Recherche:Cardinal quantitatif

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Cardinal quantitatif

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Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques.


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Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC


Soit .

Sommaire

Cardinal quantitatif sur et sur [modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


En particulier, je désignerai par :

  • PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux),

et on posera ;


  • CQ (comme « cardinal quantitatif ») est la notion optimale ou la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est, déjà, construite, au moins, sur et qui ne néglige aucun point et pour laquelle le nombre ou la quantité d'éléments d'un singleton vaut et pour laquelle je cherche à aller plus loin, par opposition à la notion de cardinal de Cantor c-à-d la notion usuelle de cardinal (Autre lien), que j'appelle "cardinal équipotentiel", et qui est définie pour toutes les parties de et qui est la notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis.


Le problème se pose, en dehors de , car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini", notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être qu'on peut généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées et aux parties non bornées de .


Les notions de CQ et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.


    • Mon CQ est une mesure sur . Si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé direct de et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, que l'on s'est fixé. Notion qui s'exprime en fonction des et qui est en rapport avec les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension .
    • La notion de CQ vérifiera le principe du tout et de la partie : "Le tout est, nécessairement, strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes", contrairement, à la notion de "cardinal équipotentiel".
    • Cette notion est définie sur , j'essaie de l'étendre et de la généraliser, quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace , qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace de l'analyse non standard.
  1. Comme dit précédemment, si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de , on doit abandonner l'axiome de la -additivité, du moins, avec la théorie classique, mais on peut le récupérer, avec une théorie non classique (avec des changements minimes par rapport à la théorie classique) et considérer que le CQ, dans le cas des parties non bornées, est relatif au repère orthonormé direct de , que l'on s'est fixé, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé.
  2. Dans la section 7, j'ai essayé de définir des nombres , en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor.


La notion de cardinal au sens de la quantité, est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est bel et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de (Cf. interventions de Michel COSTE, mais qui y est très peu présente :


Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : (voir supra)

(Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, il désigne l'équipotence. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus importante, plus fondamentale et plus fine, que la notion d'équipotence, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel", pour les distinguer.)


Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien et peut être mis en bijection avec .


La notion de cardinal au sens de la quantité, présentée par Michel COSTE, concerne les PV.


Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité : de parties bornées quelconques de , ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes et/ou (?) connexes, de classe , et de dimension , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons ;


Décomposition d'une partie bornée de (voir infra)


Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, des parties bornées de , ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés comme détaillé ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties non bornées quelconques de (respectivement de ), ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable ».

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension dans ,

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"


https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),


sont telles que si , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , …, et des points d'espaces de dimension .


La "mesure" cardinal au sens de la quantité, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , dans , , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension , .


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal équipotentiel "" ou "", qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et le cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé de , "", sachant que la référence à un repère orthonormé , n'est utile que pour les parties non bornées de (ou de , de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de (ou de , de manière générale), on peut noter le cardinal quantitatif : "".


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


Nous désignons le CQ d'une partie de par et son cardinal équipotentiel" par .


On a :



alors que :



Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d'.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange d'une matière continue et de matière discrète :

Le cardinal, au sens de la quantité, mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.


Restera à généraliser cette notion aux parties de , , etc., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.


La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension sur , le fait que soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur  :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des  ?


Liens[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/


REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :


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Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :


Voici des liens Wikipedia :

Voici des liens intéressants en français :


Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :


La notion de CQ sur est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Remarques secondaires[modifier | modifier le wikicode]

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule du CQ concernant les parties bornées de , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de , et même seulement les PV.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre, toutes les "demi-droites" n'ont pas toutes la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement à l'infini", et que certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de .

Je sais que si des suites de polytopes de , de dimension (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de , de dimension ), convergent vers une PV de dimension , alors les suites constituées des CQ des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers le CQ de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que le cardinal quantitatif de tout singleton de vaut .)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de CQ en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

"Toute partie non convexe, connexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie non convexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ."


Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements à l'infini".

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le CQ et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le CQ aux "seules" parties de .

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les CQ, au moins, des PV de , et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de de dimension .

Construction et définition[modifier | modifier le wikicode]

Remarque importante préliminaire : Pour la définition de  : (voir infra) : En particulier, on trouvera la définition de

Préliminaires[modifier | modifier le wikicode]

Définitions de et de [modifier | modifier le wikicode]

Soit


1)


2)



Nouvelle notation concernant la notion de limite d'une famille de parties de dont la limite est une partie non bornée de , excluant la notation classique, et notion de plafonnement à l'infini ""[modifier | modifier le wikicode]

Soit .


Soit est un ensemble totalement ordonné.

Soit une partie non bornée de .

Soit une famille de parties de telle que .


Alors on exclut cette notation et on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille , .


Motivation : Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Conjecture impliquant un plafonnement à l'infini "", constitué d'une partie , et d'une famille de parties "

et qui servira

dans Résultats sur les intervalles de ou de , c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de ou de /Axiome de normalisation (à zapper dans un 1er temps)

dans Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 1,

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)" )/2 calculs du cardinal quantitatif de aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} , différents, autour de l'origine d'un même repère orthonormé direct de ",

dans "Plafonnement sphérique, à l'infini, {associé à|de} , autour de l'origine d'un repère orthonormé direct de ",

et dans Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur /Partie 1.

Définitions de , , , , , et (à zapper dans un 1er temps)[modifier | modifier le wikicode]

Motivation : Cela permettra entre autre de définir l'ensemble .


Remarque importante préliminaire :


Je vais essayer de prolonger par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de et donc aussi de ).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.


Définitions :


(voir Série de remarques 7.2 dans la page de discussion)

A) Soient .

Je pose et je note .

Je note :

  • ,


,


,


et ,


« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)

(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble , de l'ensemble , mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble . Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?);


  • ou bien , s'il n' y a aucune confusion possible :

, où est la relation d'équivalence définie en B);


  • .


B) Définition des relations d'équivalence et d'ordre sur et des relations d'égalité et d'ordre sur  :

Mes relations d'équivalence et d'égalité sont définies par :

.

Mes relations d'ordre (hélas pas totales) sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

.


C) Si a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini) au voisinage de , je la prolongerai en une application (encore notée ) définie sur en posant :

,

est l'application identité de .

Remarque : Par exemple si , a une expression élémentaire sur , et a une expression élémentaire sur , c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que , qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions , qui, à part, l'expression que l'on note , ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.


(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions , le fait que " a une expression élémentaire sur ", je supprimerai la condition qui lui est relative.)


D)

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


On a(axiome)(sous réserve):

,


Remarque :

On a .


Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de autour de l'origine du repère orthonormé de ) :


On pose : .


Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

, réunion non disjointe,




et .


Dans cette conception :

.



et par analogie



et on a


et .


Remarque :


Le fait que : semble poser problème :

En effet, il semble que : .

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble qui est l'ensemble , en remplaçant , par , et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a :


Remarque :


Remarques sur , , , , , et (à zapper dans un 1er temps)[modifier | modifier le wikicode]

Remarque importante :

J'ai besoin de fonctions , à minima continues, strictement croissantes, tendant vers , quand leurs variables tendent vers ,

définies sur des intervalles du type ,

(respectivement sur ),

pour lesquelles il n'existe pas de fonctions et , telles que ,

avec continue, strictement croissante, tendant vers , quand sa variable tend vers , et continue, oscillante :

(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)

En effet, par exemple, si et sont définies sur , par et ,

on aurait alors dans ce cas :

(car , est un singleton)

(car , ensemble borné dans )

,

qui est un ensemble infini, donc de plus de élément

(et serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de , quand ),

qui est, ici, borné par une constante infinie positive : ,

mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.


Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension , on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel par un ensemble infini de nombres infinis positifs

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où ]


Remarques et notations :

Si on considère , la fonction identité définie sur

et

Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :

[Il faudra, auparavant, faire correspondre , qui correspond à la longueur de l'intervalle ,

qui est strictement inclus dans ,

qui est strictement inclus dans ,

et qui n'est pas un intervalle de ,

mais un intervalle borné de ,

au cardinal d'une certaine partie infinie bornée de ,

par exemple, l'intervalle borné .

Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à , vaudront tous :

 :


Remarque :

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de et qui fait appel aux mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension , au cas de parties non bornées de , en tenant compte du "plafonnement sphérique à l'infini".


Définitions de et de [modifier | modifier le wikicode]

Soit


1)


2)


Définitions de et [modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .

Soit

Définition :

a) Soit

est la distance euclidienne sur

c'est-à-dire

b) Soit

est la distance euclidienne sur

c'est-à-dire


Définition du cardinal quantitatif sur et sur [modifier | modifier le wikicode]

Définition sur [modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


(Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné , c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application , mais j'aurais pu l'appeler , et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de et de .)


définie et donnée sur , par une formule exprimant en fonction de (ou de , si on considère , comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de ) et qui est donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :


1)

[a) , ]

b)

c)


2)


a1) ,


a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :


Dans le cas des parties de , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur , dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" et .


3)


4) Soient un repère orthonormé de d'origine .


,,



@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@


5)


A)


a) , ou

, pour toutes les isométries de ,


En particulier :


a1) , ou ,


a2) , ou ,

,

,


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).


B)

a) ou ,

, pour toutes les isométries de ,


En particulier :


a1) ou ,


a2) ou ,

,

,


C) ,

,


D) ,

,


F)

a) ,

(Axiome en cours d'étude)


b)


si

(Axiome en cours d'étude)


Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Définition sur [modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


(Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné , c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application , mais j'aurais pu l'appeler , et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de et de .)


définie et donnée sur , par une formule exprimant en fonction de (ou de , si on considère , comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de ) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :


1)

[a) , ]

b)

c)


2)


a1) ,


a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :


Dans le cas des parties de , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur , dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" et , ou où et .


3)


4) Soient un repère orthonormé de d'origine .


,,



@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@


5)


A)


a) , ou

, pour toutes les isométries de


En particulier :


a1) , ou ,


a2) , ou ,

,

,


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).


B)

a) ou ,

, pour toutes les isométries de ,


En particulier :


a1) ou ,


a2) ou ,

,

,


C) ,