sur mes travaux sur le Cardinal quantitatif sur Les-mathematiques.net, que c'est nécessairement un mauvais choix d'agir ainsi et que je ne fais que m'obstiner vainement, en étant (Cf. le protagoniste du film dont tu parles) soi-disant méprisant et imbus de moi-même (ces 2 derniers adjectifs qualificatifs censés me qualifier sont d'ailleurs faux), c'est que j'ai besoin de le faire pour les améliorer et qu'il y a encore un gros travail relativement difficile à faire et à fournir pour les mettre sous une forme qui convienne mieux à tous.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 mars 2020 à 08:01 (UTC)

J'aimerais bien concernant mes travaux sur le Cardinal quantitatif avoir tout le soutien qu'a reçu l'intervenant christophe c alias Christophe Chalons sur Les-mathematiques.net dans sa discussion intitulée "Viré" concernant sa mauvaise passe, ainsi que dans la discussion "je voudrais que vous me disiez quelle image".

Il est vrai que christophe c alias Christophe Chalons est un enseignant dans le secondaire, agrégé et docteur, calé en Logique et en Topologie, mais il a écrit sous ce pseudo plus de 40 000 messages (Ce qui en fait le plus gros contributeur de messages Des-mathematiques.net), dont une partie sont des messages engagés sur l'éducation nationale et dont la plupart sont des pavés, pas toujours des mieux rédigés et des plus digestes et qui ne donnent pas envie de les lire, même si certains sont bien rédigés et espacés.

En ce sens, christophe c alias Christophe Chalons est toléré sur Les-mathematiques.net et leur apporte d'une certaine façon du contenu, mais il le pollue aussi pas mal, même si ses messages sont restreints essentiellement à quelques sous-forums depuis plusieurs années.

Certains intervenants le soutiennent d'ailleurs uniquement parce qu'ils voient qu'il est soutenu.

A noter que certains intervenants postent peu de messages sur Les-mathematiques.net et comme par hasard ils viennent répondre à christophe c alias Christophe Chalons dans sa discussion :

Il a dû les contacter avant pour qu'ils viennent se joindre à lui et le soutenir dans sa discussion.

Guillaume FOUCART (discussion) 6 juillet 2021 à 15:41 (UTC)

A propos de la seconde discussion concernant christophe c alias Christophe Chalons : Parmi ceux qui le qualifient de "brillant mathématicien", il y en en a beaucoup qui n'y comprennent rien à ses travaux, et c'est, d'ailleurs, justement et précisément, pour cette raison qu'ils le considèrent et le qualifient comme tel, et leur avis n'a donc pas beaucoup de valeur et n'est donc pas à prendre en considération. Personnellement, je n'ai pas de compétences avancées en Logique, mais il a, tout de même, effectué et bouclé une thèse à l'Université PARIS 7 et les avis de certains logiciens fréquentant le forum comme Foys et Maxtimax, et d'autres, laissent penser qu'il y a un minimum de fond et de sérieux, dans les mathématiques qu'il présente sur le forum, même s'il ne fait pas beaucoup d'efforts de pédagogie et ne se met pas, du tout, au niveau de la plupart des intervenants.

Il (christophe c alias Christophe Chalons) a reçu le Trophée K2 2018 (Mathématiques et leurs applications) (bien faire défiler la page), mais c'est apparemment une récompense dû au copinage, car comme par hasard, c'est son directeur de thèse Anatole Khélif qui a été président du jury "Trophées K2 2018" catégorie "Mathématiques et leurs applications" et qui le lui a décerné et remis (NB : Anatole Khélif a aussi été président du jury "Trophées K2 2017" catégorie "Mathématiques et leurs applications").

Il a publié en collaboration avec d'autres auteurs des livres de prépa en mathématiques dont voici 1.

Guillaume FOUCART (discussion) 7 juillet 2021 à 16:27 (UTC)

Sur les forums de mathématiques et en particulier sur le forum Les-mathematiques.net, ils ne savent que (me) critiquer et m'assimilent à tort à certains shtameurs.

Mais que feraient-ils à ma place s'ils avaient à présenter exhaustivement la notion de cardinal quantitatif et à la généraliser ?

A mon avis, ils seraient incapables de faire un tel travail qui serait probablement hors de leur portée, malgré leurs compétences et leur niveau ou pas.

Le seul qui soit capable de le faire pour la partie établie et connue est Michel COSTE.

J'ai rencontré bien trop de difficultés à le faire pour que cela soit simple et ce travail n'est pas entièrement à ma portée et je suis freiné car je ne dispose pas de tous les éléments et de tous les outils nécessaires dont certains n'ont pas été fournis par Michel COSTE.

Par ailleurs, j'ai choisi de présenter le sujet à ma manière, selon "mes propres" normes et "mes propres" critères, c'est-à-dire comme moi je souhaiterais qu'il soit présenté, et même si mon travail n'est pas encore finalisé et que tout n'est pas parfait, j'en paye {le prix|les frais}, car cette façon de faire ne correspond pas et se heurte aux attentes des intervenants.

Pourtant, au vu de certains formulaires de mathématiques que j'ai tapés, qui reflètent mes besoins et mes attentes et répondent à ces derniers, nous n'avons pas tous les mêmes besoins et les mêmes attentes, et donc mes formulaires peuvent me satisfaire et ne pas satisfaire à d'autres.

Il est fort à parier que ceux qui réussissent en mathématiques sur le long terme sont ceux qui s'habituent et se familiarisent le mieux et le plus avec les normes en vigueur de la littérature mathématique actuelle ou existante et qui sont le plus à cheval sur ces dernières, même si ce ne sont pas nécessairement les meilleures, les plus appropriées, les plus visuelles, les plus synthétiques, les plus digestes et les plus assimilables, pour tout le monde, et de fait on doit utiliser ces normes pour pouvoir communiquer avec eux, et d'ailleurs il y a fort à parier qu'ils les enseigneront et les perpétueront, avec leurs défauts et malgré leurs défauts.

Ils respectent tellement leurs professeurs ou leurs supérieurs hiérarchiques ou l'ordre établi, ont une telle foi et une telle confiance en ces derniers, se conforment tellement à ces derniers, vouent un tel culte à l'autorité de ces derniers, qu'ils ne peuvent absolument pas remettre en question ne serait-ce qu'une fraction du travail de ces derniers.

Certains font des compromis entre diverses normes, afin d'être dans les standards de la littérature anglo-saxonne.

Mais à ceux-là, je dis qu'il ne faut faire absolument aucun compromis et croire en ses convictions, du moins il faut écrire et diffuser au moins une version sans compromis possible, car sinon on continuera de perpétuer les mauvaises habitudes.

NB : Si une bonne voire une très grande partie des normes actuelles relèvent du bon sens ou de certains usages ou de certaines pratiques répandus, ce n'est pas le cas de toutes concernant le bon sens et concernant celles qui reposent sur certains usages et certaines pratiques répandus, ce n'est pas toujours pour de bonnes raisons.

La plupart des intervenants ou bien me lâchent tous ou finissent rapidement par me lâcher (même Michel COSTE qui est la personne dont j'ai le plus besoin pour m'aider dans mes travaux, m'a lâchée depuis longtemps) ou bien me lynchent.

Alors que c'est un travail de longue haleine et qu'il ne faut surtout pas lâcher ou abandonner l'affaire au moindre problème ou au moindre pépin, loin de là.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 mars 2020 à 20:10 (UTC)

Les shtameurs qu'un intervenant Des-mathematiques.net appelle "shtameurs du dimanche", ne sont pas pour la plupart à leur premier coup d'essai, et s'essaient même à démontrer plusieurs conjectures réputées très difficiles à la fois :

En ce sens on peut les considérer comme des shtameurs professionnels.

Je ne suis pas un shtameur professionnel car mes travaux ont un minimum de rigueur et de sérieux et s'appuient sur le travail de Michel COSTE.

Mais c'est dur de ne commettre absolument aucune erreur et absolument aucun impair et d'être parfaitement rigoureux à tout bout de champ et à tout point de vue, lorsque les travaux en question exigent de nous beaucoup voire énormément de rigueur, d'efforts et de travail : Et il faut donc être un peu plus indulgents et un peu plus tolérant envers nous.

Un travail de cette nature totalement achevé et totalement rigoureux ne peut advenir au cours d'un bref délai: Il faut du temps, beaucoup de temps et de maturation.

Ceux qui ont pu ne poster publiquement qu'une seule et unique version finalisée de leurs travaux, qui se révéla juste, malgré leur longueur, ont pu bénéficier de l'aide et du soutien de certaines personnes ou de leurs collègues : Ce qui n'est pas mon cas.

Guillaume FOUCART (discussion) 28 mars 2020 à 13:21 (UTC)

Partie non digressive 3

J'ai modifié les titres de certaines parties, ainsi que le contenu de certaines parties, en effectuant en particulier certains ajouts.

Guillaume FOUCART (discussion) 31 mars 2020 à 20:29 (UTC)

Concernant la partie consacréée aux parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

Dans : Construction et définition,

j'ai remanié :

"Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (axiomes de définition généraux dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + axiomes de définition dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$)"

et j'ai mis le surplus qui y était présent dans : "Remarques sur la définition".

La définition du cardinal quantitatif s'en retrouve épurée ainsi que beaucoup plus lisible et compréhensible.

De même concernant la partie consacréée aux parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Guillaume FOUCART (discussion) 1 avril 2020 à 15:38 (UTC)

Suite aux modifications précédentes : J'ai corrigé et rectifié en conséquence : "Propriétés immédiates découlant de la définition du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$" et "Propriétés immédiates découlant de la définition du cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$".

Guillaume FOUCART (discussion) 1 avril 2020 à 16:33 (UTC)

Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux

Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier ou comme le voudrait l'intervenant pipolemarquis sur Les-mathematiques.net dans le 1er message de sa discussion intitulée "Livre de vulgarisation et bien rédigé" : "Ce que j'aimerais vraiment trouver c'est un livre qui commence ses exposés par de la véritable vulgarisation, comme une façon d'amener la notion étudiée dans son contexte en explicitant à quoi elle sert dans le monde mathématique, et quelle peut en être son utilité et sa traduction physique concrète, le tout avec des phrases rédigées ! pas uniquement des onomatopées de 3 lettres ! J'ai eu l'occasion autrefois, à l'époque du lycée où les maths représentaient pour moi autant une fascination qu'une corvée, de feuilleter de très anciens livres d'avant guerre écrits dans un français impeccable et où les parties rédigées prenaient plus de place que les signes mathématiques.", mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Concernant le message de pipolemarquis sur Les-mathematiques.net, je crois qu'il est illusoire de vouloir faire en sorte que les mathématiques contemporaines ou actuelles de plus en plus abstraites et de plus en plus complexes s'expriment majoritairement par des phrases exprimées avec des mots, ainsi que de vouloir formuler la plupart des formules mathématiques par des phrases exprimées avec des mots, car si on a créé les symboles mathématiques c'est justement pour ne plus avoir à faire de phrases exprimées avec des mots longues, complexes, alambiquées et ambigües et s'en libérer.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé du seul corollaire [désormais devenu théorème] de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les axiomes de définition du cardinal quantitatif en précisant rigoureusement pour chacun leurs domaines d'applications respectifs, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a tous les axiomes de définition dont on a besoin sur le domaine ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de Steiner-Minkowski, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur le Cardinal quantitatif sont beaucoup plus secs que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur le Cardinal quantitatif et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors cardinal quantitatif et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.

Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$ est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, encore que, pourvu que la conjecture que j'ai émise soit bonne.

Guillaume FOUCART (discussion) 19 juillet 2020 à 13:04 (UTC) (version modifiée)

Partie non digressive 4

1) Remarque : Le seul corollaire de la section 1.3.4 "Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$" devient un théorème.

2) J'ai supprimé certaines notions inutiles, surperflues et qui n'avaient pas de sens et j'ai modifié en conséquence le titre d'une section qui devient : "Définitions de $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$".

J'ai corrigé en conséquence les sections : "Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R}$, et en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$", "Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R} ''$, et en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$", "Utilisation des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$, de $+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$" et "Compléments".

J'ai supprimé des parties de textes inutiles ou qui n'ajoutaient rien à la compréhension de la discussion dans la section : "Remarques sur $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$".

Guillaume FOUCART (discussion) 16 avril 2020 à 18:32 (UTC)

Je n'ai laissé que la 1ère ligne de la section "Série de remarques 3", après m'être aperçu que certaines phrases étaient fausses et que finalement le reste de la section n'apportait rien.

Guillaume FOUCART (discussion) 28 avril 2020 à 18:34 (UTC)

Suite aux modifications mentionnées dans l'avant avant dernier message par rapport à celui-ci : Je viens de supprimer un passage inutile en début de la sous-section "2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\mathcal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$" avant le 1).

Guillaume FOUCART (discussion) 28 avril 2020 à 19:59 (UTC)

Peut-être qu'il faut que je supprime : "1.3.5.3 Proposition 3 (non fondamentale et que l'on peut zapper dans un 1er temps)".

Je ne suis pas sûr d'avoir été totalement rigoureux dans les calculs et je crois que cette proposition alourdit mes travaux sur le Cardinal quantitatif.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 mai 2020 à 13:05 (UTC)

Partie non digressive 5 (réponses à des critiques qui m'ont été faites sur Les-mathematiques.net et auxquelles je n'ai pas répondu sur ces dernières)

[2]

Citation de Ludwig : "Car dans la Saga de Coste, il y a tout un tas d'expressions ou de tournures de phrases qui pourraient indiquer une ironie, voire une moquerie :"

Très honnêtement et très sincèrement, je ne le pense pas.

Tu ne fais que surinterpréter ce qu'a écrit Michel COSTE, dans son PDF.

Je rappelle qu'il s'agit d'un article informel de vulgarisation.

Citation de Ludwig : "Entre l'illisibilité du wiki de J20 et la clarté de la Saga du "cardinal" par Coste, il y a tout un monde."

Mon Wiki vient en complément du PDF de Michel COSTE et ne s'y substitue donc pas.

Au lieu de parler de la notion de cardinal quantitatif sur des exemples particuliers, en dimension 2 et de l'expliquer de manière pédagogique, en prenant complètement le lecteur par la main, et d'expliciter dans ce cas la nature géométrique des coefficients du cardinal quantitatif, mon Wiki après avoir donné l'intuition de ce qu'est le cardinal quantitatif dans l'Introduction, enchaîne les définitions, propositions, résultats et exemples comme c'est le cas dans de nombreux livres et a même tenté de fournir certaines précisions et démonstrations que Michel COSTE n'a pas fournies dans la partie établie et connue, même si pour ce dernier point, il a peut-être failli en partie.

(Cf. aussi les passages en gras de "Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux". Dans leur grande majorité, mes travaux dans leur forme actuelle du 12-07-2020 ne sont pas illisibles mais sont surtout très secs comparés au PDF de Michel COSTE.)

[Ajout du 08/10/2020 : La table des matières de mes travaux a été donnée de la manière la plus détaillée possible, d'où le fait qu'elle soit très fournie et qu'elle soit relativement touffue : Peut-être aurait-il était préférable de cacher les sections qui sont les plus éloignées dans la ramification de cette table des matières ou d'en donner la possibilité au lecteur, afin de gagner en lisibilité.]

Citation de Ludwig : "Même si je ne connais ni J20 ni Michel Coste, je pencherais pour une pression amicale du perturbateur voire perturbé J20 sur Coste, du type de celle qu'il exerce en ce moment sur ce forum. Ou bien Coste (voire n'importe qui) peut écrire à peu près n'importe quoi aujourd'hui (on parle beaucoup de la dérive des revues scientifiques actuellement)."

Non, j'ai vraiment tout fait et j'ai travaillé des centaines d'heures pour améliorer mon Wiki et qu'il ait sa forme actuelle.

Je ne suis pas un perturbateur, après avoir traité la partie connue et établie, j'ai traité la partie spéculative propre à mes travaux de recherche et donc j'en ai clairement annoncé la couleur et la teneur.

Le seul reproche qu'on peut me faire est que j'ai posté à plusieurs reprises par le passé des travaux dans une forme brouillonne et non aboutie qui ont engendrés un déchaînement, un déferlement et un déversement de réactions négatives, d'incompréhension, de moqueries, voire limite de haine, d'exutoire et de lynchage, donc qui ont engendrés une certaine pollution d'une certaine façon.

Dans mon Wiki, j'ai vraiment tout fait pour ne pas écrire n'importe quoi et pour rectifier le tir, tant faire se peut, et ce dernier n'est pas concerné par cette dérive actuelle de beaucoup de revues scientifiques actuelles, il n'est pas verbeux et jargonneux, et d'ailleurs il ne figure dans aucune revue ou dans aucun organisme de publication pour le moment, car je ne l'ai soumis à aucun d'entre eux pour le moment, même pas Vixra, et d'ailleurs je n'ai pas de statut de chercheur et tant qu'on me fera les présentes critiques incendières sur mes travaux sur Les-mathematiques.net, il est préférable que je m'abstienne de le soumettre à une revue ou à un organisme de publication, y compris Vixra.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juillet 2020 à 19:40 (UTC) (version modifiée)

[3]

Citation de Riemann_lapins_cretins : "Interrompre la structure d'une phrase en mettant une virgule entre un verbe et son complément, c'est simplement laid, tant phonétiquement que pour "l'esthétique logique" de l'interlocuteur. Ça ne te choque pas : "J'ai calculé, ce produit, en, développant d'abord, les facteurs d'ordre, deux" ?"

Effectivement, dans la Partie principale de l'Introduction, j'ai abusé des virgules : Je viens de corriger cet état de fait.

Mais, à la virgule près, il n'y a rien à changer dans mes phrases.

Citation de Riemann_lapins_cretins : "ou séparation à gauche de virgules par un espace - des fois oui des fois non d'ailleurs".

Dans ce cas, ce n'est pas volontaire, car je ne fais que des séparations par un espace uniquement à droite de la virgule.

Citation de Riemann_lapins_cretins : "les passages à la ligne qui brisent la cohérence de la phrase (non, ça ne sert pas l'aération, et ça brise en quelque sorte le souffle que le lecteur donne à la phrase qu'il lit mentalement : autrement dit c'est chiant)"

C'est, parfois bien, pour mettre en évidence les articulations d'une phrase longue et complexe, et puis sinon je ne vais pas, nécessairement, mettre, bout à bout, dans une même phrase, des groupes de mots, des formules ou des phrases mathématiques :

Il faut parfois séparer chaque phrase mathématique, par une ligne d'espace, et puis c'est surtout pour aérer le texte, afin qu'il ne forme pas des blocs trop denses, comme c'est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, et qui rend la lecture pénible, sauf peut-être pour les habitués de longue date, qui critiquent les usages actuels en vigueur dans certains livres, alors qu'ils sont parfaitement légitimes voire plus légitimes.

Guillaume FOUCART (discussion) 23 mai 2020 à 17:13 (UTC)

[4]

Citation d'Homo Topi : "Tu dis : - que le CQ est la notion optimale/véritable notion de nombre d'éléments d'un ensemble. Tu ne justifies absolument pas en quoi les autres notions sont moins bonnes (et pourquoi ?) que cette nouvelle notion que tu introduis (sans l'avoir définie pour le moment)"

Si je l'ai fait dans la partie principale de l'Introduction, et puis il s'agit d'une introduction et je n'ai pas à y définir les objets dont je parlerai et que je définirai par la suite, mais juste à les présenter.

Citation d'Homo Topi : "- qu'elle est déjà construite pour les petites variétés. C'est simplement faux, tu n'as encore rien construit à ce moment-là du texte, donc ça ne fait qu'embrouiller un lecteur qui découvre."

Je rappelle que c'est une introduction et que je n'ai pas à définir les objets dont je parlerai et que je définirai par la suite, mais à les présenter.

Citation d'Homo Topi :

"- que le nombre d'éléments d'un singleton vaut 1, sauf que ça c'est le cas pour les cardinaux usuels aussi

- que tu cherches à "aller plus loin" mais on ne sait pas vers où tu veux aller plus loin ni pourquoi, donc ça ne sert à rien de dire ça"

Cela est précisé dans la suite, dans la table des matières et dans la partie spéculative de mes travaux.

Citation d'Homo Topi : "- que la notion usuelle de cardinal ne va "pas assez loin" mais cf ce que je viens de dire, on ne sait pas en quoi tu trouves cette notion insuffisante"

J'ai tout fait pour montrer en quoi elle est insuffisante, et si cela a été insuffisamment fait, cela ne peut plus être le cas dans la version actuelle,

et sinon au passage : "Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien $[-1,1]\subsetneq [-2,2]$ et $[-1,1]$ peut être mis en bijection avec $[-2,2]$"

je viens de rajouter : "et on a $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}([-2,2])-1}{{card}_{Q}([-1,1])-1}}=2}$ et ${card}_{Q}([-1,1])<{card}_{Q}([-2,2])$,

alors qu'on a ${card}_{E}([-2,2])={card}_{E}([-1,1])$,

où ${card}_{Q}(A)$ désigne le cardinal quantitatif de l'ensemble $A$, sous certaines conditions sur l'ensemble $A$

et ${card}_{E}(A)$ désigne le cardinal potentiel de l'ensemble $A$, c'est-à-dire le cardinal de Cantor ou le cardinal classique de l'ensemble $A$."

Si avec et après ça tu ne sais toujours pas pourquoi je trouve que la notion de cardinal usuelle est insuffisante, je ne peux rien faire pour toi.

Citation d'Homo Topi : "- que la notion usuelle de cardinal n'est qu'une mesure de l'ordre de grandeur, et pas du nombre exact d'éléments, dans le cas des ensembles infinis. Là, d'accord, c'est vrai, mais c'est normal aussi... comment veux tu compter des objets qui existent en nombre infini ?"

Hé non, justement, ce n'est pas normal et j'ai des arguments qui vont dans ce sens.

Bien sûr, mes constructions se basent sur celle de l'ensemble $\mathbb {N}$ et, par généralisation à partir de la construction de ce dernier ensemble, sur celles de $\mathbb {R}$, ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$, etc $\cdots$ qui possèdent de bonnes propriétés et pas sur celle d'un ensemble infini quelconque $E$, pour lequel on ne peut rien faire d'autre que de s'en remettre au cardinal de Cantor.

Guillaume FOUCART (discussion) 25 mai 2020 à 12:53 (UTC)

[5]

En réponse à Calli, concernant l'ensemble d'arrivée de l'application $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}}$ qui à aucun moment n'a été donné par Michel COSTE dans ses PDF "La saga du "cardinal"" :

J'ai récemment précisé que, dans un 1er temps, on peut considérer que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {N} \bigcup +\infty }$

où, ici, $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Je n'ai pas, pour l'instant, besoin d'un formalisme et d'une rigueur plus poussés pour définir l'ensemble $+\infty$ et cette définition est parlante, intuitive et est, pour l'instant, suffisante.

Guillaume FOUCART (discussion) 28 juillet 2020 à 20:12 (UTC)

Voici un message de raoul.S à peu près positif au sujet de l'Introduction de mes travaux :

[6]

Vu que mes phrases ne sont pas creuses, sont bien construites et correctement exprimées, lorsqu'il dit que mes propos ne sont globalement pas clairs, il veut sûrement dire par là que je ne suis pas assez précis dans la présentation de l'objet de mes travaux et que je ne donne pas assez de détails concernant sa description. Je veux bien être plus précis et donner plus de détails, mais je pense que cela alourdira l'Introduction.

Quant à la généralisation du cardinal quantitatif à toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, je pense qu'on peut tendre indéfiniment vers un tel but, sans que le sujet ne s'épuise, moyennant au moins une première concession, et peut-être même une reformulation de la conjecture principale. Ce qui n'est pas rien.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juillet 2020 à 19:49 (UTC)

[7]

Citation de J20 = Moi-même : "Peut-être que ceux qui me critiquent, n'ont pas un niveau en mathématiques suffisant, pour pouvoir me comprendre, et je ne peux pas faire grand chose pour eux, à ce niveau là."

Je voulais, en fait, parler de certains qui me critiquent, car il est évident que des intervenants comme Poirot voire apparemment raoul.S et peut-être mais ça se voit moins comme "Riemann_lapins_cretins" et "Homo Topi", malgré leur M2 et le fait qu'ils ont fait prépa (et peut-être comme Calli qui est un élève de maths spé au lycée Louis Le grand) ont le niveau suffisant, pour pouvoir suivre et comprendre mes travaux.

J'aurais dû m'abstenir d'une telle phrase, car on peut l'interpréter comme un sentiment de condescendance et de supériorité permettant à celui qui la dit ou qui la prononce de se protéger, à bon compte, de toute attaque possible venant des autres, puisque de toute façon ils ne peuvent pas comprendre ses travaux,

comme l'indique le message :

[8]

Citation de gerard0 : "Homo Topi,

il se protège des critiques destructrices par ce procédé. Il lui reste toujours l'excuse "ils n'ont pas réussi à me comprendre". C'est assez classique dans certaines pathologies mentales ...

Cordialement"

qui ne fait que surinterpréter, car d'expérience, cela est particulièrement vrai de nombreux shtameurs

(mais à la place de "pathologies mentales", j'aurais dit "pathologies ou maladies psychiatriques" ou "pathologies ou maladies psychiques", car les personnes qui ont un handicap mental et un retard mental dus à une pathologie développementale ou à un accident ne vont généralement par sur Shtam, elles n'en ont ni l'envie, ni les capacités. De plus l'état de ces personnes est stable, ce qui n'est pas toujours le cas de l'état de ceux qui sont atteints de maladies "psychiques", qui ne présentent pas nécessairement de retard mental.

Et même si le niveau sur Shtam est relativement faible, il est trop élevé pour ces personnes.)

Mais telles n'étaient pas mes intentions et j'ai écrit trop vite et on m'enfonce trop vite dans les cas clichés, car je suis toujours prêt à toute discussion et à toute remise en question.

Par ailleurs, tout comme gerard0, Fin de partie base souvent ses réponses sur les réponses des autres, sans aller à la source, et il arrive que celles-ci relèvent plus du fantasme et du cliché que de la {réalité|vérité} objective, même si elles peuvent avoir des apparences de vérité.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juillet 2020 à 18:56 (UTC)

De manière générale, concernant Ludwig, Riemann_lapins_cretins, Homo Topi, Poirot, Corto ou tout intervenant Des-mathematiques.net, je ne sais pas jusqu'où ils ont lu mes travaux sur le Cardinal quantitatif ou du moins tout ce qu'ils ont pu lire dedans, pour les critiquer autant.

Je suis prêt à parier que pour la plupart, ils n'ont lu que le début c'est-à-dire l'Introduction, et qu'ils les ont à peine survoler dans leur ensemble, mais peut-être que je me trompe.

Guillaume FOUCART (discussion) 24 mai 2020 à 14:04 (UTC)

Mes travaux sur le Cardinal quantitatif sont, au moins, devenus légendaires sur Les-mathematiques.net, mais pour des raisons particulièrement virulentes et négatives, mais pas toujours bonnes et/ou jamais ou rarement mises en évidence de manière explicite et constructive par les différents intervenants : Ce qui ne veut pas dire que mes travaux sont sans défaut, loin de là.

Ils peuvent aussi susciter des réactions d'indifférence données dans [9].

Cf. aussi ma réponse associée [10].

La situation a été pourrie dès le départ car mes travaux dans leur forme initiale ont été mal reçus sur Les-mathematiques.net et car j'ai commis postérieurement beaucoup d'impairs et que je n'ai pas su et réussi à rattraper le coup, malgré mes nombreuses modifications et tentatives d'amélioration.

Par ailleurs, contrairement à beaucoup de posts ou de travaux y compris dans le sous-forum Shtam sur Les-mathematiques.net, mes travaux font actuellement 60 pages écrites en petits caractères avec une table des matières qui fait plus d'1 page voire 2 (les titres des définitions, propositions, résultats et exemples y figurant, alors que ce n'est pas le cas classiquement dans la littérature, et alourdissent donc probablement la table des matières et rendent inconfortable sa lecture pour un certain nombre d'intervenants qui le savent inconsciemment mais sont incapables de le verbaliser et de manière générale sont incapables de verbaliser les défauts et les erreurs de mes travaux, sauf de manière vague, très générale et peu constructive).

Le fait que mes travaux sur le Cardinal quantitatif ne passent pas ou n'arrivent pas à passer sur un forum de mathématiques aussi sérieux que Les-mathematiques.net (où les intervenants sont principalement des élèves de prépa ou des normaliens ou passant le CAPES ou l'agrégation ou des doctorants ou des docteurs ou des prof. de prépa ou des maîtres de conférences) pose problème.

Pourtant l'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$ est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, encore que, pourvu que la conjecture que j'ai émise soit bonne.

Guillaume FOUCART (discussion) 25 mai 2020 à 16:11 (UTC)

Partie non digressive 6

Je crois qu'il est préférable de décomposer chacun des théorèmes suivants en un lemme (sur les coefficients ${\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}),\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{\text{ou}}\,\,{\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}),\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ et les applications ${\mathcal {L}}_{j,i},\,\,c_{j,i}\,\,{\text{ou}}\,\,{\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}$) et en un théorème (sur ${card}_{Q,i}$, ${card}_{Q}$ ou ${\widetilde {{card}_{Q,i}}}$, ${\widetilde {{card}_{Q}}}$) :

"Théorème admis($\displaystyle {{card}_{Q}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in C^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)"

"Théorème ($\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in C^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)"

Guillaume FOUCART (discussion) 14 juin 2020 à 19:02 (UTC)

C'est fait.

Guillaume FOUCART (discussion) 16 juin 2020 à 17:15 (UTC)

Au passage, j'avais modifié, corrigé et amélioré, avant, le contenu des 2 propositions : "Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)".

Guillaume FOUCART (discussion) 16 juin 2020 à 21:05 (UTC)

J'ai {enlevé|retiré} de nombreux "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$"

dans "Définition des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$"

et dans "Utilisation des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$, de $+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$".

Guillaume FOUCART (discussion) 18 juin 2020 à 16:24 (UTC J'ai supprimé tout un passage superflu et faux en général, dans "Compléments".

Guillaume FOUCART (discussion) 18 juin 2020 à 17:06 (UTC)

J'ai appliqué la "Série de remarques 3" à mes travaux sur le Cardinal quantitatif.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 juin 2020 à 21:52 (UTC)

J'ai continué, aujourd'hui, à appliquer la "Série de remarques 3" (modifiée) à mes travaux sur le Cardinal quantitatif, de façon plus approfondie,

et j'ai redéfini, de manière non classique, les objets "$+\infty$" et "$+\infty ''$", en les considérant comme des ensembles, par : $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ (On a : $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.),

et j'ai redéfini, de manière non classique, les objets $\mathbb {R}$ et $\mathbb {R} ''$, par : $\mathbb {R}$ et $\mathbb {R} ''$, tout simplement,

où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''$.

Guillaume FOUCART (discussion) 20 juin 2020 à 14:36 (UTC)

Dans "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$"

"A) Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\},\,\,a<b$,

où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On note :

"$R_{a,b}=(a,b[$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty$" où $+\infty$ est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\mathbb {R}$.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x<b\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x\geq a\}$

ou

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x>a\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=(a,b[$."

$\cdots$

B) Définition des relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" sur ${\mathcal {F}}(R_{a,b})$ et des relations d'égalité "$=$" et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}$ :

Soient $f,g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})$.

Mes relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'égalité "$=$" sont définies par :

$\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)=0}$

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}={\underset {+\infty }{\sim }}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$

Mes relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

$\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow \lim _{b^{-}}(f-g)<0}$,

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{<}}={\underset {+\infty }{<}}$ et $\lim _{b^{-}}(f-g)=\lim _{+\infty }(f-g)$,

et la seconde relation d'ordre est totale.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juin 2020 à 11:53 (UTC) (version modifiée)

Partie non digressive 7 ("${PV2}(\mathbb {R} ^{N})$" et "${PV}_{2}(\mathbb {R} ^{N})$")

Remarque :

Il est possible que certains fassent la confusion entre :

"${PV}_{2}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{2}^{N}}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A_{2}^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({A_{2}^{N}})=2{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{2}^{N}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({A_{2}^{N}})=2{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$"

et

"${PV2}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,(C^{0})\,\,et\,\,(C^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord\}}$"

En conséquence, on peut renommer

${PV}(\mathbb {R} ^{N})$ : ${{PV}(1)}(\mathbb {R} ^{N})$,

${PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ : ${{PV}(2)}(\mathbb {R} ^{N})$

et pour tout $i\in \mathbb {N} _{N}$, ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ : ${{PV}(1)}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$.

Mais on n'est pas obligé de le faire, car les objets suivants : "${PV2}(\mathbb {R} ^{N})$" et "${PV}_{2}(\mathbb {R} ^{N})$" ne sont pas exactement notés de la même façon : le "$2$" n'est pas en indice pour l'un, mais l'est pour l'autre.

Guillaume FOUCART (discussion) 23 juin 2020 à 20:25 (UTC)

Partie non digressive 8

Sous-partie 1

J'ai modifié une partie du contenu de "Compléments".

Je suis, encore, incertain sur la forme de l'ensemble "$\displaystyle {\prod _{i\in \mathbb {N} _{n}}R_{i}}$".

Par ailleurs, pour plus de lisibilité, certaines parties du texte de mes travaux sur le Cardinal quantitatif ont été mises en petits caractères.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juin 2020 à 11:38 (UTC)

Sous-partie 2

J'ai modifié la sous-section A) de "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$" :

• ${\mathcal {F}}(R_{a,b})={\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,{\underset {?}{\text{ou}}}\,\,{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})$,

où $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,R_{a,b}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue}}\}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{b^{-}}f=+\infty \}}$,

et $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b}),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b}),\,\,{\mbox{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$,

« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juin 2020 à 20:43 (UTC)

Sous-partie 3

Je viens de supprimer "Proposition 3 (non fondamentale et que l'on peut zapper dans un 1er temps : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux)" qui alourdissait plus qu'autre chose la page de mes travaux.

Guillaume FOUCART (discussion) 13 juillet 2020 à 16:06 (UTC)

Je viens de supprimer les 2 longs passages inutiles qui étaient en petit et en bleu.

Guillaume FOUCART (discussion) 15 juillet 2020 à 18:28 (UTC)

Sous-partie 4 (Cette théorie [dans sa partie spéculative] en est peut-être à un point critique voire une situation critique)

Préliminaires

J'ai modifié le titre et le contenu d'"Axiome de normalisation" qui devient : "Proposition (plafonnement à l'infini de $\mathbb {R} _{+}$, normalisé) basée sur la conjecture principale",

et j'ai donc modifié, en conséquence, le titre de la sous-section : "Axiomes concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R}$, et, en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} )$"

qui devient : "Propositions concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R}$, et, en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} )$, basées ou en partie basées sur la conjecture principale",

et les autres axiomes deviennent ou sont plutôt en fait des propositions dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale.

Idem avec une autre sous-section analogue.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 juillet 2020 à 16:37 (UTC) (version modifiée)

Je rencontre des problèmes dans la 1ère proposition de la sous-section mentionnée dans mon message précédent.

Soit il y a une erreur de raisonnement dans ma démonstration et le problème sera réglé, soit il faudra modifier le contenu de la conjecture principale et cela affectera d'autres propositions et contenus.

Cette théorie (dans sa partie spéculative) est peut-être dans une situation critique.

Guillaume FOUCART (discussion) 26 juillet 2020 à 13:40 (UTC) (version modifiée)

Partie inutile :

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

De plus, soit $p\in \mathbb {N}$.

Si $p\rightarrow +\infty$ où $+\infty$ est considéré comme un point,

alors $p-1\rightarrow +\infty$ et $\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }(p-1)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }p=+\infty }$

etc $\cdots$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,p\})=p+1}$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigcup \{+\infty \}){\Big (}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{+\infty \})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+1{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}({\overline {\mathbb {N} }})}$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }p])={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+}\bigcup \{+\infty \}){\Big (}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+})+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{+\infty \})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+})+1{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}({\overline {\mathbb {R} _{+}}})}$.

Si $p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )\in +\infty$ où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

alors $p-1\rightarrow \sup(\mathbb {N} )-1\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {N} )-1\neq \sup(\mathbb {N} )$

etc $\cdots$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\})}$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\})}$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p])={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+})+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\})}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p])={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} _{+})+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\})}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 22 janvier 2021 à 19:03 (UTC)

Option 0 :

On considère que $\displaystyle {\sup(\mathbb {R} )=\sup(\mathbb {N} )=2\sup(\mathbb {N} )=+\infty }$

où $-\infty ,+\infty$ sont considérés comme des points.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[0,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[0,2p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,2p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[0,2p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,2p[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-p,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[-p,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p[)}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]-p,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }]-p,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-p,p[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-2p,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }[-2p,2p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-2p,2p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]-2p,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }]-2p,2p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-2p,2p[)}$.

Soient $\displaystyle {f\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} }$ telle que $f\,\,{\text{continue, strict.}}\searrow$ et $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} _{+},\,\,x\rightarrow +\infty }f(x)=-\infty }$,

et $\displaystyle {g\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} }$ telle que $g\,\,{\text{continue, strict.}}\nearrow$ et $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} _{+},\,\,x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty }$,

et $\forall x\in \mathbb {R} _{+},\,\,f(x)<g(x)$

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([f(p),g(p)])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[f(p),g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([f(p),g(p)])}$

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]f(p),g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }]f(p),g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]f(p),g(p)[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,g(p)])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)])}$

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }[0,g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)[)}$.

On peut tenter les autres options, mais l'option 0 semble cohérente et on est à peu près sûr qu'elle fonctionnera contrairement aux autres où il faut faire preuve d'une grande sagacité et d'une grande ingéniosité, si on veut espérer qu'elles marchent.

Il n'empêche que si je veux faire appel à l'option 0, il me faut de nouvelles notations pour distinguer le point "$+\infty$" de l'ensemble "$+\infty$".

Guillaume FOUCART (discussion) 27 janvier 2021 à 20:00 (UTC)

Option 1 :

On considère que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p[)}$

Mes travaux sur le Cardinal quantitatif n'ont vraisemblablement pas fini de nous donner du fil à retordre, sauf peut-être si on choisit l'option 0.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-p,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-p,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]-p,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]-p,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-p,p[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-2p,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-2p,2p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-2p,2p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]-2p,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]-2p,2p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-2p,2p[)}$.

Soient $\displaystyle {f\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} }$ telle que $f\,\,{\text{continue, strict.}}\searrow$ et $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} _{+},x\rightarrow \sup(\mathbb {R} )}f(x)\in -\infty }$,

et $\displaystyle {g\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} }$ telle que $g\,\,{\text{continue, strict.}}\nearrow$ et $\displaystyle {\lim _{x\in \mathbb {R} _{+},x\rightarrow \sup(\mathbb {R} )}g(x)\in +\infty }$,

et $\forall x\in \mathbb {R} _{+},\,\,f(x)<g(x)$

et où $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et où, ici, $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([f(p),g(p)])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[f(p),g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([f(p),g(p)])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{(]f(p),g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]f(p),g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]f(p),g(p)[)}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,g(p)])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([0,g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)[)}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 janvier 2021 à 20:02 (UTC)

Option 2 (sous-section inutile):

On considère que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et où, ici, $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}[0,\sup(\mathbb {N} )],{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}[0,\sup(\mathbb {N} )[,{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,p[)}$,

où $\displaystyle {[0,\sup(\mathbb {N} )]=\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\}}$

et où $\displaystyle {[0,\sup(\mathbb {N} )[=\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<\sup(\mathbb {N} )\}}$.

Peut-être que les notations : "${\Big [}[0,\sup(\mathbb {N} )],{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" et "${\Big [}[0,\sup(\mathbb {N} )[,{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" sont inutiles

et devraient être remplacées simplement par les notations : "$[0,\sup(\mathbb {N} )]$" et "$[0,\sup(\mathbb {N} )[$",

après tout, ces 2 derniers ensembles sont bornés dans $\displaystyle {\mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty }$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )],{([-p,p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-p,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p])}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}[-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )],{([-2p,2p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-2p,2p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-2p,2p])}$,

où $\displaystyle {[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )]=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq -\sup(\mathbb {N} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\}}$

et où $\displaystyle {[-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )]=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq -2\sup(\mathbb {N} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq 2\sup(\mathbb {N} )\}}$.

Peut-être que les notations : "${\Big [}[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )],{([-p,p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" et "${\Big [}[-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )],{([-2p,2p])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" sont inutiles

et devraient être remplacées simplement par les notations : "$[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )]$" et "$[-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )]$",

après tout, ces 2 derniers ensembles sont bornés dans $\displaystyle {-\infty \bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty }$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}]-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )[,{(]-p,p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]-p,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-p,p[)}$,

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}]-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )[,{(]-2p,2p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]-2p,2p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]-2p,2p[)}$,

où $\displaystyle {]-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )[=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x>-\sup(\mathbb {N} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<\sup(\mathbb {N} )\}}$

et où $\displaystyle {]-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )[=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x>-2\sup(\mathbb {N} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<2\sup(\mathbb {N} )\}}$.

Peut-être que les notations : "${\Big [}]-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )[,{(]-p,p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" et "${\Big [}]-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )[,{(]-2p,2p[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}$" sont inutiles

et devraient être remplacées simplement par les notations : "$]-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )[$" et $]-2\sup(\mathbb {N} ),2\sup(\mathbb {N} )[$,

après tout, ces 2 derniers ensembles sont bornés dans $\displaystyle {-\infty \bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty }$.

Soient $\displaystyle {f\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \bigcup -\infty }$ telle que $f\,\,{\text{continue, strict.}}\searrow$ $\displaystyle {{\Big (}{\text{et}}\,\,\lim _{x\in \mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\},\,\,x\rightarrow \sup(\mathbb {R} )}f(x)=f{\Big (}\sup(\mathbb {R} ){\Big )}\in -\infty {\Big )}}$ et $f(\mathbb {R} _{+})\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ et $f(\{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\})\in {\mathcal {P}}(-\infty )$,

et $\displaystyle {g\,\,:\,\,\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \bigcup +\infty }$ telle que $g\,\,{\text{continue, strict.}}\nearrow$ $\displaystyle {{\Big (}{\text{et}}\,\,\lim _{x\in \mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\},\,\,x\rightarrow \sup(\mathbb {R} )}g(x)=g{\Big (}\sup(\mathbb {R} ){\Big )}\in +\infty {\Big )}}$ et $g(\mathbb {R} _{+})\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ et $g(\{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\})\in {\mathcal {P}}(+\infty )$,

et $\forall x\in \mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty ,\,\,x\leq \sup(\mathbb {R} )\},\,\,f(x)<g(x)$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\bigg (}{\bigg [}{\Big [}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]},{([f(p),g(p)])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[f(p),g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([f(p),g(p)])}$

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\bigg (}{\bigg [}{\Big ]}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [},{(]f(p),g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}]f(p),g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]f(p),g(p)[)}$,

où $\displaystyle {[f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}]=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}}$,

et où $\displaystyle {]f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}[=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x>f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}}$.

Peut-être que les notations : "${\bigg [}{\Big [}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]},{([f(p),g(p)])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}$" et "${\bigg [}{\Big ]}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [},{(]f(p),g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}$" sont inutiles

et devraient être remplacées simplement par les notations : "${\Big [}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]}$" et "${\Big ]}f{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )},g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [}$",

après tout, ces 2 derniers ensembles sont bornés dans $\displaystyle {-\infty \bigcup \mathbb {R} \bigcup +\infty }$.

On a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\bigg (}{\bigg [}{\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]},{([0,g(p)])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,g(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)])}$

et/ou on a peut-être : $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\bigg (}{\bigg [}{\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [},{([0,g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,g(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([0,g(p)[)}$,

où $\displaystyle {[0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}]=\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}}$,

et où $\displaystyle {[0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}[=\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x<g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}\}}$.

Peut-être que les notations : "${\bigg [}{\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]},{([0,g(p)])}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}$" et "${\bigg [}{\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [},{([0,g(p)[)}_{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\bigg ]}$" sont inutiles

et devraient être remplacées simplement par les notations : "${\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big ]}$" et "${\Big [}0,g{\Big (}\sup(\mathbb {N} ){\Big )}{\Big [}$",

après tout, ces 2 derniers ensembles sont bornés dans $\displaystyle {\mathbb {R} _{+}\bigcup +\infty }$.

Guillaume FOUCART (discussion) 27 janvier 2021 à 20:04 (UTC)

Autres conditions éventuelles + Post propos

Si on veut sauver la situation concernant la partie spéculative, il va falloir ruser encore plus.

Et encore là, nous ne sommes qu'en dimension $1$ : Qu'est-ce que cela va être en dimension $n$, avec $n\geq 2$ ?

Mais en fait, l'"Option 0" qui a été rajoutée après les "Options 1 et 2" et qui est l'option la plus simple et la plus classique semble sauver les meubles.

Je pense par ailleurs qu'il faut imposer une condition supplémentaire sur les expressions analytiques de $f$ et de $g$ en fonction de $x$, pour tout point $x$ de leurs domaines de définition respectifs, que je ne sais pas formuler (Il faut que les expressions analytiques de $f$ en fonction de $x$ soient "identiques", pour tout point $x$ de son domaine de définition $D_{f}$, de même il faut que les expressions analytiques de $g$ en fonction de $x$ soient "identiques", pour tout point $x$ de son domaine de définition $D_{g}$.).

On peut avoir par exemple :

$\forall x\in D_{f},\,\,f(x)=2x\,\,[=expression(f,x)]$

et $\forall x\in D_{g},\,\,g(x)=-3x\,\,[=expression(g,x)]$

ou par exemple :

$\forall x\in D_{f},\,\,f(x)=x^{2}+1\,\,[=expression(f,x)]$

et $\forall x\in D_{g},\,\,g(x)=-e^{x}\,\,[=expression(g,x)]$.

Mais je pense qu'avec l'"Option 0", on n'a pas besoin et on peut se passer de cette condition supplémentaire.

Guillaume FOUCART (discussion) 30 juillet 2020 à 13:18 (UTC)

Concernant la construction de nombres infinis, en ayant des intuitions et des idées plus ou moins claires, il faut les tester et si elles ne fonctionnent pas, il faut continuer à patauger et à se dépatouyer et cela peut durer longtemps, très longtemps, sans nécessairement qu'on aboutisse à quoi que ce soit.

Guillaume FOUCART (discussion) 29 juillet 2020 à 12:46 (UTC)

L'utilisation des plafonnements à l'infini est nécessaire pour éviter les contradictions, mais elle n'est malheureusement pas suffisante, en effet :

La "Série de remarques 3 (à propos de la signification du symbole "$+\infty$")" et l'"Option 0", plus haut, sont incompatibles.

Il faut résorber ce problème et faire des choix, quitte à prendre et à choisir une autre Option, même prise parmi celles non mentionnées plus haut.

Guillaume FOUCART (discussion) 14 novembre 2020 à 19:43 (UTC)

Mais l'"Option 2" non classique, plus haut, est quant à elle compatible avec la "Série de remarques 3 (à propos de la signification du symbole "$+\infty$")".

De plus, compte tenu de ce que j'ai dit dans mon dernier message dans "Préliminaires" avant l'"Option 0", l'"Option 2" semble la plus adaptée.

Guillaume FOUCART (discussion) 10 janvier 2021 à 20:05 (UTC)

Il va falloir changer certains "$A$" dans certaines expressions "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$".

Notamment lorsque ${(A_{i})}_{i\in I}={({[-r,r]}^{n})}_{r\in \mathbb {N} }\,\,{\text{ou}}\,\,{(A_{i})}_{i\in I}={{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }$, il faut remplacer $A=\mathbb {R} ^{n}$, par autre chose, en tenant compte de l'"Option 2" et de mon dernier message dans "Préliminaires" avant l'"Option 0".

Ainsi que les classes d'ensembles dans lesquelles sont pris les "$A$".

(Tout compte fait, compte tenu de ce qui suit, peut-être pas.)

Guillaume FOUCART (discussion) 22 janvier 2021 à 19:22 (UTC)

Partie inutile :

Attention concernant "Préliminaires" et "Options 0, 1 et 2", il y a vraisemblablement un correctif à faire :

En posant $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$

et en posant la convention $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$,

on a : $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-r,r]={\Big [}[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )],{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}{\Big ]}}$,

où $\displaystyle {[-\sup(\mathbb {N} ),\sup(\mathbb {N} )]=\{x\in -\infty \,\,|\,\,x\geq -\sup(\mathbb {N} )\}\bigcup \mathbb {R} \bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\}}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 24 janvier 2021 à 12:24 (UTC)

Je viens de faire le correctif.

Guillaume FOUCART (discussion) 22 janvier 2021 à 18:24 (UTC)

A-t-on, par exemple : $\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p])=\lim _{p\in \mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p])}$ ?

Si oui, cela risque de poser problème.

Après tout, je ne suis pas, nécessairement, obligé de considérer et de travailler avec les ensembles du type : $\displaystyle {\mathbb {N} \bigcup \{\cdots ,\,\,\sup(\mathbb {N} )-1,\,\,\sup(\mathbb {N} )\}}$ ou $\displaystyle {[0,\sup(\mathbb {N} )]=\mathbb {R} _{+}\bigcup \{x\in +\infty \,\,|\,\,x\leq \sup(\mathbb {N} )\}}$, où $+\infty$ est considéré comme un ensemble.

Je peux simplement ne considérer que et ne travailler uniquement qu'avec des limites du type : $\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([-p,p])}$ où, ici, $+\infty$ est considéré comme un point.

On pourra d'ailleurs, dans ce cas, renommer "$+\infty$", "$+\infty _{0}$" et {utiliser|réserver} la notation "$+\infty$" lorsqu'on souhaite qu'elle désigne un ensemble.

Guillaume FOUCART (discussion) 24 janvier 2021 à 12:18 (UTC)

Au lieu de se restreindre à la classe de parties $\displaystyle {{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})}$, je crois qu'on peut élargir notre horizon à la classe des parties de $\mathbb {R} ^{n}$,

$\{A_{n}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A_{n}\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,(born{\acute {e}}e\,\,ou\,\,non),\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord,\,\,(mais\,\,pas\,\,n{\acute {e}}cessairement\,\,ferm{\acute {e}}es)\}$

c'est-à-dire $\{A_{n}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A_{n}\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord\}$,

mais je n'en suis pas certain, car pourquoi alors Michel COSTE s'est restreint à la classe de parties ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ qui est, en particulier, une classe de parties fermées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2021 à 16:44 (UTC)

Remarque :

$\forall A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,{\stackrel {\circ }{A}}\subset A\subset {\overline {A}}$

Si de plus $A$ est connexe et de dimension $n$, on peut alors dire que ${\stackrel {\circ }{A}}$ est une sous-variété de $\mathbb {R} ^{n}$, ouverte, connexe, d'une certaine classe de régularité et de dimension $n$, et que ${\overline {A}}$ est une sous-variété de $\mathbb {R} ^{n}$, fermée, connexe, d'une certaine classe de régularité et de dimension $n$.

Mais si ${\stackrel {\circ }{A}}\subsetneq A\subsetneq {\overline {A}}$, on ne peut pas qualifier $A$ de sous-variété et en particulier de sous-variété, connexe, d'une certaine classe de régularité et de dimension $n$.

Il faut donc la qualifier de partie de $\mathbb {R} ^{n}$, connexe, d'une certaine classe de régularité et de dimension $n$

et de manière analogue pour les parties $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $i\in \mathbb {N} _{n}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2021 à 20:23 (UTC)

Je crois qu'au stade actuel, mes travaux dans leur forme spéculative ne sont plus dans une situation critique, mais semblent plutôt être dans une situation prometteuse

En prenant en compte mon message antérieur du 18 février 2021 à 16:44 (UTC), un peu plus haut, la notion de plafonnement à l'infini, et l'axiome ou la conjecture associé(e), je crois qu'on peut effectivement faire "péter" de la quantité infinie, plus fou, plus fort et plus finement que Cantor, même si pour l'instant cela ne se cantonne, pour le moment, qu'à la classe des parties de $\mathbb {R} ^{n}$, convexes, (connexes), de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux) ou sans bord, car je crois, maintenant, qu'on dispose des bases pour généraliser d'avantage.

Guillaume FOUCART (discussion) 18 février 2021 à 20:49 (UTC)

Sous-partie 5

J'ai supprimé l'expression qui prêtait à confusion et n'avait pas beaucoup de sens : "Le cardinal quantitatif est la notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble".

J'ai préféré dire et ne laisser à la place que l'expression : "Le cardinal quantitatif est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, du moins au moins sur la classe d'ensembles que constitue ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$".

Guillaume FOUCART (discussion) 9 octobre 2020 à 19:33 (UTC)

Sous-partie 6 (Problème de définition des "angles" $\theta _{n}$, ainsi que de notation et de nommage, avec les généralisations pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$, quelconque, des rotations de centre $M$ et d'angle $\theta _{n}$ dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n=2$)

Je ne crois pas que j'ai utilisé la bonne notation et la bonne appellation concernant : "${rot}_{(M,\theta _{n})}$", de plus les "angles" $\theta _{n}$ sont peut-être mal définis, dans :

"$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(M,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(M,\theta _{n})}(A)$, est la rotation de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$."

Remarque : Les généralisations ne doivent pas concerner les rotations d'axe $\Delta$, avec $M\in \Delta$, et d'angle $\theta _{n}\in \mathbb {R}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ :

Je tiens, absolument, à ce que les généralisations des rotations concernées s'appliquent à des centres et soient en quelque sorte des "rotations sphériques" de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$ , dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$, dans le cas où $n=3$.

Guillaume FOUCART (discussion) 2 janvier 2021 à 14:48 (UTC)

Sous-partie 7

J'avais précédemment amélioré les titres de la sous-section :

"Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$".

J'ai amélioré la sous-section :

"Proposition admise ($\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$)",

et j'ai ajouté la sous-section : "Théorème admis de Hadwiger".

Guillaume FOUCART (discussion) 2 janvier 2021 à 16:04 (UTC)

Sous-partie 8

Le 03 février 2021 :

Pour obtenir une version publiable, on peut omettre voire supprimer les sous-sections suivantes :

1.4.5.3 Définitions de ${diam}$ et ${\widetilde {diam}}$

1.4.5.4 Définition des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$

1.4.5.5 Utilisation des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, sur $\mathbb {R} ''$, de $+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$

1.4.5.6 Compléments

Mais cela ne suffira pas, car il reste certains détails à résoudre et il me manque les références que Michel COSTE a omises dans son pdf "La saga du "cardinal"" (version 4).

Sans elles, mes travaux ne pourront être acceptés ou validés.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 février 2021 à 20:39 (UTC)

J'ai rectifié la sous-section : Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$/Remarque importante.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 juillet 2021 à 08:37 (UTC)

Sous-partie 9 (cardinal quantitatif d'une partie non bornée dans un espace qui est aussi un plafonnement à l'infini)

Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement à l'infini $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement à l'infini $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Guillaume FOUCART (discussion) 6 février 2021 à 14:30 (UTC)

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Guillaume FOUCART (discussion) 5 février 2021 à 19:18 (UTC)

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Guillaume FOUCART (discussion) 5 février 2021 à 19:38 (UTC)

Reste à définir "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$" ou plutôt "${card}_{Q,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", si la mention du repère ${\mathcal {R}}$ est inutile et superflue, lorsque $B\neq A$.

Guillaume FOUCART (discussion) 6 février 2021 à 17:27 (UTC)

Partie non digressive 9 (Problème important : ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de cardinal quantitatif, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$)

Tribu (mathématiques)

Et pourtant Michel COSTE a fait comme si ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ était une tribu de parties, comme si de rien n'était.

Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (ou de la classe de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$), leurs complémentaires (dans $\mathbb {R} ^{n}$). Mais, alors il faut parler du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{n}$ ou plus précisément du cardinal quantitatif, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements à l'infini $[\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}]$ qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

J'aurais dû m'en apercevoir dès le {début|départ} ou depuis longtemps.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 juin 2021 à 10:35 (UTC)

En consultant la discussion sur Les-mathematiques.net intitulée "Mes cardinaux" où est intervenu Michel COSTE en 2007, à propos de mes travaux (et qui suite à ma demande de suppression de mes traces, a été malencontreusement supprimée intégralement, mais dont je possède une copie en PDF) et les PDF intitulés "La saga du "cardinal"" (version 1 à 4), qu'il y a postés, je n'ai pas vu Michel COSTE dire explicitement que la notion de cardinal quantitatif était une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Pourtant, il me semble bien avoir vu, quelque part, quelque chose qui m'a influencé à ce sujet.

Guillaume FOUCART (discussion) 5 juin 2021 à 13:27 (UTC)

Série de remarques 9 (A propos de ma demande de suppression de discussions sur le forum Maths-Forum)

Sous un compte "MPF" créé à cet effet, j'avais demandé à Lostounet, l'un des administrateurs du forum Maths-Forum, de supprimer, en lui listant les liens url, les discussions que j'avais initiées et créées, il y a 4-5 ans, relatives au cardinal quantitatif, car elles font de l'ombre à mes travaux sur la Wikiversité.

Or celui-ci n'a pas exécuté ma demande et a préféré, à la place et sans que je lui ai demandé, supprimer mon compte "Matheux philosophe" avec tous ses messages et m'a banni après, seulement, 3 messages, sous mon compte "MPF".

NB : J'avais déjà été banni sous mon pseudo "Matheux philosophe" à cause de ces discussions et du fait que j'avais signalé que Les-mathematiques.net m'avaient déjà banni pour des discussions antérieures sur le même thème.

En espérant et en attendant que ma requête soit exécutée, j'ai refait cette demande auprès de la maison mère du forum Maths-Forum depuis 2016 : digiSchool.

NB : Mes travaux présents sur la Wikiversité sont une version actualisée de mes travaux qui a, énormément, évoluée depuis.

Guillaume FOUCART (discussion) 24 avril 2021 à 19:33 (UTC)

Voici le message dont il est question :

Rappel (+ petit correctif) : Problèmes pour supprimer intégralement des discussions que j'ai initiées sur Maths-Forum

   mercredi 5 mai, 09:13
   12 Ko
   Assurer un Suivi

   De :
       ***

   A :
       contact@digischool.fr

‌

---

mail transféré ----------

Envoyé: jeudi 22 avril 2021 16:28 De : *** A : contact@digischool.fr Objet : Problèmes pour supprimer intégralement des discussions que j'ai initiées sur Maths-Forum

‌Bonjour,

Sur le forum «Maths-Forum», en créant un compte «MPF» à cet effet et en m'y loguant, j'ai demandé à l'administrateur Lostounet, la suppression intégrale des discussions mentionnées ci-dessous que j'avais initiées, en tant que "Matheux philosophe".

NB : J'avais déjà été banni en tant que «Matheux philosophe», il y a 4-5 ans, à cause de ces discussions.

Mais, au lieu de le faire, il a supprimé l'intégralité de mes messages en tant que "Matheux philosophe".

Je rappelle que je demande cette suppression afin de supprimer la publicité négative que ces discussions font sur mes travaux personnels actualisés sur le "cardinal quantitatif", sur la Wikiversité.

Je sais que supprimer certaines de mes discussions sur mes travaux revient à en supprimer les critiques, mais il y a eu beaucoup de malentendus et de confusions et beaucoup de propos non constructifs et mes travaux ont beaucoup évolués depuis, et ces discussions leur font de l’ombre.

Je suis conscient que mes travaux ont une place relativement marginale sur les moteurs de recherche et que leur présence dans certaines discussions sur certains forums de mathématiques, leur font, malgré tout, un peu de publicité, mais comme celle-ci est essentiellement négative, il est sans doute préférable de supprimer ces discussions, lorsque je les ai initiées, et de supprimer mes traces et les traces des mots clés de ces travaux, dans les autres discussions.

Le fait de poster des versions successives ou des liens vers des versions successives non finalisées et relativement longues et en grande partie encore brouillonnes, de travaux de recherche personnelle (lorsque mes travaux ne disposaient pas encore d’un hébergement Wiki), n’est pas, particulièrement, adapté et bien reçu sur les forums de mathématiques, et l’expérience l’a prouvé, au moins, sur 2 forums de mathématiques, dont celui-ci et celui «Des-mathematiques.net».

Je fais tout mon possible pour supprimer mes traces et celles de mes travaux sur les 2 forums de mathématiques (en fournissant des listes exhaustives des pages ou des messages concernés), et malgré tout, je rencontre un grand nombre d’obstacles et de réticences de la part des modérateurs et des administrateurs, qui font de mes demandes de véritables et longs parcours du combattant, même si une bonne partie de celles-ci ont fini par être effacées ou supprimées sur «Les-mathematiques.net.»

De plus, sur «Les-mathematiques.net», ils avaient anonymisé certains de mes pseudonymes, avant d’effectuer la suppression de mes traces : Ce qui rend moins aisé et moins commode la tâche.

Je ne peux intervenir sur le forum Maths-Forum, puisque suite à ma requête (3 messages seulement sous mon compte «MPF»), l'administrateur m'a banni.

De plus, les discussions dont il est question, purgées de mes messages, n'ont plus grand sens et n'ont plus grande raison d'être.

De plus, les supprimer fera du ménage sur le forum.

De son point de vue éthique et moral, l’administrateur Lostounet a voulu conserver les messages des autres intervenants dans mes discussions.

La requête que je lui avais demandée était pourtant simple et se faisait en une dizaine-vingtaine de coups de clic.

Le caractère négatif de la publicité que font ces discussions sur mes travaux est toujours présent, voire risque d’être perçu comme encore plus négatif, car les interventions des intervenants n’ont pas été tendres avec les miennes.

Voici la liste des discussions concernées :

1) https://www.maths-forum.com/philosophie-litterature/cardinal-quantitatif-autres-travaux-mathematiques-t166322.html

2) https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/cardinal-quantitatif-autres-travaux-mathematiques-t166321.html

4) https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/allez-voir-discussion-suivante-qui-traite-particulier-t166472.html

Voici mon adresse email alternative de mon ancien compte "Matheux philosophe" : "***" et celle de mon ancien compte "MPF" : "***".

Cordialement,

Guillaume FOUCART

Guillaume FOUCART (discussion) 5 juin 2021 à 13:33 (UTC)

Série de remarques 10 (Cardinaux négatifs ou complexes)

Une personne m'a reproché que ma théorie sur les "Cardinaux négatifs ou complexes" n'était pas crédible, car elle faisait moins d'1 page.

Je lui rétorquerai que supposant construit l'ensemble et le corps $(\mathbb {R} ,+_{\mathbb {R} },._{\mathbb {R} })$, la construction de l'ensemble et du corps $(\mathbb {C} ,+_{\mathbb {C} },._{\mathbb {C} })$ ne tient qu'en quelques lignes :

"Le corps $(\mathbb {C} ,+,.)$ est l'ensemble défini par $\mathbb {C} :=\mathbb {R} +_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }\mathbb {R} :=\{a+_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }b\,\,|\,\,(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\}$

où ${\underline {i}}\in \mathbb {C} ,\,\,{\underline {i}}^{(._{\mathbb {C} })2}=_{d{\acute {e}}f}{\underline {i}}._{\mathbb {C} }{\underline {i}}=-1$,

muni des lois $+_{\mathbb {C} }\,\,:\,\,\mathbb {C} ^{2}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {C} \,\,:\,\,(z_{1},z_{2})\,\,\mapsto \,\,z_{1}+_{\mathbb {C} }z_{2}$

et $._{\mathbb {C} }\,\,:\,\,\mathbb {C} ^{2}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {C} \,\,:\,\,(z_{1},z_{2})\,\,\mapsto \,\,z_{1}._{\mathbb {C} }z_{2}$

qui sont {définies par|telles que} : $\forall (z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2},\,\,\exists {\Big (}(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}){\Big )}\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2},\,\,z_{1}=a_{1}+_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }b_{1},\,\,z_{2}=a_{2}+_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }b_{2},$

${\text{et}}\,\,z_{1}+_{\mathbb {C} }z_{2}:=(a_{1}+_{\mathbb {C} }a_{2})+_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }(b_{1}+_{\mathbb {C} }b_{2})$

${\text{et}}\,\,z_{1}._{\mathbb {C} }z_{2}:=(a_{1}._{\mathbb {C} }a_{2}-_{\mathbb {C} }b_{1}._{\mathbb {C} }b_{2})+_{\mathbb {C} }{\underline {i}}._{\mathbb {C} }(a_{1}._{\mathbb {C} }b_{2}+_{\mathbb {C} }a_{2}._{\mathbb {C} }b_{1})$,

avec ${+_{\mathbb {C} }}_{|\mathbb {R} ^{2}}=+_{\mathbb {R} }$

et avec ${._{\mathbb {C} }}_{|\mathbb {R} ^{2}}=._{\mathbb {R} }$ ."

[Remarque : La construction du corps $\mathbb {C}$ que j'ai donnée ne me satisfait pas entièrement, car les lois $+_{\mathbb {C} }$ et $._{\mathbb {C} }$ y sont définies de manière autoréférentielle, de façon irréductible. Je ferais mieux de consulter un livre du supérieur.]

Cela suffit à lui conférer une structure de corps.

Mais ma théorie sur les "Cardinaux négatifs ou complexes" ne prétendait pas donner de structures aux ensembles d'objets qu'elle définissait.

Guillaume FOUCART (discussion) 3 juillet 2021 à 06:59 (UTC)

Série de remarques 11 (Avec le cardinal quantitatif, les infinitésimaux se profilent)

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit $A\in {\mathcal {P}}(B)$ avec $B\neq \emptyset$, où chacune des parties $A$ et $B$ peut être une partie bornée de $\mathbb {R}$ ou un plafonnement à l'infini d'une partie non bornée de $\mathbb {R}$ (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}\in [0,1]}$.

Si $A=\emptyset$ et $B\neq \emptyset$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}=0}$.

Si $A\neq \emptyset$ et $B\neq \emptyset$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}\neq 0}$.

Prenons $A=\{2\}$ et $B=\mathbb {R}$, où $\mathbb {R}$ est considéré, ici, comme le plafonnement à l'infini de $\mathbb {R}$, normalisé,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{2\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}={\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in ]0,1]}$,

or $\displaystyle {{\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in ]0,1]}$ est visiblement un infinitésimal qui appartient bien à l'intervalle $]0,1]$, mais non standard, car il n'appartient pas à l'intervalle $\mathbb {R}$ standard.

Dans la théorie classique, on a $\displaystyle {{\frac {1}{+\infty }}=0}$ où, ici, $+\infty$ est considéré comme un point.

Mais, dans ma théorie non classique, ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )\in +\infty$ où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )$ est considéré comme un point et on a $\displaystyle {{\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\neq 0}$ et $\displaystyle {{\frac {1}{\sup(+\infty )}}=0}$.

Guillaume FOUCART (discussion) 21 août 2021 à 19:16 (UTC)

Série de remarques 12 (Voici les 2 points cruciaux indépendants à valider ou non)

"Nouvelle notation concernant la notion de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dont la limite est une partie non bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, excluant la notation classique, et notion de plafonnement à l'infini "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$"

et

"Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$"

Guillaume FOUCART (discuter) 8 novembre 2021 à 21:45 (UTC)

Utilisation erronée de cette page de discussion

Cette page de discussion est destinée aux questions sur la page principale associée, et non à recevoir les monologues de Guillaume Foucart sur ses difficultés avec les autres et avec lui-même. Ils sont à transférer dans son espace personnel. Anne Bauval (discussion) 2 février 2019 à 20:14 (UTC)

Ça y est : La page de discussion a été purgée des passages dont vous parlez. Guillaume FOUCART (discussion) 4 février 2019 à 16:57 (UTC)

J'ai commis de légères entorses ces derniers temps, dans la section Série de remarques 8, mais mes derniers propos parlent bien des problèmes intrinsèques, propres et relatifs à mes travaux sur le Cardinal quantitatif et qu'il faut chercher à traiter ou à régler. Guillaume FOUCART (discussion) 28 mars 2020 à 13:47 (UTC)