Recherche:Cardinal quantitatif

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Cardinal quantitatif

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Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques.


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Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

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Soit .

Sommaire

Cardinal quantitatif sur et sur [modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.


En particulier, je désignerai par :

  • PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de , de classe () et ( par morceaux),

et on posera ;


  • CQ (comme « cardinal quantitatif ») est la notion optimale ou la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est, déjà, construite, au moins, sur et qui ne néglige aucun point et pour laquelle le nombre ou la quantité d'éléments d'un singleton vaut et pour laquelle je cherche à aller plus loin, par opposition à la notion de cardinal de Cantor c-à-d la notion usuelle de cardinal (Autre lien), que j'appelle "cardinal équipotentiel", et qui est définie pour toutes les parties de et qui est la notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis.


Le problème se pose, en dehors de , car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements à l'infini", notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Peut-être qu'on peut généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées et aux parties non bornées de .


Les notions de CQ et de "cardinal équipotentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.


    • Mon CQ est une mesure sur . Si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition et de non-contradiction), cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé direct de et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, que l'on s'est fixé. Notion qui s'exprime en fonction des et qui est en rapport avec les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension .
    • La notion de CQ vérifiera le principe du tout et de la partie : "Le tout est, nécessairement, strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes", contrairement, à la notion de "cardinal équipotentiel".
    • Cette notion est définie sur , j'essaie de l'étendre et de la généraliser, quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace , qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace de l'analyse non standard.
  1. Comme dit précédemment, si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de , on doit abandonner l'axiome de la -additivité, du moins, avec la théorie classique, mais on peut le récupérer, avec une théorie non classique (avec des changements minimes par rapport à la théorie classique) et considérer que le CQ, dans le cas des parties non bornées, est relatif au repère orthonormé direct de , que l'on s'est fixé, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé.
  2. Dans la section 7, j'ai essayé de définir des nombres , en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale.


NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor.


La notion de cardinal au sens de la quantité, est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est bel et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de (Cf. interventions de Michel COSTE, mais qui y est très peu présente :


Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.


Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : (voir supra)

(Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, il désigne l'équipotence. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus importante, plus fondamentale et plus fine, que la notion d'équipotence, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel", pour les distinguer.)


Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): (voir supra)

Quant à l'extrait de livre de Jean Dieudonné : (voir supra)


Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien et peut être mis en bijection avec .


La notion de cardinal au sens de la quantité, présentée par Michel COSTE, concerne la classe de parties de , .


Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité : de parties bornées quelconques de , ayant une décomposition en un nombre fini de sous-variétés ouvertes, bornées, simplement connexes et/ou (?) connexes, de classe , et de dimension , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons ;


Décomposition d'une partie bornée de (voir infra)


Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)") (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, des parties bornées de , ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés comme détaillé ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties non bornées quelconques de (respectivement de ), ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable ».

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


Les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension dans ,

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"


https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),


sont telles que si , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , …, et des points d'espaces de dimension .


La "mesure" cardinal au sens de la quantité, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension , dans , , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" de Lebesgue généralisée ou la mesure de Hausdorff de dimension , .


Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal équipotentiel "" ou "", qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et le cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé de , "", sachant que la référence à un repère orthonormé , n'est utile que pour les parties non bornées de (ou de , de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de (ou de , de manière générale), on peut noter le cardinal quantitatif : "".


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


Nous désignons le CQ d'une partie de par et son cardinal équipotentiel" par .


On a :



alors que :



Applications :


1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d'.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange d'une matière continue et de matière discrète :

Le cardinal, au sens de la quantité, mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.


Restera à généraliser cette notion aux parties de , , etc., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.


La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff de dimension sur , le fait que soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur  :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des  ?


Liens[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/


REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :


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Panneau d’avertissement En plus des dangers de l'hébergeur PDF (cf. supra), les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :


Voici des liens Wikipedia :

Voici des liens intéressants en français :


Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :


La notion de CQ sur est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Remarques secondaires[modifier | modifier le wikicode]

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule du CQ concernant les parties bornées de , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de , et même seulement les PV.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre, toutes les "demi-droites" n'ont pas toutes la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement à l'infini", et que certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de .

Je sais que si des suites de polytopes de , de dimension (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de , de dimension ), convergent vers une PV de dimension , alors les suites constituées des CQ des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers le CQ de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que le cardinal quantitatif de tout singleton de vaut .)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de CQ en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.


Conjecture :

"Toute partie non convexe, connexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie non convexe, de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ,

donc toute partie de est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de ."


Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements à l'infini".

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le CQ et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.


Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le CQ aux "seules" parties de .

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.


Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les CQ, au moins, des PV de , de dimension , et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de , de dimension .

Partie déjà établie et connue : Cardinal quantitatif défini sur [modifier | modifier le wikicode]

Préliminaires[modifier | modifier le wikicode]

Définition de [modifier | modifier le wikicode]

Soit


Construction et définition[modifier | modifier le wikicode]

Définition du cardinal quantitatif sur [modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


(Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné , c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application , mais j'aurais pu l'appeler , et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des axiomes de définition de et de .)


définie et donnée sur , par une formule exprimant en fonction de (ou de , si on considère , comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties dénombrables de ) et qui est donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 CQ de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :


1)

[a) , ]

b)

c)


2)


a1) ,


a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :


Dans le cas des parties de , Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur , dans la théorie classique, mais que ce le sera dans la nouvelle théorie, quitte à introduire la nouvelle notation (excluant l'ancienne) et la nouvelle notion de "plafonnement à l'infini" et .


3)


4) Soient un repère orthonormé de d'origine .


,,



@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@


5)


A)


a) , ou

, pour toutes les isométries de ,


En particulier :


a1) , ou ,


a2) , ou ,

,

,


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les axiomes donnés dans 3) B).


B)

a) ou ,

, pour toutes les isométries de ,


En particulier :


a1) ou ,


a2) ou ,

,

,

Propriétés immédiates découlant de la définition du cardinal quantitatif sur [modifier | modifier le wikicode]

Il en découle de 1)b), de 2)a1) et peut-être d'autres axiomes de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

,


La -additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que , avec la notation classique de la notion de limite de parties de ayant pour limite une partie non bornée de , dans la théorie classique, elle l'est si et , moyennant une nouvelle notation de la notion de limite d'une famille de parties ayant pour limite une partie non bornée de , dans la nouvelle théorie, (excluant l'ancienne notation), c-à-d l'introduction de la notion de plafonnement à l'infini.


En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :


a) ,


b) ,


Il découle, en particulier, de 5), sous réserve de la remarque associée, que :


Si sont des intervalles de , alors :



et donc en particulier



Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de et qui est uniforme ().


Remarque :

repères orthonormés de

On pose : repère orthonormé de


Proposition :

Soit une partie bornée de .

Si et et

alors

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les "plafonnements à l'infini", mais sans nécessairement considérer bornée)

Résultats sur les intervalles de , c'est-à-dire, en particulier, sur les parties de [modifier | modifier le wikicode]

Soit un repère orthonormé de , d'origine .

Préliminaires :

Notations[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

Soit .

est l'intérieur de dans |par rapport à (on note aussi )

est l'adhérence de dans |par rapport à (on note aussi )

désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , dans , de tribu de départ

désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension , sur , c'est-à-dire la mesure de comptage sur , de tribu de départ

, notée, encore, , désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension , sur , de tribu de départ telle que

et telle que

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors on remarque que :

1)

En effet

2)

c'est-à-dire

c'est-à-dire

c'est-à-dire

c'est-à-dire

c'est-à-dire

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .

Soient et , deux intervalles de , non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de et ou de et existent et sont notés et , alors a :


Démonstration :

Si on suppose que et sont bornés dans , sans s'assimiler à des "demi-droites" de , alors :

On pose :

,

,

On a :

En effet,on a (proposition):

Si  :

donc

or

car

donc

donc

donc

donc

donc comme ,

,

donc

donc

donc

donc

Remarque : On montre facilement le résultat pour et

or ,

donc ,

or ,

donc ,

donc

or et et

donc

or et et

donc

Axiome de normalisation[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .

Soit .


En posant :

Axiome[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


En posant :









Donc, comme et que cete réunion est disjointe, on a :


[c'est-à-dire ]


On remarque que :



et


et


et


et


donc


donc


et



donc

Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


On pose : et .


On pose : .


Soit


alors


Axiome[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : J'hésite à omettre la notation "" concernant les objets suivants : ou .


On pose : et .


Soit


On pose : .

On a :