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{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}
{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}
==Définitions de <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, <math>+\infty_{\R}</math>, <math>\widetilde{\R}</math>, <math>\mathbb{R}'</math>, <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\widetilde{\R''}</math> (à omettre dans un 1er temps)==
==Définitions de <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>+\infty_\R</math>, <math>\widetilde\R</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> et <math>\widetilde{\R''}</math> (à omettre dans un 1er temps)==


'''Remarque importante préliminaire :'''
'''Remarque importante préliminaire :'''


On prolonge <math>\mathbb{R}_+</math> , par une infinité continue de nombres infinis positifs.
Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».


On pourra construire, de même, le prolongement de <math>\mathbb{R}_-</math> et donc aussi de <math>\mathbb{R}</math>.
(On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>).


Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue.
Ensuite, il faudra étendre les mesures de Lebesgue, en remplaçant l'ensemble <math>\mathbb{R}_+</math> d'arrivée, par ledit prolongement :


On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2 courbes infinies, les aires de 2 surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, <math>\cdots</math>.
On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


A) '''Définition :'''
'''Définitions :'''

(voir [https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#S%C3%A9rie_de_remarques_7.2 Série de remarques 7.2 dans la page de discussion associée])

1) a) <math>\displaystyle{\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}}</math>, soit <math>\displaystyle{f\,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

⚫
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,

⚫
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.

Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, a}}</math>

⚫
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.

b) Soit <math>f\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.

Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>

ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.

c) Soit <math>a \in \mathbb{R}</math> et <math>f\,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,

avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.

Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>

ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.

B)

1)'''Axiome :'''

'''On pose <math>+\infty_f = f(+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>'''

(en remplaçant, algèbriquement, dans l'expression élémentaire "<math>f(x)</math>" au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, où <math>x \in \mathbb{R}</math>, "<math>x</math>" par "<math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math>", même si <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} \not \in \mathbb{R}</math>),

'''si <math>f</math> a une expression élémentaire au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, dans <math>\mathbb{R}</math>,'''

où <math>{id}_{\mathbb{R}}\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, : \,\, x \mapsto x</math>.

2) a) <math>\displaystyle{{\cal F}(\mathbb{R}) = \{f \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,

avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R},\,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.

b) <math>\forall a \in \R \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,

<math>\displaystyle{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[) = \{f \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>

et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,

avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.

c) <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}</math>

d) <math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>

<math>+\infty_{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[)} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[)\}</math>

3) '''Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):'''

⚫
Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :

Soient <math>\displaystyle{f,g \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, \mbox{continues, strictement croissantes telles que}}</math>

<math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} g(x) = +\infty_g}</math>


(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])
<math>\displaystyle{f=_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) = 0}</math>


A) Soit <math>-\infty_\R\le a<b\le+\infty_\R</math>. Je note :
et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,
*<math>\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math> :
*:l'ensemble des fonctions <math>f:\left(a,b\right[\to\R</math>, continues, strictement croissantes, telle que <math>\lim_{b^-}f=+\infty_\R</math>
⚫
*:et pour lesquelles <math>\not\exists g,h:\left(a,b\right[\to\R</math>, telles que <math>f=g+h</math>,
⚫
*:avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\lim_{b^-}g=+\infty_\R</math>, et <math>h</math> continue, oscillante ;
⚫
*<math>+\infty_{\lim,f,b}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible :
*:la classe d'équivalence d'un <math>f</math> appartenant à cet ensemble, pour la relation d'équivalence définie dans C) ci-dessous ;
*<math>+\infty_{\cal F\left(\left(a,b\right[\right)}</math> :
*:l'ensemble des <math>+\infty_f</math> pour <math>f\in\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math>.


A') '''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire » (en un sens que je n'ai pas défini)''' au voisinage de <math>+\infty_\R</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>\left(a,b\right[\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant :
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f = + \infty_g</math>
:<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>,
où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>.


B) '''Définition de la relation d'équivalence sur <math>\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math> et de la relation d'ordre sur <math>+\infty_{\cal F\left(\left(a,b\right[\right)}</math> :'''
et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :


⚫
Ma relation d'équivalence est définie par :
<math>\displaystyle{f<_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) < 0}</math>
:<math>f\sim g\Longleftrightarrow \lim_{b^-}(f-g)=0</math>.
et dans ce cas on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,


Ma relation d'ordre ('''hélas pas totale''') est celle dont l'ordre strict est défini par :
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f < + \infty_g</math>
:<math>+\infty_f<+\infty_g\Longleftrightarrow\lim_{b^-}(f-g)<0</math>.


C) '''Remarque importante :'''
C) '''Remarque importante :'''
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'''Remarque :'''
'''Remarque :'''


Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Haussdorf, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.
Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.


Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}

Version du 2 février 2019 à 18:44

Cardinal quantitatif
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Soit .

La définition du cardinal quantitatif sur et sur

Remarque préliminaire

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.

En particulier, je désignerai par :

  • PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux) ;
  • CQ (comme « cardinal quantitatif ») la notion de cardinal que je cherche à construire au moins sur les PV, par opposition à la notion usuelle de cardinal (Autre lien), que j'appelle "cardinal équipotentiel", et qui définie pour toutes les parties de .

Le problème se pose, en dehors des PV, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini", notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être qu'on peut généraliser "ma" théorie, aux parties bornées de .

Les notions de CQ et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.

Avant propos 1

    • Je veux que mon CQ soit une mesure sur les PV. Si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé direct de et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, que l'on s'est fixé. Notion en rapport avec les mesures de Hausdorff.
    • La notion de CQ vérifiera le principe du tout et de la partie : "Le tout est, nécessairement, strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes", contrairement, à la notion de "cardinal équipotentiel".
    • J'essaie de définir cette notion, puis de l'étendre et la généraliser, quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace , qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace de l'analyse non standard.
  2. Comme dit précédemment, si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de , on doit abandonner l'axiome de la -additivité, et on doit considérer que le CQ, dans le cas des parties non bornées, est relatif au repère orthonormé direct de , que l'on s'est fixé, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé, et dans ce cas, sauf pour pouvoir définir, la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs avec la notion de CQ", il faudra remanier les sections 1 à 6 et 11 à 13 de la présente page (en grande partie et seulement, sous les conditions MC et MC+ et en remplaçant la plupart des par des ).
  3. J'ai peu de pistes en l'état.
  4. Dans la section 7, j'ai essayé de définir des nombres où , en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale.

Liens

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/


REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :


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Panneau d’avertissement En plus des dangers de l'hébergeur PDF (cf. supra), les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :


Voici des liens Wikipedia :

Voici des liens intéressants en français :


Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :

Concernant le CQ d'un sous-ensemble de , il faut d'abord lire mon message "Avant propos 2" de cette page.

Avant d'envisager la formule du CQ concernant les parties bornées de , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de , et même seulement les PV.

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c-à-d, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant propos 2

Je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension de .

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre, toutes les "demi-droites" n'ont pas toutes la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement" à l'infini, et que certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de mon .

Je sais que si des suites de polytopes de , de dimension (c-à-d des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de , de dimension ), convergent vers une PV de dimension , alors les suites constituées des CQ des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers le CQ de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de CQ en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Je ne vois pas.

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le CQ et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.

Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Avant propos 3

J'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le CQ aux "seules" parties de , sauf peut-être pour définir la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs de CQ"

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les CQ, au moins, des sous-PV de , et je crois savoir comparer ceux, au moins, des sous-PV de de dimension .

Introduction

Voir, aussi, le début de Avant propos 1 (voir supra).

La notion de cardinal au sens de la quantité, est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est bel et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de (Cf. interventions de Michel COSTE, mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.

Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui lui préfère une autre appellation que celle de "cardinal" : (voir supra)

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)

Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées.

La notion de cardinal au sens de la quantité, présentée par Michel COSTE, concerne les sous-PV.

Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité :

  • de parties bornées quelconques de , ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes et/ou (?) connexes, de classe , et de dimension , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons ;
  • de parties de , délimitées seulement par la courbe d'une fonction (par exemple brownienne), et qu'on peut aller plus loin (non  : par exemple par morceaux, sur un nombre fini de morceaux, ), après viendra, les parties de , délimitées par certains bords ou . NB : Le cas particulier des complémentaires de parties bornées, se déduit immédiatement du cas borné.

Décomposition d'une partie bornée de (voir infra)

Une des idées, est que le cardinal de l'épigraphe d'une fonction définie précédemment, bornée, est égal au cardinal de l'épigraphe de la droite dont la fonction correspondante est la fonction constante sur , de constante, la moyenne des valeurs sur tous les de , avec la mesure (le cardinal au sens de la quantité relatif au repère orthonormé ).

Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, des parties bornées de , ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés comme détaillé ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties bornées quelconques de (resp. de ), ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable ».

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Remarque préliminaire importante : Pour la définition de  : Cf. plus haut ou plus bas : En particulier, on trouvera la définition de et de

Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension dans ,

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),

sont telles que si , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension 3, …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension 3, …, et des points d'espaces de dimension .

La "mesure" cardinal au sens de la quantité, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , dans , , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension 0, .

Soit un repère orthonormé de , d'origine .

Soit .

Nous désignons le CQ d'une partie A de ou de par et son cardinal équipotentiel" par .

On a

et l'on a

et

et

alors que

et

et

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d'.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange d'une matière continue et de matière discrète :

Le cardinal, au sens de la quantité, mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de , , etc., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension sur , le fait que soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur , qui ne néglige aucun point, aucune courbe, aucune surface, aucun espace de dimension 3, …, aucun espace de dimension  :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des  ?

[ et sont des prolongements de  :

La notion de CQ, s'il est possible de la généraliser, est -additive sur une classe de parties bornées de , mais ne l'est pas sur toutes les parties de . J'ai donc pensé à introduire et , pour lesquelles des parties bornées de et en particulier , peuvent être des parties de diamètre fini, mais aussi des parties de diamètre infini, de et pour lesquelles la -additivité s'applique.]

(Pour la définition de , se reporter plus loin.)

Cela risque d'être terriblement compliqué de la généraliser.

[(*) L'axiome 2) de -additivité ou d'additivité dénombrable, qui est l'un des axiomes de définition d'une mesure, ne fonctionne que sur une classe de parties bornées de .

Donc dans le cas général, il faut affaiblir 2), en le remplaçant par l'axiome d'additivité finie.

Pour compenser, je donne des axiomes concernant les intervalles non bornés de (ou les intervalles de , tels que , qui sont un cas particulier de parties bornées de  :

En effet, concernant ces dernières, on peut avoir des intervalles bornés de tels que ).

(NB : Pour la définition de , (voir infra)

Peut-être que ça ne suffira pas pour traiter tous les cas.]

Pour que ma notion de cardinal puisse fonctionner, il faut se placer dans un cadre presque totalement neuf.

La notion de CQ sur est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Construction et définition

Remarque importante préliminaire : Pour la définition de  : (voir infra) : En particulier, on trouvera la définition de

Remarque

Remarque : Soient , deux repères orthonormés de , d'origines respectives

alors, si , on a :

et si et bornée, alors on a : .


Soit un repère orthonormé de .

On pose, pour simplifier, .


0) Soient , des ensembles finis, alors :


1) Soient , des ensembles infinis, alors :

mais


2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal équipotentiel" et le CQ :

Soient , des ensembles, alors :

Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} , autour de l'origine d'un repère orthonormé direct de

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .


De plus, il semble qu'on ait : .


Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace muni d'un repère orthonormé direct , d'origine , admet comme plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, , on a alors :


et

.


Mais,

et même

et

et même .


On peut avoir :

ou ou .


On peut avoir :

ou ou .

Définition d'une chaîne exhaustive de sous-ensembles de (resp. , cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble vide à l'ensemble (resp. à l'ensemble , cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct

Soit un repère orthonormé direct de (resp. de ),

on considère que est une chaîne exhaustive de parties de (resp. ), pour l'inclusion, allant de l'ensemble vide à l'ensemble (resp. ), et contenant

c-à-d :

resp.

et

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant l'axiome de définition :


Comme resp. ,

on a et comme est totalement ordonnée pour ,


on obtient donc que est totalement ordonné pour .


Par ailleurs, on a .

Donc chaînes exhaustives de parties de , pour l'inclusion, allant de l'ensemble vide à l'ensemble de (resp. ), et contenant ,



et

Définition du cardinal quantitatif

Définition

Remarque : Dans la suite, on peut remplacer , par .

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


où est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


définie par une formule exprimant en fonction de et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :

avec les notations suivantes :

a) vérifie (Conditions MC) ssi , sous-PV de .

b) vérifie (Conditions MC élargies) ssi , sous-PV de .

c) vérifie (Conditions MC+) ssi , bornée, ssi

d) vérifie (Conditions MC élargies +) ssi , bornée, ssi

ssi ou


1)

[a) et vérifiant (Conditions MC ou MC+)}, ]

b)

c)

2)

a1) vérifiant (Conditions MC),

ou

vérifiant (Conditions MC élargies),


Il en découle avec 1)b), en particulier que :

vérifiant (Conditions MC),

ou

vérifiant (Conditions MC élargies)

et

.


Remarque :

vérifiant (Conditions MC élargies)

et

.


a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :


Dans le cas des sous-PV de , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ou sur

L'axiome 2) a1) de -additivité n'est pas valable pour une classe de parties bornées plus large de , ni, a fortiori, pour une classe de parties bornées de plus large, que celle des sous-PV.


(1) Remarque :

Soit

a)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a

b)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a

Fin Remarque


(2)Proposition :

Soit une partie bornée de .

Si et et

alors

(sous réserve de conditions supplémentaires si on remplace par , mais sans nécessairement considérer bornée)

Fin Proposition

3)

A)

a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+)

, pour toutes les isométries de ou de ,

En particulier :

a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

,

,


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considerera les axiomes donnés dans 3) B).


B)

a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+)

, pour toutes les isométries de ou de ,

En particulier :

a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+),


a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+),

,

,


C) ,

,


D) ,

,


F)

a)

(Axiome en cours d'étude)


b)

si

(Axiome en cours d'étude)

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

4)

ou


5) Soient un repère orthonormé de ou de d'origine .

,,

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@

En particulier, si et vérifient (Conditions MC ou MC+).


Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) , (Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+),


b) ,(Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+),


Il découle, en particulier, de 5), sous réserve de la remarque associée, que :

Si sont des intervalles de ou si sont des intervalles de , alors:

et donc en particulier


Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de et qui est uniforme ().

Remarque (à propos de la -additivité)

Soit .

1) est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de , d'une classe particulière".

2) ne peut être une mesure, au sens usuel, sur , car elle ne vérifie pas la -additivité, en général.

3) ne vérifie pas la -additivité, en général, sur , car : '

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et donc si était -additive,

on aurait :

et on aurait aussi


Or

et donc .

Contradiction :

Donc, n'est pas -additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a de fortes chances, qu'on doive donner des axiomes de normalisation et que dans le cadre de ma théorie, en cherchant à définir la notion de partition de acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.


Il y a peut-être quelques axiomes à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


Je crois avoir mieux que cette définition des partitions de acceptables ou admissibles ou éligibles pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif :

Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements à l'infini de autour de l'origine , du repère orthonormé de .


Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :

et

qui sont toutes 2 des réunions disjointes

et on a :

et on a aussi

Or

et donc

et même

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien .

Mais il y a quand même une interrogation :

A-t-on bien :

et

 ?

En tout cas, comme, et , on a :

, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de , ni une limite d'une suite décroissante de parties de ,

et

, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de , ni une limite d'une suite décroissante de parties de .

et on a :

,

sous réserve que l'on ait : , ce qui n'est pas sûr,

donc, en partant de là : ,

donc ,

et

,

sous réserve que l'on ait : , ce qui n'est pas sûr,

donc, en partant de là : ,

donc .

Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif), vraisemblablement inutile

NB : Je crois avoir mieux que cette définition, les résultats seront différents suivant le choix du plafonnement à l'infini de autour de l'origine , du repère orthonormé de .

Remarque : Ici, on peut remplacer par .

Soient , non bornée, et , non bornée ou [mais on ne sait pas encore le définir] , non bornée à droite, telle que .

est une partition de , admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif.

est une partition de

et

et

telle que (strictement croissante, avec ),

soit telle que telles que , avec strictement croissante telle que et oscillante,

et soit telle que (c-à-d ),

et soit telle que ou ,

(condition, en particulier, vérifiée, si ou ),

en posant .


Remarque : Soient ou .

Remarque : On peut avoir à considérer le cas : , non bornée et , non bornée et admettant un minimum, et et bornée et et , (donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains , même lorsqu'elle est dénombrable) et partition d'intervalles et/ou de singletons, de et partition de  : Et dans ce cas est une partition de .

Cas des intervalles de ou de

Soit un repère orthonormé de ou de , d'origine .

Préliminaires :

Notations

Soit .

Soit .

est l'intérieur de dans |par rapport à (on note aussi )

est l'adhérence de dans |par rapport à (on note aussi )

désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , dans , de tribu de départ

désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension , sur , c-à-d la mesure de comptage sur , de tribu de départ

, notée, encore, , désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , sur , de tribu de départ telle que

et telle que

Remarque

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors on remarque que :

1)

En effet

2)

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors a :


Démonstration :

Si on suppose que et sont bornés dans ou dans , sans s'assimiler à des "demi-droites" de , alors :

On pose :

,

,

On a :

En effet,on a (proposition):

Si  :

donc

or

car

donc

donc

donc

donc

donc comme ,

,

donc

donc

donc

donc

Remarque : On montre facilement le résultat pour et

or ,

donc ,

or ,

donc ,

donc

or et et

donc

or et et

donc

Axiome de normalisation :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

En posant :

Axiome :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

En posant :

Donc, comme et que cete réunion est disjointe, on a :

[c-à-d ]

On remarque que :

et

et

et

et

donc

donc

et

donc

Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


Remarque : Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace par (resp. ), par (resp. ), et par (resp. ).

On pose : et .

On pose : .

Soit

alors

Axiome :

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Remarque : Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace par (resp. ), par (resp. ), et par (resp. ).

On pose : et .

On pose : .

On en déduit que

Soit

donc

donc

Soit

donc

donc

Soit

Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de )

Soit .

Soit .

Soit .

Alors

et .

Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de , de dimension )

Soit .

Soit

.

Soit .

On pose .

Alors

où est l'origine du repère orthonormé de .

On a , et .

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Remarque :

La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de , il va falloir creuser d'avantage.

Théorème (formule donnant le cardinal quantitatif d'un polytope de , de dimension , en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle )

Soit .

Soit

.

Alors

telle que

et telle que

où

où

où est l'origine du repère orthonormé de

et où est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.

Et on a : .

Remarque : On peut aussi poser telle que

et telle que .

La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque : On aurait pu poser , c-à-d inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.

Proposition

Soit .

Soit

.

Soit

.

, c-à-d vérifiant les conditions MC,

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de , de classe [] et [ par morceaux], de dimension , en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle )

Soit .

Soit

.

Soit

.

Soit , c-à-d vérifiant les conditions MC, alors telle que

En utilisant, Berger, on montre que et que existe et ne dépend pas de la suite choisie de la proposition précédente,

en posant pour toute suite choisie de la proposition précédente.

et comme

où

où

où est l'origine du repère orthonormé de

et où est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski

et où

et où .

On a :

,

et on peut définir grâce au théorème de prolongement des applications continues par un point :

, telle que .

On a :

et ,

et on peut définir grâce au théorème de prolongement des applications continues par un point :

, telle que .

Et on a :

, telle que , encore notée ,

c'est l'application , où a été défini, précédemment,

et

, telle que , encore notée ,

c'est l'application , où a été défini, précédemment.

et

, telle que

et telle que

notée, encore,

et telle que

,

c'est l'application , où a été défini, précédemment,

et on a : , et

et

Remarque : On peut aussi poser , telle que

et telle que

et telle que

et notée, encore, ,

c'est l'application ,

où et où et où et où a été défini, précédemment.

La saga du "cardinal" version 4, Formule de Steiner-Minkowski, Volume mixte, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque :

Le corollaire précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux),

c-à-d, en particulier, telles que c-à-d telles que ou .

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Exemples 1

NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.

[Citation de "Matheux philosophe"]

[Citation de "bolza"]

"L'infini" de l'intervalle est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle  ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de que dans un fil de .

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de (ou de ) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.

On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est une infinité.

Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de et pour le fil de c'est la "même" infinité.

(car, il y a une bijection entre et et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.

Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles et ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens.

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".

En effet la longueur de l'intervalle , c'est et la longueur de l'intervalle c'est , et .

En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur".

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de , ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de , quand tu es passé de à , tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur.

[Fin Citation de "bolza"]

Soit .

NB : Le cas d'une classe de parties bornées de , c-à-d de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de , de classe par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.


NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que n'est pas une mesure au sens usuel sur , en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

et la réunion est disjointe.

Donc

alors que

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

On considère le plafonnement carré, à l'infini de , autour de l'origine du repère orthonormé direct  : .

Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :

Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :

"2 calculs du cardinal quantitatif de aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} , différents, autour de l'origine d'un même repère orthonormé direct de ."

On a :

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme et que la réunion est disjointe,

c-à-d, en posant et ,

comme et que la réunion est disjointe,

on a :

alors qu'on a :

(Remarque : On aurait pu remplacer par et par .)

ou plus simple :

On a :

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme et que la réunion est disjointe


c-à-d en posant : et

comme et que la réunion est disjointe,

on a :

alors qu'on a

et plus généralement :

Soit .

Si et et

alors

alors que

Remarque : et

Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :

Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.

Comme d'une part, on a :

et d'autre part, on a :

.

On obtient la formule :

[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]

Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)" )

Soit .

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine et .

On désigne par , le cardinal quantitatif relatif au repère et .

Remarque : La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de , contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de .

Remarque préliminaire 1

Soit

Soit ,

et , le graphe de

et , l'épigraphe de  :

1) Alors si est fini dénombrable :

2)

3)

4) Soient .

a)

b) Soit  :

Comme , on a :

Proposition 2

Soit .

Soit .

On pose

où est l'origine du repère orthonormé de et .

Soit suite de coefficients définie dans le corollaire (voir supra).

On pose .

On pose .

Alors on a :

et

et on a , et

et

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Proposition 3

Soit un intervalle de

Pour tout , et

De plus, si est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :

Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.

Soit

Soit

.

Soit , alors .

Alors

Soit .

Alors .

Soit .

Si ,

alors ,

c-à-d

c-à-d

Soit ,

On pose

Ici ,

or compact, connexe de et continue sur donc est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme ,

donc

or

car compact, connexe de , et sur donc continue sur donc est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme ,

donc

donc

donc

mais on a

donc

c-à-d

c-à-d

Vérification de la formule :

On a :

donc

donc

c-à-d

Sous réserve : Attention, si , comme  :

Généralement on n'a pas :

Remarque importante 4

Si alors et

En particulier si

alors

Proposition 5

Soit  : partition de , telle que est soit un intervalle de , soit un singleton de , soit .

Soit .

Alors

Cas des parties non bornées de (Il y a une condition d'éligibilité ou d'admissibilité, à prendre en compte, concernant les partitions de , éligibles ou admissibles, pour établir des calculs avec le cardinal quantitatif)

Soit

Soit

alors

Soit

Soit

avec

alors

Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de .

Revenons aux parties bornées de , en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de , avec

Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :

donc

c-à-d

c-à-d

c-à-d

c-à-d

Décomposition d'une partie bornée de

Soit .

Soit .

Soit , une sous-variété bornée, simplement connexe de , non vide, de dimension , dont le "bord" est non vide et de classe "non " sauf concernant .

Si , on pose et si , on définit comme le "bord" de la sous-variété , en supposant que est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de , non vides, de dimension , dont le "bord" est non vide et de classe "non "

(Si , on a . Le "bord" de n'importe quelle sous-variété bornée, simplement connexe, de , de dimension , se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si , , on définit , en supposant que est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de , non vides, de dimension , dont, sauf concernant , le "bord" est non vide et de classe "non ".

On a :

Si ,

et

.


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http://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/

2 calculs du cardinal quantitatif de aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} , différents, autour de l'origine d'un même repère orthonormé direct de

Soit et soit est un repère orthonormé de d'origine .

Remarque : J'hésite, ici, à utiliser la notation , plutôt que la notation usuelle  :

Bien que je veuille qu'elles désignent le même objet, je ne suis pas sûr que tel est bien le cas, et de fait leurs propriétés pourraient être différentes.

En effet, usuellement et ,

et dans ma théorie, .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

De plus, il semble qu'on ait : .

1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés et noté  :

Ici, on considère que  :

et que : .

On remarque :

D'une part, que

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule particulière de

et

et d'autre part, que

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule particulière de

et

donc

2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté  :

Ici, on considère que : .

On remarque que :

partie compacte, convexe, (connexe), de et boule euclidienne de

et

donc

Comme on sait que

et que

,

on a

Je crois que , mais je n'en suis pas certain.

Partant de là :

En quelque sorte, comme :

et donc

et comme

donc ,

et comme strictement croissante,

et comme

et comme ,

on a :

c-à-d

donc

(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),

et donc

c-à-d

car

car donc

et strictement croissante.

Remarque :

Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.

(*) Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et si , sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et si et si et , on préfère les notations plus précises et dépendantes des familles et  : et .

De fait, on peut avoir : .

De plus, il semble qu'on ait : .

(1) Si de plus par rapport à (*), et , alors on a

(2) Si de plus par rapport à (*), , alors on a

(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).

(3) Si de plus par rapport à (*), ,

alors on a et ,

(4) Si de plus par rapport à (*), , alors on a ,

donc, en particulier, si de plus par rapport à (*), et ,

alors on a

De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.

Définitions de , , , , , et (à omettre dans un 1er temps)

Remarque importante préliminaire :

Je vais essayer de prolonger par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de et donc aussi de ).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

Définitions :

(voir Série de remarques 7.2 dans la page de discussion)

A) Soit . Je note :

  •  :
    l'ensemble des fonctions , continues, strictement croissantes, telle que
    et pour lesquelles , telles que ,
    avec continue, strictement croissante, telle que , et continue, oscillante ;
  • ou bien , s'il n' y a aucune confusion possible :
    la classe d'équivalence d'un appartenant à cet ensemble, pour la relation d'équivalence définie dans C) ci-dessous ;
  •  :
    l'ensemble des pour .

A') Si a une expression « élémentaire » (en un sens que je n'ai pas défini) au voisinage de , je la prolongerai en une application (encore notée ) définie sur en posant :

,

où est l'application identité de .

B) Définition de la relation d'équivalence sur et de la relation d'ordre sur  :

Ma relation d'équivalence est définie par :

.

Ma relation d'ordre (hélas pas totale) est celle dont l'ordre strict est défini par :

.

C) Remarque importante :

J'ai besoin de fonctions , à minima continues, strictement croissantes, tendant vers , quand leurs variables tendent vers ,

définies sur des intervalles du type ,

où

(resp. sur ),

pour lesquelles il n'existe pas de fonctions et , telles que ,

avec continue, strictement croissante, tendant vers , quand sa variable tend vers , et continue, oscillante :

(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)

En effet, par exemple, si et sont définies sur , par et ,

on aurait alors dans ce cas :

(car , est un singleton)

(car , ensemble borné dans )

,

qui est un ensemble infini, donc de plus de élément

(et serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de , quand ),

qui est, ici, borné par une constante infinie positive : ,

mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.

D)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .


On a(axiome)(sous réserve):

,

Remarque :

On a .

Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de autour de l'origine du repère orthonormé de ) :

On pose : .

Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

, réunion non disjointe,

où

et .

Dans cette conception :

.

et par analogie

où

et on a

et .

Remarque :

Le fait que : semble poser problème :

En effet, il semble que : .

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble qui est l'ensemble , en remplaçant , par , et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a :

Remarque :

Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension , on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel par un ensemble infini de nombres infinis positifs

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où ]


Remarques et notations :

Si on considère , la fonction identité définie sur

et

Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :

[Il faudra, auparavant, faire correspondre , qui correspond à la longueur de l'intervalle ,

qui est strictement inclus dans ,

qui est strictement inclus dans ,

et qui n'est pas un intervalle de ,

mais un intervalle borné de ,

au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de ,

par exemple, l'intervalle borné .

Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à , vaudront tous :

 :

On réservera donc la valeur ,

au cardinal quantitatif d'une partie d'un 1er niveau concernant les parties bornées de

et on réservera une autre valeur au cardinal d'une partie d'un 2nd niveau concernant les parties non bornées, pour laquelle on pourra distinguer les cardinaux quantitatifs ou une partie des cardinaux quantitatifs de ses parties.

Peut-être même qu'il y aura une infinité de niveaux à considérer concernant les parties non bornées.

Il faudra tenir compte aussi des et commencer par les parties dénombrables de .

Remarque : Le contenu de ce qui est, dans la parenthèse qui suit, est peut-être faux :

(Tous les , ne sont pas éligibles pour devenir des cardinaux quantitatifs d'ensembles, qui correspondent à des quantités d'éléments, car chaque élément est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de et qui fait appel aux mesures de Lebesgue, au cas de parties non bornées de , en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".

Définitions de , , , et (à omettre, ne sert nul part)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit

Définition :

a) Soit

où est la distance euclidienne sur

c-à-d

b) Soit

où est la distance euclidienne sur

c-à-d

Dans la suite, on se restreint aux parties bornées de .

Proposition :

chaîne exhaustive de parties de pour l'inclusion, allant de à , est strictement croissante pour l'inclusion.

.

.

Si , partie non bornée de et appartient à un de ces 2 premiers ensembles, on a pour la première égalité et on pose pour la seconde égalité :

Si , partie bornée de ,

alors

Par ailleurs, on remarque que :

Définition :

et

et (axiome) :

et donc

Axiome ou proposition (ou bien l'un ou bien l'autre) :

.

Définition des "mesures" de Hausdorff sur (à omettre dans un 1er temps)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Tout ce qui a été dit concernant , est aussi valable

concernant leurs homologues

c-à-d les parties ou

Sous réserve : c-à-d comme ,

si admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct  :

,

alors

ou

.

,

avec ,

on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de , et même à tous les ensembles de .

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , sur , est la "mesure" définie par :

est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , , sur , à la différence qu'il faut remplacer par .

Remarque :

1) On peut avoir :

c-à-d ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de , mais dans (C'est une sous-classe des parties bornées de ),

par exemple la partie car .

2)

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension , sur est la "mesure" de comptage définie par :

est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur , à la différence qu'il faut remplacer par

Si (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de .

Utilisation des "mesures" de Hausdorff sur , de et (à omettre dans un 1er temps)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

On se place dans un repère orthonormé de .

Proposition :

Soit telle que

Remarque :

Soit , alors :

1) a) Dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a et on peut avoir

b) Dans ma théorie, on peut avoir et dans ce cas on a et on peut avoir

2) Soit

et est une partition de , telle que

et telle que

a) En particulier, en posant et , intervalle donc partie connexe de

et  :

est une partition de

et , intervalle donc partie connexe de

et .

Remarque importante : Dans ma théorie , on définit .)

donc

[Définition de , de manière analogue à avec et , , ]

et

b) Si on pose et , intervalle donc partie connexe de

et  :

Dans ma théorie à construire, est une partition de

et , intervalle donc partie connexe de

et .

donc

[Définition de , de manière analogue à avec et , , ]

donc

et

donc

Dans , il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de , mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.

3) Les ensembles non bornés de ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de , de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini où ou , qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.

Remarque :

Comme

On a, dans ma théorie :

Attention :

n'est pas ici l'ensemble usuel que nous connaissons :

Ce n'est pas l'ensemble où sont considérés comme des points :

De fait, ma notion de cardinal quantitatif, dépend du repère orthonormé dans lequel on se place.

et n'est pas considéré, comme , comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

)

et pouvant être, strictement, inclus dans d'autres ensembles non bornés

(une infinité : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

).

étant le nouvel espace-univers.

Attention : Dans ma théorie : , en fait on considère que va au delà de , à droite, ce qui n'est pas le cas de .

Par ailleurs : On a et

Mais

et .

Compléments

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou ou .

Soit .

Dans ce qui suit, on peut remplacer et , par et .

L'ensemble que j'ai déjà "défini" ou "construit" ou du moins dont j'ai déjà parlé,

est une sorte de prolongement continu de , par une infinité de nombres infinis, dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté ,

et sert, d'abord, à construire les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , sur , pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),

,

Compléments :

Mesures de Hausdorff [de dimension ], généralisant celle de Lebesgue (de dimension ), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension )] :

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.1 Mesures de Haussdorf/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.3 DDC3éfinition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue

/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.

puis ces dernières servent à construire la "mesure" cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé , dans ,

et en particulier à construire pour tout

en utilisant une formule du type ,

où est une suite de produits d'intervalles de

telle que

où est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de

et où est un intervalle non vide de , réduit à un singleton,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle non borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout , en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle non borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout , en utilisant une formule du type ,

où est un intervalle borné de ,

et où dépend de , et ,

avec , avec et

Compléments :

Rappel : Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) de est dite ou est dit de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour un ), si son bord est de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour le même précédent).

Rappel :

Le bord d'une partie est défini par .

Le "bord" d'une partie est défini par .

Attention :

La dimension d'une partie de ,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de Hausdorff d'une partie de ,

Dimension de Hausdorff (Wikipedia)

c-à-d celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c-à-d celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe , connexes",

c-à-d celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe , et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non " (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non ") (si elles existent),

c-à-d celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

Variété topologique (Wikipedia)

Variété (géométrie) (Wikipedia)

J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe , (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages :

Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :

Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.

D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe ou non , plus générale que celle de sous-variété topologique c-à-d de sous-variété (dont le bord est) de classe , n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur

Partie 1

Soit .

Remarques :

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

On a : , sous-variété compacte, convexe, (connexe) de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux])

et partie convexe, (connexe) de , (non bornée)

et on a : .

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Et plus généralement, soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

comme partie convexe, (connexe) de , (non bornée),

si , non bornée à droite

et sous-variété compacte, convexe, (connexe) de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) telle que ,

est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de , sans bord, et , est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

alors .

Mais, étant donné le plafonnement sphérique à l'infini, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille définie précédemment.

Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre , ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble .

Il faut mieux choisir dénombrable infini.

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)".

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

Soient .

Soit .

Si on considère la densité quantitative, relative au repère orthonormé , de l'ensemble par rapport à l'ensemble , , on a :

.

En particulier, si , on a :

.

Remarque : Un singleton de est une partie compacte, convexe, (connexe) de .

Si est un ensemble totalement ordonné et si , est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]), et , est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]) et , on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .

Remarque :

Soit un repère orthonormé direct de , d'origine .

Soient , réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties ou de sous-variétés

Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de

(éventuellement, des sous-variétés de classe [] et [ par morceaux])

ou Option spéculative : convexes, (connexes), disjointes, de ,

.

Soit (ou telle que et ).

Si , réunions finies de parties Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, des sous-variétés de classe [] et [ par morceaux]) ou Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de ,

telles que

et telles que et

(c-à-d telles que et ),

alors

.

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Je pense que le cas d'une partie bornée, convexe, (connexe), de , peut se ramener au cas de la sous-variété compacte, convexe, (connexe) de ,

grâce à la formule c-à-d ,

sachant que , avec .

Donc, comme , réunions (dénombrables infinies, non bornées) de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux])

et et ,

et

et

et , réunions finies de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de (éventuellement, de classe [] et [ par morceaux]),

et

et et

(c-à-d et ),

on a bien :

,

donc ,

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

donc

et comme ,

on a :

et plus généralement,

et

et .

L'ensemble est non borné, mais est dénombrable.

Si ,

alors

et

et si de plus, ,

alors

et .

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : , mais comme , on est obligé d'imposer que ,

et plus généralement, si , on devrait, normalement, avoir : , mais comme , on est obligé d'imposer que ,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que .

Je pense, dans le cas des parties non bornées de , que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c-à-d une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est sous réserve : insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose|constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme .

Partie 2 ("Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de (10)")

Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de

Soit .

Soit un repère orthonormé direct de dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine .

On pose, pour simplifier, , où désigne le cardinal quantitatif relatif au repère .

est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement , que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif , qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de , on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de de classe par morceaux.

Soient et des ensembles.

, bijection.

On pose usuellement et

On a par exemple et

La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.

Dans la suite, on suppose .

Soient telles que :

et .

Il sera peut-être nécessaire de supposer .

Soit .

On appelle est le ème terme de

On pose

et

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de et .

On suppose de plus que (resp. )

(resp. )

ou que (resp. )

et (resp. ).

On définit

C'est la moyenne des pas de compris entre le ème et le ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de compris entre ces 2 termes inclus.

On pose si cette limite existe dans .

C'est la limite de la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, quand , donc c'est la moyenne de tous les pas de sur .

Conjecture :

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang , , si la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, alors la cardinal quantitatif de l'ensemble est strictement plus grand que celui de l'ensemble .

Cela signifie que si est strictement plus dense quantitativement que , à partir d'un certain rang , alors

Si

alors et

En particulier si ,

et ,

Remarque : La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir

et .

Que pensez, par exemple, du cas où  ?

A t-on bien  ?

Réponse : Non, car

et .

Plus, généralement

Avec les mêmes hypothèses sur , qu'initialement :

Si

alors

Avec les mêmes hypothèses sur , qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période

alors

Remarque :

, telle que , avec à variations décroissantes, à variations croissantes et

Soient telles que :

et

Soit

On appelle est le ème terme de

On pose

et

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de et .

On suppose de plus que (resp. )

On définit

C'est la moyenne des pas de compris entre le ème et le ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose si cette limite existe dans .

C'est la limite de la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, quand , donc c'est la moyenne de tous les pas de sur .

Conjecture :

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang , , si la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de compris entre son ème et son ème terme, alors la cardinal quantitatif de l'ensemble est strictement plus grand que celui de l'ensemble .

Cela signifie que si est strictement plus dense quantitativement que , à partir d'un certain rang , alors

Conjecture :

en particulier (sous réserve) :

et on a ,

on a

Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de , donc aux parties quelconques de

Conjecture

Toute partie non convexe, connexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie non convexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de .

Cardinaux négatifs ou complexes


Soient

Soient

telles que et

et

Alors on définit la relation suivante :

(1)

(2)

De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

et


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