Recherche:Cardinal quantitatif

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Travail de recherche : Cardinal quantitatif

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Toutes les discussions sur ce sujet doivent avoir lieu sur cette page.


https://www.fichier-pdf.fr/2017/10/06/mes-mathematiques-et-cardinal-quantitatif-8-190/

Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF


Sommaire

La définition non définitive du cardinal quantitatif sur et sur (128)[modifier | modifier le wikicode]

Avant propos 1[modifier | modifier le wikicode]

Mots clés : Cardinal quantitatif d'un sous-ensemble de (notion optimale de nombre ou de quantité d'éléments de ce sous-ensemble de , notion bien définie, au moins, sur la classe de tous les sous-ensembles compacts, convexes, connexes de , de classe par morceaux). Notion qui est une mesure, au sens usuel ou classique, définie sur la classe des sous-ensembles compacts, convexes, connexes de , de classe par morceaux, mais qui n'est plus une mesure, au sens usuel ou classique, si on veut la définir sur et l'étendre à la classe de tous les sous-ensembles de . Si on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de , (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition), cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé direct de et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, que l'on s'est fixé. Notion en rapport avec les mesures de Haussdorf. Par opposition au Cardinal équipotentiel ou de Cantor ou au cardinal (classique), tout court, d'un sous-ensemble de (ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments de ce sous-ensemble de et notion optimale du nombre ou de la quantité d'éléménts de ce sous-ensemble de , lorsque ce sous-ensemble est un ensemble fini. Notion bien définie sur la classe de tous les sous-ensembles de , en rapport direct avec la notion de bijection).

    • La notion de "cardinal quantitatif" qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, est bien définie, au moins, concernant une classe de parties bornées de , c-à-d concernant, au moins, la classe des parties compactes, convexes, connexes de , de classe par morceaux, et est une mesure sur cette classe de parties de , mais n'est pas désignée à tort, sous cette appellation, par opposition à la notion de "cardinal équipotentiel" ou de cardinal de Cantor ou de cardinal classique, tout court, qui elle est définie pour toutes les parties de , et qui donne un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble, sauf dans le cas des ensembles finis, où elle se confond avec la notion de cardinal quantitatif, et qui est en rapport direct, avec la notion de bijection. Comme la notion de "cardinal équipotentiel" est, aussi, définie pour toutes les parties de , on tentera, aussi, d'étendre et de généraliser la notion de "cardinal quantitatif" à toutes les parties de .
    • J'essaie de réhabiliter cette notion sous cette appellation légitime et je m'essaie à l'étendre et à la généraliser, quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace , qui semble avoir beaucoup de {similitudes|points communs}, avec l'espace , de l'analyse non standard. Mon but, pour le moment est de préparer et de débroussailler, suffisamment, le terrain, pour qu’on puisse commencer à voir les et qu’on puisse commencer à s’engager dans les réelles difficultés mathématiques concernant "ma" théorie.
  1. Si on veut inclure le cas des parties non bornées de , on doit abandonner l'axiome de la -additivité, concernant l'application cardinal quantitatif, sur , sauf sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de , de classe par morceaux, et on doit considèrer que la notion de cardinal quantitatif, dans le cas des parties non bornées, n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de , que l'on s'est fixé, et au plafonnement sphérique ou autre, à l'infini, associé, et dans ce cas, sauf pour pouvoir définir la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif", il faudra, seulement, consulter les sections 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.10, 1.11 et 1.12 de la présente page (en grande partie et seulement, sous les conditions MC et MC+ et en remplaçant la plupart des par des ) .
  2. La voie proposée, est naturelle, mais, aussi, difficile, et j'ai peu de pistes en l'état, si ce n'est le fait d'avoir proposé 2 axiomes de définition concernant l'application cardinal quantitatif et les parties non bornées de , incompatibles avec l'axiome de la -additivité, concernant cette même application, sur .
  3. La thématique de mes travaux sur le cardinal quantitatif, est, certes, digne d'intérêt, mais, peut-être, qu'en revanche, mes travaux sur le sujet, le sont moins, voire beaucoup moins. Peut-être que mon ensemble , n'a que peu d'utilité, pour considérer le cardinal quantitatif d'une partie quelconque de , mais qu'en revanche, on peut lui trouver une autre utilité, si celle-ci n'est pas déjà prise par l'ensemble de l'analyse non standard.
  4. Dans la section 0.6 du 1er document, j'ai défini et a priori montré l'existence de mes nombres , grâce à et en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, mais je ne les ai pas construits et définis, axiomatiquement, comme cela a été le cas pour les nombres entiers naturels, les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et les nombres réels, ce qui peut peut-être poser problème pour certains, mais le faire n'est pas facile.
  5. On ne parle de limite d'une suite de parties d'un ensemble espace, que si cette suite est monotone pour l'inclusion, mais les expressions , (alors que), pourraient bien avoir un sens. Mais la notion de limite que j'ai utilisée dans ces expressions, n'est pas celle que j'utiliserai dans la suite.

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm


REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :


La saga du "cardinal" version 4


La saga du "cardinal" version 3


La saga du "cardinal" version 2


La saga du "cardinal" version 1 .


Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :


http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/berger1/

http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/berger2/


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel Coste, il provient de Jean Dieudonné :


http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/dieuquarto/


Voici des liens Wikipedia :


Volume mixte (en anglais)


Théorème de Hadwiger (en anglais)


Formule de Steiner-Minkowski


Voici un lien intéressant en français :


Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER


Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui nous concerne) :


http://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf


Qu'importe la réputation et les égarements que j'ai pus avoir sur certains forums de mathématiques et le fait que je m'y suis très mal pris, ce qui compte c'est de faire admettre, d'imposer et de faire triompher la pleine légitimité d'une notion mathématique, ainsi que la terminologie qui lui est associée.

Malgré mon bannissement Des-mathematiques.net et la suppression d'une partie des traces de mes pseudos sur ces dernières, des traces demeurent, et si pour certaines, je n'ai rien à redire, les autres ne me mettent pas, du tout, en valeur.

Par ailleurs, j'aurais aimé que les discussions visibles sur les moteurs de recherche et traitant du cardinal quantitatif, sur Les-mathématiques.net, soient supprimées ou cachées :

Elles sont mineures, anecdotiques, obsolètes et de par les liens parasites qu'elles produisent sur Google, font de l'ombre à la présente discussion qui est souvent réactualisée, qui est beaucoup plus légitime et pour laquelle j'ai encore un certain contrôle.

J'ai, en fait, été banni plusieurs fois Des-mathematiques.net (2 à 3 fois), mais je me suis engagé, définitivement, en 2013, à ne plus y remettre les pieds

(mais c'est une grosse perte pour moi, même si je peux toujours consulter le forum, mais sans plus pouvoir y intervenir ou y répondre, moi qui ne comptais plus y parler de mes "travaux de recherche personnels" ni de ma vie ni de ma vie scolaire)

(Alors que Jean-Yves TALLET ou JYT, qui écrit des phrases creuses, mais qui impressionnent beaucoup moins que des formules mathématiques lourdes, creuses ou du moins en partie creuses, n'a quant à lui pas été banni),

mais Emmanuel VIEILLARD BARON plus connu sous le pseudonyme manu, sur Les-mathematiques.net, dont il est l'administrateur principal ainsi que le propriétaire, refuse, pour la seule fois où je lui ai demandé, de faire son boulot proprement, concernant les traces de mes pseudos et la suppression de ou du moins le fait de cacher certaines discussions dont les miennes

(Surtout, celles où j'ai fait trainer en longueur, des brouillons, des formules lourdes, absconses, informelles et peu rigoureuses qui ne m'honorent pas, mais qui étaient et sont, ici, un mal et un passage obligé et nécessaire, que je n'aurais dû garder et que je ne devrais garder que pour moi, même si j'avais besoin et si j'ai besoin d'aide et que je demandais ou que je demande de l'aide)

et celles dont je ne suis pas le créateur, mais qui me concernent, particulièrement, voire sur lesquelles je suis grandement et principalement intervenu,

et ce malgré le fait que je lui ai listé tous les liens concernés.

De plus, alors que je l'ai très peu contacté par email, il s'est réservé le droit de ne plus y répondre et même de diriger tous les messages que je lui enverrai, {dans|vers} la poubelle.

Alors que j'étais dans un état relativement normal, en tentant d'exprimer, mathématiquement, du mieux que je pouvais, certaines intuitions plus ou moins vagues et confuses que j'avais en tête, j'ai écrit sur Les-mathematiques.net, selon mes idées et ma logique du moment, et j'y ai fait traîner en longueur, quantité de formules ou de formalisations mathématiques ou plutôt pseudo mathématiques, lourdes et absconses, qui, tout en étant fortement inspirées, apparaissent, aux yeux des intervenants, comme plus ou moins folles ou plus ou moins délirantes, car certaines n'ont, effectivement, pas de sens ou peu de sens et que les autres sont en grande partie informelles et très mal formulées et que le sens que j'ai voulu y mettre et leur donner est, pour eux, difficile voire impossible à extraire, sens pour lequel il m'arrive parfois moi-même, dans certains cas, de ne plus parvenir à le retrouver.

Ces formules et ces formalisations mathématiques ou plutôt pseudo mathématiques sont vraiment des cas uniques en leur genre, susceptibles de donner une fausse image et une image caricaturale de moi-même, en mathématiques et, plus particulièrement, en ce qui concerne les mathématiques scolaires du supérieur, tellement j'étais et tellement il m'arrive d'être absorbé par et inspiré et barré dans ces premières, sans avoir ou sans avoir pu avoir tout le recul nécessaire, tellement j'étais et je suis motivé et impatient de les rectifier, de les modifier ou de les corriger et de les rendre parfaites, avant qu'un intervenant ne poste un nouveau message et ne les commente, et tellement ces premières sont ou tellement ces premières peuvent, souvent, prêter à rire, en l'état :

C'est sans compter que c'est un travail de longue haleine, que je dois effectuer quasiment seul, sans soutien et sans encadrement, alors que je n'ai jamais vécu d'expérience de thèse, faute d'avoir pu y accéder, mais que j'ai néanmoins pu effectuer un mémoire de M2 R, sans jamais rencontrer les présentes difficultés que je rencontre, ici, avec le cardinal quantitatif et mes autres "travaux de recherche personnels", même si ce mémoire n'est pas parfait en tout point, mais a quand même le mérite d'avoir amélioré la mise en forme de et d'avoir mieux détaillé certaines parties d'un livre, même s'il a pu faillir dans d'autres, surtout dans la partie concernant le cas discontinu où les résultats sont plus difficiles et ont été présentés beaucoup plus sèchement et sommairement, et où je n'ai pas eu la présence d'esprit d'exploiter la bibliographie qui était pourtant une mine.

Dans ce travail personnel, en particulier, sur le cardinal quantitatif, je m'y reprends de très nombreuses fois, parfois sans relâche, afin que mes formalisations deviennent de plus en plus potables et de plus en plus intelligibles et compréhensibles, voire bien et rigoureusement formalisées, jusqu'à devenir mathématiques, à part entière, tout en traduisant bien mes intuitions :

Je peux vous dire que ça n'est pas simple et qu'à vrai dire, je n'ai quasiment pas avancé, depuis l'intervention de Michel Coste sur Les-mathematiques.net, en 2007, concernant la formule donnant le cardinal quantitatif d'une partie de , en général ou du moins d'une partie appartenant à des classes de parties de , de plus en plus larges :

Déjà la formule que nous donne Michel Coste (qui ne vient pas de lui), concernant les cardinaux quantitatifs des parties d'une certaine classe de parties bornées de , n'est déjà pas simple et demande un formalisme lourd et poussé :

Je vous laisse le soin d'imaginer, ne serait-ce qu'un seul instant, ce qu'il en sera, des formules qui la généraliseront, d'autant plus que pour pouvoir le faire, la littérature semble difficile et faire défaut :

Mais vu l'allure que prennent mes formules et mes formalisations, l'esprit qui les a produites et qui a voulu les exprimer, ne peut être un complet insensé, car, à chaque fois, il a visiblement une idée et une logique derrière la tête.

On pourrait penser que les formules ou les formalisations que j'ai données dans cette discussion, sont toutes du même acabit :

C'est en partie vrai, mais je pense que contrairement à ce que j'ai produit sur Les-mathematiques.net, je les ai très sensiblement élaguées, rectifiées, corrigées, précisées et améliorées, et que si certaines formules ou certaines formalisations ne sont pas encore au point :

C'est qu'il me reste encore un grand travail à {faire|fournir} pour y parvenir.

Concernant le cardinal quantitatif d'un sous-ensemble de qui correspond à la notion optimale de quantité d'éléments de ce sous-ensemble, il faut d'abord lire mon message "Avant propos 2" de ce PDF ou page 16 (du 05 Juin 2016 12:00, en étant logué) de la discussion "Cardinal quantitatif et autres travaux mathématiques (1)" sur le forum Maths-Forum :

Avant d'envisager la formule du cardinal quantitatif concernant les parties bornées de , il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de  :

On sait la donner concernant les parties de la classe des parties compactes, convexes, connexes de , de classe par morceaux :

Reste à définir la notion de cardinal quantitatif, à tous les sous-ensembles non bornés de , et il n'y a, apparemment et visiblement, aucune raison et aucun obstacle théorique, au fait que cela puisse être possible, humainement, même si cela peut se révéler très difficile et pas à notre portée du moment.

Michel COSTE, au lieu de dire qu'on ne peut pas raisonnablement aller plus loin, ferait mieux de dire que ce n'est pas dans ses cordes ou dans ses tripes et qu'il n'a pas la trempe d'aller plus loin ou la trempe pour aller plus loin, or ce Michel COSTE est, tout de même, professeur émérite à l'Université de RENNES 1.

(NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c-à-d, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation)

Par ailleurs, Denis FELDMANN (ou le contributeur Dfeldmann sur Wikipedia) m'a berné et s'est payé ma tête, dans mon ancienne page de discussion Wikipedia même (qui n'avait pas lieu d'y être, puisqu'elle traitait de travaux inédits), en parvenant à me faire croire qu'il existait, ou, du moins, en semant le doute en moi, de façon contre intuitive, sur le fait qu'il existait des rotations d'angle irrationnel pour lesquelles certaines parties n'étaient pas invariantes, et que donc le cardinal quantitatif n'était pas invariant pas rotation et que cela aboutissait à une contradiction, et que cela était un cas particulier du paradoxe de Banach-Tarski, et que cela était dû à l'axiome du choix, et que donc ma notion n'était pas définissable dans le système ZFC :

Je crois même qu'il y a de fortes chances qu'il m'ait dit la même chose sur Les-mathematiques.net sous un autre pseudonyme.

Conseils d'ami :

Ne venez jamais publier et discuter de vos brouillons, en cours, sur vos "travaux de recherche personnels", sur un forum de mathématiques, surtout s'ils en sont, encore, à un stade très informel et s'ils sont, encore, en grande partie vagues, confus et peu rigoureux, et cela même si vous cherchez, à tout prix et absolument, de l'aide.

Abandonnez les à contre coeur et vivez avec un profond sentiment d'amertume et d'injustice, toute votre vie, surtout, quand vous n'avez pas les moyens de généraliser ou de donner une formule plus générale d'une notion, mais que vous voulez néanmoins légitimer cette notion sous une appellation légitime (quitte à donner à d'autres notions, d'autres appellations légitimes, afin de la différencier de ces dernières), en vous basant sur ce que l'on sait déjà d'elle, même si elle peut apparaître, trompeusement, sous d'autres appellations.

Les précautions à prendre sont souvent trop nombreuses et nécessitent beaucoup de recul et qu'on s'y reprenne de très nombreuses fois, surtout si on est peu soutenu et encadré et/ou que l'on a pas bénéficié d'une formation de recherche.

Sinon, cela ne vous apportera que des "emmerdes" voire des bannissements, vous allez vous embourber et vous enliser, dans un bourbier dont il vous sera difficile de vous défaire et de vous dépêtrer, vous connaîtrez les incompréhensions, les moqueries, les railleries, les sarcasmes, les remontrances et la mauvaise humeur.

Avant propos 2[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm

C'est le genre de message que j'aurais dû poster, en 1er :

Tant, il résume bien la situation actuelle du cardinal quantitatif, ainsi que la mienne par rapport à ce dernier.

Réagissez y.

Les mathématiciens professionnels disposent, certes, de compétences, de connaissances et de savoirs académiques, mais, surtout, comparés aux mathématiciens amateurs (dans mon cas, j'ai tout de même eu un M2 R, mais je n'ai pas pu accéder à la thèse), ils disposent de moyens matériels (bibliothèques, accès gratuit à des revues) et puis, surtout, de moyens humains et relationnels (collègues, colloques, rencontres, collaborations), sur lesquels ils peuvent compter, dialoguer, discuter, se tromper, divaguer, trouver de l'aide et s'inspirer, à souhait, avant de publier un article maintes fois revérifié, dans une revue ou sur Arxiv.

Les mathématiciens amateurs, en excluant ceux qui ont un niveau, des compétences et une expérience académiques insuffisants pour pouvoir faire des travaux de recherche, un temps soit peu solides et sérieux, ont surtout, des moyens matériels limités ou s'ils peuvent les amortir, couteux et entièrement à leur charge (bibliothèques, accès à des revues), et des moyens humains et relationnels très limités, qui les condamnent très fortement.

Les forums tels que Les-mathematiques.net et celui-ci

(où pour ce dernier, je suis, quand même, plus tranquille et où j'ai plus de temps pour peaufiner et pour travailler mes messages, même si d'une certaine manière, cette discussion est mal placée et qu'il y a peu d'intervenants venant dans le sous-forum correspondant et que cela fait un mois que les seuls intervenants qui répondaient à mes messages, n'y répondent plus de façon collégiale et l'ont abandonnée),

sont mal adaptés voire inappropriés pour avoir ce genre de discussions, surtout quand les travaux en question, en sont encore à un stade très informel, voire très vague et très confus et nécessitent encore de nombreuses phases d'élagage et de décantation, grâce auxquelles ils pourront s'affiner, se préciser et prendre forme, peu à peu.

Toute cette discussion aurait mieux sa place, sur Les-mathematiques.net, mais j'en fus banni, notamment pour y avoir trop parlé de ma vie et de ma vie scolaire, mais aussi et surtout, pour le boubier dans lequel je m'étais mis et les longueurs, les débats houleux et les moqueries, bref le raffut, qu'ont entraînées les discussions portant sur mes "travaux de recherche personnels", en mathématiques, car j'avais un mal fou à les exprimer et car ceux-ci en étaient encore à un stade intuitif, très vague, très confus et très informel, contenaient beaucoup d'erreurs, étaient en grande partie faux, et étaient jugés comme tels, comme peu ou pas mathématiques, par la modération, et puis aussi, parce que je me suis un peu défoulé et ai un peu trollé sur ces dernières, pour me venger des fermetures de certaines de mes discussions :

(Je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension de .

J'avais introduit et inventé les expressions d'"ouverts purs" et de "fermés purs", alors que je voulais, en fait, désigner, les mots déjà existants, d'"ouverts" et de "fermés", et je désignais par "parties à la fois ouvertes et fermées", des parties, en fait, ni ouvertes, ni fermées :

Alors qu'inconsciemment, je possédais la bonne terminologie.)

Je sais que je n'avais pas le choix d'en passer par là, pour pouvoir être jugé et recevoir un peu d'aide, même si j'en ai reçue très peu :

Mais, avant de commencer à faire de (vraies) mathématiques, en particulier, au delà des cardinaux quantitatifs des parties convexes, compactes, connexes de , de classe par morceaux, il faut bien préparer le terrain, et dans mon cas, en ce qui concerne mes travaux, le terrain n'est toujours pas prêt.

Ma situation est un comble et semble être un dilemme insoluble :

D'un côté, je cherche et j'ai besoin absolument d'aide pour faire avancer mes travaux, mais, d'un autre côté, il est, aussi, préférable, en l'état, que je reste seul isolé dans mon coin et que je n'en demande pas, puisque de toute façon, quoique je fasse, je n'en obtiendrai pas ou très peu, je serai mal vu, on se moquera de moi et que de plus je risquerai d'aggraver ma situation, quant à ma mauvaise réputation sur certains forums de mathématiques, de fait je suis condamné à ne jamais faire ou très peu progresser mes travaux et à devoir errer seul, pour toujours.

On ne peut pas mettre sur le même pied d'égalité, un normalien, un thésard, et un enseignant-chercheur, avec moi :

Certes, pour le bagage mathématique qu'ils possèdent, mais aussi, et surtout, par le soutien humain et relationnel, dont eux disposent et pas moi, surtout à leurs débuts, dans la recherche, mais aussi tout au long de leur carrière, par les rencontres et les collaborations qu'ils seront amenés à avoir, et cela, ils ne semblent que l'avoir trop peu remarqué.

Les enseignants-chercheurs, les thésards et les élèves des grandes écoles peuvent se permettre le luxe de prendre de très nombreuses précautions avant de publier dans une revue, mais aussi, si cela leur chante, avant de poster des messages au contenu mathématique, sur les forums, car ils craignent, avant tout, de devenir la risée de tous et, par dessus tout, que cela nuise à et atteigne leur réputation :

La plupart des étudiants et des acteurs du monde mathématique et les intervenants des forums de mathématiques, pensent et raisonnent, ainsi, ont cet état d'esprit, et entretiennent ce climat, alors que les chercheurs savent pertinemment qu'avant d'arriver à un article final, les erreurs, les fausses routes, les impasses, les retours en arrière voire les chemins imprévus, sont légion.

Il faut toujours qu'il y ait une épée de Damoclès au dessus de nos têtes et que règne le scepticisme, la peur et l'angoisse, sur tous nos discours mathématiques, qui se doivent, toujours ou presque, d'être absolument parfaits, sans faille et irréprochables, avant d'être émis, sans quoi on subira les railleries et on risquera, à terme, d'être discrédité.

Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres et qui résistent depuis longtemps :

Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor

(Le cardinal équipotentiel ou de Cantor, à la différence du cardinal quantitatif, donne un ordre de grandeur de la quantité d'éléments [d'un sous-ensemble infini de ], mais pas la quantité d'éléments [de ce sous-ensemble infini], elle-même)

et que j'ai de bonnes raisons d'y croire, puisque cela fonctionne déjà pour certaines classes de sous-ensembles bornés de et qu'il n'y a, apparemment et intuitivement, aucune raison pour qu'on ne puisse pas aller plus loin, même s'il y a quelques concessions à faire pour inclure et traiter le cas des sous-ensembles non bornés de , amenant (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition) à considérer que cette notion ne sera plus universelle, mais relative au repère orthonormé de et du plafonnement sphérique ou autre, à l'infini que l'on s'est fixé, et que ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler, autrement, la plupart des "demi-droites", puisque dans notre cadre ou dans notre théorie, toutes les "demi-droites", n'ont pas, toutes, la même longueur, du fait même de l'existence d'un "plafonnement" à l'infini, et que certains points sont plus près que d'autres, de ce "plafonnement".

NB : En ce qui concerne la notion de cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé (permettant de traiter le cas des parties non bornées), le principal et le plus dur reste encore à faire.

Remarque : Peut-être qu'être bon ou très bon en mathématiques, de façon globale et générale, n'est pas une condition nécessaire pour être bon ou très bon, en recherche, dans un ou plusieurs domaines particuliers ou spécialisés.

Remarque : Je me suis fait berner une fois, par Denis Feldmann et un intervenant des-mathematiques.net (qui est peut-être, d'ailleurs, la même personne), sur un point, sur lequel il a réussi à me faire croire à tort, le contraire de ce que je croyais jusqu'ici, en tout cas, il avait semé le doute en moi.

Le cardinal quantitatif a été étendu aux parties convexes, connexes, compactes de , de classe par morceaux.

Le problème est de l'étendre à des classes de parties, plus larges (On pourra peut-être, seulement, ensuite l'étendre à des classes de parties de , que j'ai introduites informellement dans un de mes pdf et qui posent les mêmes problèmes.).

Je sais que si des suites de polyèdres convexes convergent vers une partie convexe, connexe, compacte de , de classe (par morceaux), alors les suites constituées des cardinaux quantitatifs des polyèdres convexes de chacune d'entre elles, convergent de façon unique vers le cardinal quantitatif de la partie convexe, connexe, compacte de , de classe (par morceaux), en question, en particulier, si les polyèdres convexes sont engendrés par des pavés.


(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel Coste que j'ai donnés :


La saga du "cardinal" version 4


La saga du "cardinal" version 3


La saga du "cardinal" version 2


La saga du "cardinal" version 1


Michel Coste n'a pas vu ou n'a pas remarqué, apparemment, que la notion de "cardinal", ou plus à proprement parler, de cardinal quantitatif, correspondait à la notion optimale de quantité d'éléments, et que, contrairement, à ce qu'il dit, il n' y a aucune raison et, en particulier, aucune raison intuitive, qu'on ne puisse pas, raisonnablement, aller plus loin et au-delà de la petite classe de parties de , qu'il mentionne dans son article.

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage fondamental, que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est caractéristique et constitutif de la notion optimale de quantité d'éléments),

et je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes.

Il y a donc peut-être là, une possibilité d'étendre la notion de cardinal quantitatif, à des parties connexes, compactes, non convexes, de , de classe (par morceaux).

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Michel Coste, du moins et surtout Denis Feldmann sont, un peu, hautains, arrogants voire dédaigneux :

Ils disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des parties convexes, compactes de , de classe par morceaux, et pour l'autre au-delà des parties bornées de , mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi.

Je ne vois pas ce qui limiterait une telle généralisation à des classes de parties (de plus en) plus vastes, si ce ne sont peut-être les innombrables difficultés mathématiques que nous pourrions rencontrer et auxquelles nous pourrions être confrontés et sur lesquelles nous pourrions buter, bien qu'elles ne soient, très probablement, pas insurmontables, mais peut-être pas pour le moment ou à notre époque, ou par moi-même :

Rien ne nous empêche, de procéder par petites extensions successives, et nous contenter de petites classes de plus en plus larges, plus larges que celles des parties convexes, connexes, compactes de , de classe par morceaux :

Je suis seul livré à moi-même à stagner et je n'ai pour l'instant, quasiment, aucun début de piste et personne ne m'en a donné un, jusqu'ici ou dit autrement, je suis depuis le temps que je suis confronté à ce sujet, relativement sec et sans idée et la littérature pertinente, sur internet, en vue de détecter et de sélectionner les définitions et les résultats qui me seraient utiles, quitte à les réadapter, est rare ou difficile à décrypter, à déchiffrer et à interpréter.

De plus, peut-être que les résultats que je recherche sont disséminés à travers la littérature payante.

Je souhaiterais que quelqu'un vienne débloquer la situation, mais, apparemment, je peux toujours attendre.

Michel Coste a vu et a fait le lien et le rapprochement entre le cardinal quantitatif et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre et qui est tout aussi importante et fondamendale, puisque il s'agit, tout de même, de la notion optimale de quantité d'éléments concernant les parties de ou, du moins, de  :

Dans ces travaux, on travaille sur et on est complètement aveuglé et noyé par certaines notions en vogue, qu'on en oublie complètement le reste :

Le plus gros de leurs contenus est inutile et complètement à côté de la plaque, pour généraliser "ma" notion.

Il est mentionné, quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

On ne peut quand même pas me reprocher et m'en vouloir de n'être pas parvenu à retrouver la formule de Steiner-Minkowski et une partie de la théorie qui va avec, de façon indépendante, par moi-même, même si l'intervention de Michel Coste, sur Les-mathematiques.net, en 2007, aurait dû me faire avancer un peu plus, depuis le temps, mais il faut dire que Michel Coste a été avare en références utiles à me mettre sous la dent, même s'il en a données quelques unes, et le rapprochement qui existe et qu'il a vu entre la notion de cardinal quantitatif et la formule de Steiner-Minkowski, demande un peu de travail et n'est pas tout à fait trivial.

Par ailleurs, je ne pense pas ou du moins ne suis pas certain que la décomposition d'une variété (topologique ou différentiable) compacte connexe ou simplement connexe de , soit utile ou suffisante, pour déterminer et exprimer son cardinal quantitatif.

Peut-être que ce travail d'extension ou de généralisation, sera sans fin, puisqu'il dépendra de la géométrie des parties, en question, dont nous voulons déterminer le cardinal quantitatif, et que ces géométries sont uniques, à isométrie près et prennent un nombre incalculable, infini et divers de formes, de configurations et de natures, voire de structures, distinctes, même s'il existe des règles générales.

Pour les mathématiciens "amateurs", il existe une alternative à Arxiv : Vixra.

Même si nombres de farfelus y publient (dont certains, comme ils respirent), c'est ma seule chance de salut, si je veux que mes notions et leurs appellations, ne meurent pas dans l'oeuf et puissent exister et perdurer, ceci à condition que mes travaux soient un temps soit peu consistants, tout en présentant un minimum d'intérêt.

En l'état, mes travaux ne sont pas encore prêts et assez mûrs, pour être publiés, en particulier sur Vixra :

Ils n'ont pas l'allure et le contenu conventionnels d'un article de recherche, en mathématiques.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 Avr 2016 13:24

Citation de Ben314 : "J'ai lu ton message, mais comme ça fait déjà 10 000 fois qu'on y a déjà répondu précédemment, je vois pas l'intérêt de le faire une 10 001 ème fois."

Réponse : J'ai, certes, posté un message, à partir du 21 avril 2016, mais j'ai sensiblement amélioré et augmenté son contenu, depuis :


Peut-être que tu n'as pas lu ce message, dans sa dernière version.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 Avr 2016 13:34

Citation de Ben314 : "Le fait d'avoir ou pas des collègues et une bibliothèque n'a absolument rien a voir avec le fait d'être capable comme toi d'aligner n'importe comment des symboles mathématiques dans un ordre tel que c'est totalement inepte et dénué du moindre sens. Je connais un grand nombre de matheux "amateurs" qui cherchent et des fois trouvent des trucs intéressants. Leur gros problème, c'est assez fréquemment qu'ils "réinventent la lune", c'est à dire qu'ils redécouvrent avec des outils "élémentaires", des trucs bien connus et qui sont très naturels lorsque l'on connaît bien la théorie qu'il y a derrière. Mais j'en connais pas un seul à part toi écrivant du "charabia" totalement dénué du moindre sens tel que tu es capable de le faire à longueur de pages."


Réponse : Le problème n'est pas de considérer ce que j'ai dit ou ce que j'ai fait, mais de partir de là où Michel Coste disait qu'on ne pouvait pas généraliser la notion de cardinal quantitatif et aller raisonnablement au delà.


A l'époque je l'appelais maladroitement "cardinal" et il ignorait et n'avait pas vu qu'il s'agissait de la notion optimale de quantité d'éléments, et qu'il n' y avait donc aucune raison pour qu'on ne puisse pas aller au delà, si ce n'est, (Rajout : sachant qu'il n' y a probablement aucune raison que cela soit infaisable), rencontrer et être confronté à d'innombrables difficultés mathématiques au cours de notre route, et qui ne sont peut-être pas à notre portée pour le moment, ou à notre époque, ou par moi-même.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 Avr 2016 14:06

Citation de Ben314 : "Le fait d'avoir ou pas des collègues et une bibliothèque n'a absolument rien a voir avec le fait d'être capable comme toi d'aligner n'importe comment des symboles mathématiques dans un ordre tel que c'est totalement inepte et dénué du moindre sens."

Réponse : Dans un contexte, purement scolaire ou bien balisé ou même dans celui de mon mémoire de M2 R, je sais aligner, convenablement et parfaitement, des symboles mathématiques, par contre la notion de cardinal quantitatif, nécessite, vraisemblablement, un cadre et un contexte extraordinaire voire hors norme, que j'ai été incapable de fournir par moi-même, avant de rencontrer Michel Coste, sur Les-mathématiques.net, sauf dans des cas particuliers de cette théorie dans le cas des parties convexes, connexes, compactes de , de classe par morceaux :

Normal, je n'ai et je n'ai eu quasiment aucune piste : Je n'ai que ce que Michel Coste m'a donné.

Rajout : Mon problème n'est pas syntaxique ou logique, et de plus je possède un minimum de connaissances et de compétences, mon problème est que je n'arrive pas à me faire une idée claire et donc à créer un contenu clair qui définirait la notion de cardinal quantitatif, en allant au delà des parties convexes, connexes, compactes de , de classe par morceaux :

Il y a de réelles difficultés à le faire :

Il faut beaucoup de perspicacité et de ténacité et en passer par de très nombreux essais et tentatives ratées avant d'aboutir à une version parfaite et parfaitement formalisée, telle que tu la voudrais.

De plus, j'ai défini informellement l'ensemble , et cela ne me sert à rien pour traiter, complètement, la notion de cardinal quantitatif sur )

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par messinmaisoui » 30 Avr 2016 14:37

Dites ... vous êtes sûr que vous êtes bien en train de parler du sujet "Proposition de nouvelles fonctionnalités" ?

":mafia:"

Mon avatar me fait peur, est-ce normal docteur ?

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Messagepar Matheux philosophe » 30 Avr 2016 14:40

Citation de Ben314 : "Je connais un grand nombre de matheux "amateurs" qui cherchent et des fois trouvent des trucs intéressants. Leur gros problème, c'est assez fréquemment qu'ils "réinventent la lune", c'est à dire qu'ils redécouvrent avec des outils "élémentaires", des trucs bien connus et qui sont très naturels lorsque l'on connaît bien la théorie qu'il y a derrière."

Réponse : Ce fut aussi mon cas, avec Michel Coste qui a su voir et comprendre où je voulais en venir (J'avais établi une relation entre les cardinaux quantitatifs de deux intervalles bornés, ouverts [respectivement fermés], non vides et non réduits à un singleton), et qui m'a montré que "ma" théorie du cardinal quantitatif, se généralisait aux parties convexes, compactes, connexes de et de classe par morceaux et faisait appel à la formule de Steiner-Minkowski.

Modifié en dernier par Matheux philosophe le 30 Avr 2016 14:44, modifié 2 fois.

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Re: Proposition de nouvelles fonctionnalités

Message par Matheux philosophe » 30 Avr 2016 14:42


Citation de messinmaisoui : "Dites ... vous êtes sûr que vous êtes bien en train de parler du sujet "Proposition de nouvelles fonctionnalités" ?"

":mafia:"

Réponse : Je répondais à Ben314 et j'en ai enfin fini.

Avant propos 3[modifier | modifier le wikicode]

Citation personnelle : Il faut souvent beaucoup déconner, avant de commencer à devenir sérieux. (Euphémisme, et ce n'est pas encore fini )

Dans plusieurs discussions, sur Les-mathématiques.net, sur 4 thèmes dont thèmes de recherche personnels (Je n'en ai gardé que 2, j'ai abandonné les 2 autres, ces derniers n'étant pas sérieux ou sans intérêt) :

J'ai écrit, émis et commis, dans l'engouement, la tension, la précipitation et le manque de recul, de nombreuses erreurs, en particulier d'inattention, et de nombreux écueils mathématiques, dont la plupart, à tête reposée, auraient pu être évités.

Je n'ai pas répondu, au mieux et de la manière la plus pertinente ou la plus appropriée, à toutes les questions qui m'y ont été posées, et ayant été, souvent, trop absorbé par et trop immergé dans mes propres pensées et ayant été un peu noyé dans la masse des nouveaux messages, j'en ai ignorées certaines, involontairement, malgré les relances.

Et j'ai produit beaucoup de pages brouillonnes et de formules absconses, informelles, cabalistiques, peu au point, qui n'avaient, souvent, peu ou pas de sens, en l'état, qui ne pouvaient pas passer inaperçues et qui ne pouvaient pas passer, en l'état, et qui, principalement, à elles seules, avec le déballement de ma vie et de ma vie scolaire, me valent un bannissement définitif de ce site, cf. (*) :

C'est assez sévère, car je suis désormais prêt à ne plus y parler de travaux personnels, ni de ma vie ou de ma vie scolaire et car je n'ai peut-être produit pas plus de 1000 à 2000 messages, tout pseudo confondu, entre 2005 et 2014, mais mes erreurs, mes formules absconses qui ne peuvent pas passer inaperçues, ni passer, en l'état, et les remarques désagréables, désobligeantes, et moqueuses des intervenants, ont eu raison de moi sur ce forum, mais selon l'administrateur principal de ce forum, ce serait aussi pour me préserver, cf. (*).

Pourtant je crois qu'en passer par là, était pour moi un mal nécessaire et que mes travaux ne sont pas, toujours, si irrationnels et si insensés qu'ils n'y paraissent ou qu'on pourrait le penser, car sinon l'un d'eux, n'aurait pas attiré l'attention de Michel COSTE (professeur émérite à l'Université de RENNES 1).

Remarque : J'ai négocié la suppression d'une partie de mes traces avec l'administrateur principal des-mathematiques.net, Emmanuel VIEILLARD-BARON, plus connu sous le pseudonyme manu, contre mon bannissement définitif de son forum.

Ce dernier n'a pas rempli et répondu à toutes ses obligations, vis à vis, de la loi française, alors même que j'en ai fait plus que cette dernière ne l'exige de moi, quant à la suppression de toutes mes traces, de tous mes messages et de toutes mes discussions, sur son forum, encore que pour certaines, ce serait, peut-être, un peu sévère.

De plus il redirigera, systématiquement, tous mes messages email que je lui adresserai, vers la poubelle :

Il profite, impunément, de la saturation des services de la CNIL et il pourra, peut-être, juridiquement, même jouer avec le flou et les contradictions de certaines lois.

Néanmoins, Emmanuel VIEILLARD-BARON, en collaboration avec d'autres auteurs, a écrit un livre gratuit remarquable de mathématiques, destiné aux élèves des CPGE scientifiques, de 1 ère année, de plus de 1200 pages : http://les.mathematiques.free.fr/pdf/livre.pdf ,

où, pour ce qui nous concerne ici, il donne, en particulier, des commentaires sur et des bibliographies courtes de Grassmann, de Leibniz et de Newton :

Bien que ces derniers, à leur époque, ne possédaient pas tout le formalisme et de toute la rigueur dont on dispose aujourd'hui, contrairement à moi :

Les auteurs mentionnent, en particulier, dans leur ouvrage, les faits suivants qu'on pourrait peut-être aussi me reprocher et pour lesquels je pourrais peut-être me reconnaître (@Encore, qu'il ne faudrait, tout de même, pas exagérer, non plus, dans le cas de Grassmann, Cf. lien url, plus bas, même si dans mon cas et à mon époque je dispose de nombreux très bons modèles de textes mathématiques et des polices LaTeX@), même si je ne cherche pas à me mesurer à et que je n'arrive pas à la cheville de ces 3 mathématiciens, à l'heure actuelle (J'ai 35 ans en 2017) :


p 469 : Chapitre 12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles/ Pour bien aborder ce chapitre :

"Newton et Leibniz furent les premiers à tenter de formaliser la notion de dérivée.

Ils se disputèrent la paternité de cette invention mais il semble certain maintenant qu'ils l'ont découvert de manière indépendante et chacun via des formalismes différents.

Comme expliqué dans l'introduction du chapitre 10, la notion de limite n'a été développée que bien plus tard, au 19ème siècle par Cauchy et Weierstrass aussi la formalisation de la dérivation par Newton et Leibniz souffrait de nombreuses lacunes.

Newton refusa d'ailleurs de publier son travail et les écrits de Leibniz étaient obscurs et difficiles à comprendre."


Je n'ai pas encore publié mes travaux inachevés, dans une revue, mais je les ai exposés et divulgués, sur Les-mathematiques.net.

On remarquera, dans mon cas, même s'il est sans doute plus modeste, que Newton aurait pris la précaution de ne pas les publier, et on peut peut-être même supposer qu'il ne les aurait pas non plus divulguer.

Je crois aussi que Gauss, aussi, a préféré ne pas publier certains de ses résultats pour les mêmes raisons.


p 905 : Chapitre 24 Dimension des espaces vectoriels / Bio 21 :


"Hermann Günther Grassmann, né le 15 avril 1809 à Stettin et mort le 26 septembre 1877 à Stettin (Allemagne).

Hermann Grassmann est le troisième enfant d'une famille de douze.

Son père enseigne les mathématiques.

Devant les piètres qualités intellectuelles de son fils (mémoire peu fiable,trouble de la concentration, ), il pense faire de lui un jardinier ou un bijoutier.

Hermann Grassmann se rend néanmoins à Berlin en 1927 pour étudier la théologie.

Peu à peu, il se passionne pour les mathématiques qu'il découvre au travers des ouvrages écrit par son père.

En 1830, il retourne dans sa ville natale en tant que professeur de mathématiques.

Ayant raté son examen, il ne peut enseigner que dans les premières classes du secondaire.

Il commence en même temps ses recherches en mathématiques.

En 1840, il reçoit l'habilitation à enseigner dans les différentes classes de lycée et en 1844, il publie son ouvrage majeur "Die lineale Ausdenungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik".

Ses écrits sont confus et difficiles à suivre, aussi le livre n'aura que peu de lecteurs.

Grassmann est très frustré de ce fait car il pense que son travail est révolutionnaire et qu'il mérite un poste à l'université.

Il écrit une seconde version de son livre qu'il publie en 1862.

Mais malgré ses efforts de présentation, elle ne connaît pas plus de succès que la première.

Il faut attendre 1888 pour que le mathématicien Giuseppe Peano reprenne le travail de Grassmann et en précise toute la portée."


Avec un niveau moyen, en mathématiques, je me suis attaqué et je m'attaque toujours, quasiment seul, au problème difficile de la généralisation du cardinal quantitatif (notion optimale de quantité d'éléments) à toutes les parties de (bornées et non bornées), alors il est tout à fait normal, que je connaisse, rencontre et commette un grand nombre d'erreurs et d'écueils, sur ma route, et que je me sois beaucoup exposé, avec d'autres travaux, à en parler sur Les-mathematiques.net, cf. (*) :

Les mathématiciens professionnels ne s'exposent pas, comme moi, je l'ai fait, et ne montrent pas et même jamais, la part informelle, pourtant importante, conséquente, fondamentale et essentielle, de leurs travaux, et n'envoient ou ne postent ces derniers que quand ils estiment avec leurs pairs, qu'ils sont, parfaitement, au point :

Mais moi, je demandais de l'aide et je ne dispose pas de leurs moyens.

Comme dans de nombreux domaines, il y a encore un long chemin à parcourir, pour changer, faire évoluer et assainir les moeurs, les pratiques et les mentalités.

Cf. par exemple : L'ambivalence des mathématiciens face à l'image. Tension entre normes et usage

Entre ambition et humilité, il faut toujours cacher hypocritement nos ambitions, surtout si l'on dispose de peu de moyens.

Certes, j'ai un niveau moyen, en mathématiques, mais certains intervenants extrapolent des conclusions fausses, hâtives et non fondées, sur ce dernier, en se basant sur les discussions portant sur mes travaux de recherche mathématiques personnels, car, concernant ces derniers, j'ai et il y a tellement de choses à prendre en compte et en considération, de travail, de modifications, de rectifications et de versions successives et intermédiaires, à fournir, voire de retours en arrière, avant d'aboutir à une version finale potable exprimant toutes mes intuitions, parfois en les chamboulant en partie, qu'à chaque étape ou chaque stade, je ne peux avoir la présence d'esprit de penser, absolument, à tout, et qu'il reste, nécessairement, des zones d'ombre, des choses qui m'échappent ou qui m'ont échappées et des parties, des passages et des formules inaboutis, inachevés et imparfaits voire faux, régressifs ou en suspend ou n'ayant pas de sens ou tout leur sens, en l'état. Cf. (*).

Malgré tout ce qu'il pense de moi ou tout ce qu'il peut ou pourrait penser de moi, Emmanuel VIEILLARD-BARON finirait par recommander mes services de formalisation mathématique poussée, pour le meilleur (Cf. Mes productions scolaires, en mathématiques : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t80-Mes-productons-scolaires-en-math-matiques.htm) et, aussi, pour le pire (Cf. mes mauvaises prestations sur Les-mathematiques.net), parce qu' il sait, inconsciemment, au fond de lui-même, qu'à force et avec le temps, le pire peut finir par devenir et se transformer en le meilleur.


Suite à ce qui est dit dans les chapitres qui suivent :

(*) Décidément la généralisation du cardinal quantitatif à toutes les parties de , est loin d'être évidente, et on pourra, sans doute, me pardonner et m'excuser, à juste titre, des très nombreuses modifications auxquelles elle m'oblige, et qui ne sont pas acceptables ou tolérables et qui font désordre sur les forums et en particulier sur Les-mathematiques.net, mais qui sont néanmoins nécessaires :

Pour une telle généralisation, il me faut retourner ma langue bien plus de 1000 fois avant de parler.

Et ce n'est pas parce qu'on a dépensé beaucoup d'énergie pour rien ou pour peu, qu'il faut baisser les bras :

C'est même tout le contraire, qu'il faut faire.

Remarque : Je ne me mesure pas à un Gauss, un Euler ou un Poincaré, mais j'aspire à devenir, à tout le moins, un Cantor, concernant les mathématiques, la composition musicale et la philosophie de Tout, des sciences et de l'esprit.

Cantor était plus précoce, plus brillant que moi, pendant ses études (Je ne l'ai pas été.) et socialement plus favorisé que moi :

Mais, même si sa théorie n'est pas fausse en elle-même, il me semble que je peux défier et mettre à mal les fausses contre intuitions qu'il est parvenu à inculquer, à faire croire aux et à imposer dans les têtes et dans les esprits de nombreux matheux et mathématiciens, concernant les infinis, cf. tous les articles concernés sur internet.

Déjà, on sait les mettre à mal, avec les cardinaux quantitatifs des parties (infinies) connexes, convexes, compactes de , de classe par morceaux,

mais je pense qu'on peut aller plus loin, quitte à ce que le cardinal quantitatif, lorsqu'on le considère sur ou sur (sous réserve de compatibilité des axiomes de définition) comme une notion qui ne soit plus une notion universelle, mais relative au repère orthonormé de et du plafonnement sphérique à l'infini ou autre, que l'on s'est fixé, concernant, directement, cette classe de sous-ensembles non bornées de .


J'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre le cardinal quantitatif aux "seules" parties de , sauf peut-être pour définir la notion de "partition éligible ou admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif"

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Il est vrai que sur le forum Maths-Forum, j'ai eu l'avis de quelques membres compétents, en mathématiques (et non pas de nombreux membres compétents, en mathématiques, comme le dit Lostounet, dans la fin de la 2ème discussion principale sur le cardinal quantitatif), mais cela a été et est loin d'être suffisant, surtout si on tient compte des évolutions de mes documents PDF, sur le sujet).

Sur le forum Maths-Forum, j'avais été banni, sous un de mes 2 pseudos, il y a 1 an (message actuel du 29/08/2017), je ne suis plus intervenu dans mes 2 discussions principales sur le cardinal quantitatif, pendant 1 an.

Mais, ne pouvant plus actualiser les liens que j'avais donnés, je suis intervenu sous mon autre pseudo, j'ai posté 2 messages identiques, 1 dans chaque discussion, jusque-là, ni vu, ni connu.

Mais quelques jours plus tard, j'ai commis l'erreur de poster un nouveau message, au lieu d'inclure son contenu, dans l'un de mes messages existants et je me suis fait pincer par Lostounet, qui a un statut de membre légendaire et qui avait eu un statut d'administrateur, mais qui avait toujours des droits {cachés|dissimulés|invisibles} d'administrateur ou de modérateur.

De toute façon, hormis sur mon forum, où je suis maître de la situation, mais qui n'a pas de visibilité, sur les autres forums qui ont plus de visibilité, et quelques fois sur mes messageries, j'ai l'art de me mettre à dos, la plupart des intervenants ou des interlocuteurs, et en particulier, ceux qui sont les plus à même de me répondre et de m'aider.

J'aimerais bien que ces intervenants qui m'ont quitté, reviennent, ils seraient peut-être surpris.

J'en suis toujours à discuter de la partie encore informelle de ma théorie, sur les forums, et cela ne passe pas, car cela fait désordre et que ces derniers, à tort, ne considèrent pas cela, comme des mathématiques, bien que cela soit souvent une partie essentielle et fondamentale de l'activité ou de la recherche mathématique :

De toute façon, les tabous règnent, et il est très mal vu dans le monde mathématique, de s'avancer avec ou d'affirmer des résultats non rigoureusement établis ou non rigoureusement formalisés.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome : "Si on enlève un élément à un ensemble infini, alors son cardinal quantitatif devient strictement plus petit de 1", que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" :

C'est une conception légitime de la notion d'infini.

Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime.

Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.


Mon ensemble , même si sa formalisation n'est pas encore achevée, ne s'apparente t-il pas à l'ensemble , de l'analyse non standard, ou n'en est-il pas proche ?

J'espère qu'il s'en distingue de façon notable, mais, même si tel n'était pas le cas, je crois avoir préparé et débroussaillé, suffisamment, le terrain, pour qu'on puisse commencer à voir les et qu'on puisse commencer à s'engager dans les réelles difficultés mathématiques concernant ma théorie :

Pour le moment, je crois savoir comparer les cardinaux quantitatifs, au moins, des parties compactes, convexes, connexes de et de , et de classe par morceaux.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm


Je voudrais signaler l'existence d'un cardinal prolongeant la notion intuitive de quantité que nous en avons déjà dans le cas fini.

Cette notion bien qu'ayant des points communs avec l'équipotence, en est différente et l'affine.

La notion de cardinal au sens de la quantité, est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations et qui est belle et bien, et parfaitement, définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de (Cf. interventions de Michel Coste, mais qui y est très peu présente :

C'est la notion optimale de quantité ou de nombre d'éléments concernant une classe de parties bornées de , par contre, il reste à la généraliser, ce qui permettrait de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de parties appartenant à des classes de parties, de plus en plus larges :

Tout l'intérêt et tout l'enjeux de cette définition, est là.

Pouvez-vous me dire le cas échéant, les noms de ceux qui auraient déjà travaillé dessus ? : Les messages de Michel Coste, peuvent peut-être vous renseigner.

Voici cette notion présentée par Michel Coste qui lui préfère une autre appellation que celle de "cardinal" :


La saga du "cardinal" version 1

La saga du "cardinal" version 2

La saga du "cardinal" version 3

La saga du "cardinal" version 4


Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :


http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/berger1/

http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/berger2/


Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel Coste, il provient de Jean Dieudonné :

http://www.fichier-pdf.fr/2012/09/01/dieuquarto/


Je pense que les notions de quantité d'éléments et d'équipotence, doivent être distinguées :

Car on a bien et peut être mis en bijection avec .

Je crois que la notion de cardinal au sens de Cantor, a fait de l'ombre à la notion de cardinal au sens de la quantité, et d'une certaine façon, a usurpé sa place. De fait, on parle de cardinal au sens de la quantité, sous d'autres appellations, et on parle trompeusement de quantité, lorsqu'en fait on veut parler d'équipotence, de quoi semer la confusion dans les esprits, les induire en erreur, tromper et fausser leur jugement.

La notion de cardinal au sens de quantité, a ses limites, mais tant qu'on peut humainement travailler dessus, pourquoi ne pas le faire ?

Mais c'est bien avec les outils standards d'analyse, de topologie, de théorie des fonctions, et de théorie de la mesure et de l'intégration sur , puis , , etc, qu'on obtiendra des relations entre les cardinaux de parties appartenant à des classes de parties, plus larges.


La notion que je mentionne, existe, bel et bien, dans la littérature, mais de façon disparate et sous d'autres appellations :

Ces appellations masquent le sens originel de cardinal au sens de la quantité.

Je veux qu'on réhabilite cette notion, sous son vrai nom, et qu'on arrête de tromper et de fausser les esprits, en détournant leur regard sur le cardinal de Cantor et en leur faisant croire que a le même nombre d'éléments que , parce qu'on peut les mettre en bijection, et que l'infini est contre intuitif :

Le cardinal de Cantor donne une certaine idée, une certaine information ou un certain ordre de grandeur de la quantité, mais pas la quantité elle-même.

Si vous ne m'aidez pas à la réhabiliter : Qui va le faire ?

Mon projet est totalement légitime, et malgré le fait qu'il le soit, vous préférez d'une certaine façon, rester dans votre dogmatisme réglementaire, et entretenir et conforter les croyances fausses autour du cardinal de Cantor.

Je sais qu'il y a un travail à faire pour présenter cette notion clairement et exhaustivement, et je pense que les travaux sur cette notion, ne sont pas achevés et ne le seront jamais, mais qu'il y aura des progrès continus, pour l'éternité.

La notion de cardinal au sens de la quantité, présentée par Michel Coste, concerne les variétés ou du moins les parties compactes, convexes, connexes, de classe par morceaux.

Rappel : Une variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) de est dite ou est dit de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour un ), si son bord est de classe ou de régularité (par exemple de classe ou de régularité pour le même précédent).

Je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, de parties bornées quelconques de , ayant une décomposition en un nombre fini de variétés ouvertes, bornées, simplement connexes, voire connexes, de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), simplement connexes, voire connexes, de classe , et de dimension c-à-d en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons de , et je pense qu'on peut comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, de parties de , délimitées seulement par la courbe d'une fonction (par exemple brownienne), et qu'on peut aller plus loin (non  : par exemple par morceaux, sur un nombre fini de morceaux, ), après viendra, les parties de , délimitées par certains bords ou . NB : Le cas particulier des complémentaires de parties bornées, se déduit immédiatement du cas borné.

http://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/

Une des idées, est que le cardinal de l'épigraphe d'une fonction définie précédemment, bornée, est égal au cardinal de l'épigraphe de la droite dont la fonction correspondante est la fonction constante sur , de constante, la moyenne des valeurs sur tous les de , avec la mesure (le cardinal au sens de la quantité relatif au repère orthonormé ).

Je donne l'ébauche, sans cesse actualisée, du travail que j'ai fait : Je ne suis pas à l'abris d'erreurs ou de failles, mais dans tous les cas, je pense que des travaux de généralisation, sont possibles.

Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)")

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité, des parties bornées de , ayant une décomposition, en un nombre fini de variétés, ou bien ouvertes, bornées, simplement connexes, voire connexes, ou bien fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), simplement connexes, voire connexes, de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord), connexes, de classe , et de dimension c-à-d en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons de (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes) :

Mais, je pense, en fait, qu'il doit être possible de comparer, entre eux, ceux des parties bornées quelconques et même ceux de parties bornées quelconques de (resp. de ), ayant une décomposition dénombrable finie ou infinie, en variétés ouvertes, bornées ou non, simplement connexes, voire connexes, de classe , et de dimension allant de à , ainsi qu'en une quantité dénombrable finie ou infinie, en plus ou en moins, de variétés fermées, bornées (c-à-d compactes ou à bord) ou non, simplement connexes, voire connexes, de classe , et de dimension c-à-d en une quantité dénombrable finie ou infinie, en plus ou en moins, de singletons de (resp. de ).

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie, ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.


NB : Ne tenez pas compte de toutes mes interventions dans ma discussion avec Michel Coste, ou dans d'autres discussions connexes, sur les-mathematiques.net :

J'ai fait traîner en longueur, la définition et la construction d'objets mathématiques, que j'ai eu beaucoup de mal à exprimer, avec en plus des choses fausses ou erronées : Sur un sujet, plus classique, plus encadré et plus académique, une telle chose ne se serait pas produite.

Mes premières ébauches de tentatives de généralisation, sur les forums, sont bonnes à mettre à la poubelle : J'ai aujourd'hui une autre approche bien meilleure.

Désolé, pour le raffut que j'ai pu causer sur les-mathematiques.net, en particulier dans mes dernières discussions (16 novembre 2012), à cause d'un maintient obstiné d'une idée erronée et parasite qui trottait dans ma tête :

Comme, je l'ai dit, il y a un certain nombre de généralisations de cette notion, à faire, pour pouvoir comparer, entre eux, les cardinaux au sens de la quantité de parties appartenant à des classes de parties, de plus en plus larges.


Remarque préliminaire importante : Pour la définition de  : Cf. plus haut ou plus bas : En particulier, on trouvera la définition de et de


La notion de cardinal au sens de la quantité, prolonge la notion intuitive de quantité que nous avons déjà dans le cas fini (càd les parties finies de ), et est plus fine que la notion de cardinal au sens de l'équipotence et c'est une "mesure" qui ne néglige aucun point dans .

Les mesures de Lebesgues généralisée ou de Haussdorf de dimension , , dans ,

(Le cas étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Haussdorf"

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Haussdorf

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Haussdorf/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variéts plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées),

sont telles que si , elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension , , respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension et et des points d'espaces de dimension .

La "mesure" cardinal au sens de la quantité, qui ne veut négliger aucun point, se doit de composer avec toutes les "mesures" de Lebesgues généralisées ou de Haussdorf, de dimension , , dans , , ainsi que la mesure de comptage qui peut être considérée comme la "mesure" de Lebesgues généralisée ou la mesure de Haussdorf de dimension , .

Soit un repère orthonormé de , d'origine .

Soit .

Nous désignons le cardinal au sens de la quantité d'une partie ou d'une partie par et son cardinal au sens de l'équipotence par .

On a

et on a

alors que

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts, dont l'un est plus gros que l'autre, et où l'on peut stocker une donnée, en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique, aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale, à celle de l'autre disque (équipotence).

2) Dans une bouteille de , on stocke plus de matière continue, que dans une bouteille d'.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de cardinal, au sens de la quantité.

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète, ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange d'une matière continue et de matière discrète :

Le cardinal, au sens de la quantité, mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue, n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de quantité est plus fine que celle d'équipotence, qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

Il reste un certain nombre de généralisations, permettant de comparer les cardinaux au sens de la quantité, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de , , , etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" de Lebesgues généralisée ou de Haussdorf de dimension () sur , le fait que soit un espace vectoriel topologique (éventuellement normé), le fait que soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de cardinal, au sens de la quantité sur , qui ne néglige aucun point, aucune courbe, aucune surface, aucun espace de dimension , , aucun espace de dimension  :

Comment généraliser ces notions, ou trouver des notions affaiblies, qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui ne dépendent que des  ?


Définir une notion viable de cardinal quantitatif définie sur et sur est un défi, car cela revient ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement que Cantor, mais cela ne devrait pas tous nous décourager pour autant.

La notion de cardinal équipotentiel n'exclut pas celle de cardinal quantitatif, et vis versa, après, tout n'est question que de définition de ce qu'on entend par quantité d'éléments :

Si on entend par quantité d'éléments, le cardinal équipotentiel, alors le cardinal quantitatif n'est pas la quantité d'éléments et inversement, et je ne compte pas me faire piéger à ce jeu là.

Par ailleurs, Cf. Le cas d'inclusions strictes d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection :

La quantité d'éléments d'un ensemble strictement inclus dans un autre, ne peut être que strictement plus petite que celle de ce dernier, et, en particulier, si ces ensembles sont infinis et peuvent être mis en bijection.

Sinon, on peut, aussi, poser en axiome, le fait que si un ensemble est, strictement, inclus dans un autre, alors, nécessairement, sa quantité d'éléments est, strictement, plus petite que celle de l'autre.

Bien sûr, la notion de cardinal équipotentiel est parfaitement définie pour toutes les parties de , alors que celle de cardinal quantitatif est, au moins, définie sur la classe des sous-ensembles compacts, convexes, connexes de , de classe par morceaux, mais reste à définir, en dehors de cette classe :

Ce qui donne, pour le moment, l'avantage à la première.

Et peut-être même que la notion de cardinal quantitatif est définissable, en dehors de cette classe d'ensembles, mais pas humainement ou alors qu'on arrivera à la définir sur des classes de sous-ensembles de , de plus en plus larges, mais sans jamais parvenir à épuiser le sujet :

Dans le 1er cas, en dehors de cette classe d'ensembles, elle nous serait inaccessible, et nous continuerions d'utiliser la notion de cardinal équipotentiel, qui elle nous est accessible et ne serait pas la meilleure, et nous continuerions d'appeler, à tort, ordre de grandeur de la quantité, la quantité elle-même et de les confondre, à tort, alors que la notion de cardinal quantitatif serait la meilleure notion et la notion optimale de quantité d'éléments, bien qu'inaccessible, en dehors de cette classe d'ensembles, pour nous humains.

[ et sont des prolongements de  :

La notion de cardinal quantitatif, s'il est possible de la généraliser, est -additive concernant une classe de parties bornées de , mais ne l'est pas concernant les parties de , en général, j'ai donc pensé à introduire et , pour lesquelles des parties bornées de et en particulier , peuvent être des parties de diamètre fini, mais aussi des parties de diamètre infini, de et pour lesquelles la -additivité s'applique.]

(Pour la définition de , se reporter plus loin.)

Cela risque d'être terriblement compliqué de la généraliser et d'en donner des formules plus générales, mais cela en vaut vraiment la chandelle :

Jusqu'ici, on a su le faire, dans ZFC, pour les parties compactes, convexes, connexes, de et de classe par morceaux, invariantes par isométrie, où cette notion est, ici, une mesure.


[(*) L'axiome 2) de -additivité ou d'additivité dénombrable, qui est l'un des axiomes de définition d'une mesure, ne fonctionne que sur une classe de parties bornées de .

Donc dans le cas général, il faut affaiblir 2), en le remplaçant par l'axiome d'additivité finie.

De fait, le cardinal quantitatif qui est une mesure définie sur la classe de parties bornées de , précédente, ou plus, précisément, sur la classe des parties compactes, convexes, connexes, de , de classe par morceaux, n'est pas une mesure définie sur .

Pour compenser, je donne des axiomes concernant les intervalles non bornés de (ou les intervalles de , tels que , qui sont un cas particulier de parties bornées de  : En effet, concernant ces dernières, on peut avoir des intervalles bornés de tels que ).

(NB : Pour la définition de , se reporter plus loin.)

Peut-être que ça ne suffira pas pour traiter tous les cas.]

Pour que ma notion de cardinal puisse fonctionner, il faut se placer dans un cadre presque totalement neuf.

La notion de cardinal quantitatif sur est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.


Digression :


Je ne pense pas que sur le très long terme, nous puissions tous utiliser le même système (Ca n'est déjà plus le cas), et même si les mathématiques peuvent être indépendantes de notre réalité locale (sauf celle de notre esprit), je pense entre autre qu'en physique et en informatique, suivant la nature des réalités auxquelles nous serons confrontés, nous devrons plutôt utiliser tel système plutôt que tel autre :


Bref, je pense à l'éclatement et à l'explosion des systèmes logiques, et non à leur réunification artificielle, essentiellement ZFC, qui nous va si bien pour le moment.


Après tout, pourquoi vouloir l'unité des mathématiques : Tout dépend de l'utilité que nous voulons en faire : C'est probablement un vieux débat, comme celui entre les constructivistes Constructivisme (mathématiques) et les autres.

Il n'empêche qu'intuitivement, des êtres qui peuvent stocker d'un seul coup ou en un temps fini, tous les nombres entiers (resp. tous les nombres réels), dans leur mémoire, sont probablement, plus, en mesure, que nous, de se représenter, l'axiome du choix et de proposer des variantes ou des axiomes similaires ou analogues.

Construction et définition[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas de consulter : http://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm


Remarque importante préliminaire : Pour la définition de  : Cf. plus bas : En particulier, on trouvera la définition de


Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : Soient , deux repères orthonormés de , d'origines respectives

alors, si , on a :

et si et bornée, alors on a : .


Soit un repère orthonormé de .

On pose, pour simplifier, .


0) Soient , des ensembles finis, alors :


1) Soient , des ensembles infinis, alors :

mais


2) Voici les liens qui existent entre le cardinal équipotentiel (utilisant la notion de bijection) et le cardinal quantitatif :

Soient , des ensembles, alors :


Plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine d'un repère orthonormé direct de [modifier | modifier le wikicode]

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace muni d'un repère orthonormé direct , d'origine , admet un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, alors :

et

.


Mais,

et même

et

et même .


On peut avoir :

ou ou .


On peut avoir :

ou ou .

Définition d'une chaîne exhaustive de sous-ensembles de (resp.de ), pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble (resp. à l'ensemble ) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct de (resp. de )[modifier | modifier le wikicode]

Soit un repère orthonormé direct de (resp.de ),

on considère, que est une chaîne exhaustive de parties de (resp.de ), pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble (resp. à l'ensemble ) (c-à-d maximale), et contenant

c-à-d :

resp.

et

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.


En effet, dans ce cas, moyennant l'axiome de définition :


Comme resp. ,

on a et comme est totalement ordonnée pour ,


on obtient donc que est totalement ordonné pour .


Par ailleurs, on a .


Donc chaînes exhaustives de parties de , pour l'inclusion, allant de l'ensemble à l'ensemble de (resp. à l'ensemble ) (c-à-d maximale), et contenant ,



et

Définition du cardinal quantitatif[modifier | modifier le wikicode]

Definition[modifier | modifier le wikicode]

Remarque : Dans la suite, on peut remplacer , par .


Soit un repère orthonormé de , d'origine .


est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,


définie par une formule exprimant en fonction de et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART (GF), dans les PDF de Michel Coste et Proposition

ou dans Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de (26)").


elle doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur les cardinaux au sens de la quantité) :

avec les notations suivantes :

a)  vérifie (Conditions MC) ssi ,  partie connexe, convexe, compacte de  et de classe  par morceaux.
b)  vérifie (Conditions MC élargies) ssi ,  partie connexe, convexe, compacte de  et de classe  par morceaux.
c)  vérifie (Conditions MC+) ssi ,  bornée, ssi 
d)  vérifie (Conditions MC élargies +) ssi ,  bornée, ssi  ou 

Remarque (sous réserve) :

                          et , 
                          où, ici,  a une valeur plus précise que .

Attention, dans ma théorie (sous réserve) : et on a même ,

                            de même  et on a même .

En effet, il semble y avoir un petit problème à surmonter :


1)
 [a)  et vérifiant (Conditions MC ou MC+)}, ]
  b) 
  c) 


2) 
  a1)  vérifiant (Conditions MC),
      
      
      ou
       vérifiant (Conditions MC élargies)
      


      


Remarque :

vérifiant (Conditions MC élargies)



  a2) REMARQUE IMPORTANTE : OBSTACLE ET FACTEUR, POUR L'INSTANT, LIMITANT DE "MA THEORIE" :
   
 
     Dans le cas des parties bornées de  de la classe des parties convexes connexes compactes de  de classe  par morceaux, Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je me refuse à le croire, je crois qu'on peut construire , même si ce ne sera pas, forcément, une mesure au sens usuel, sur  ou sur 
     L'axiome 2) a1) de -additivité n'est pas valable pour une classe de parties bornées plus large de , donc à fortiori, aussi, pour une classe de parties bornées de  plus large que celle des parties convexes connexes compactes de  de classe  par morceaux.

(1) Remarque :
       Soit 
       a)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a 
       b)dans ma théorie, on peut avoir , et dans ce cas on a 
    Fin Remarque


 (2)Proposition :
       Soit , bornée dans .
       Si  et  et 

       alors 
       (sous réserve de conditions supplémentaires si on remplace  par , mais sans nécessairement considérer  bornée)
 Fin Proposition
3) 
  
   A)
     a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou  intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+)
  
        , pour toutes les isométries de  ou de , 


     En particulier :
 
        a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou  intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),  
  
            


        a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou  intervalle de , vérifiant (Conditions MC ou MC+),   

            
            ,

            


Si les axiomes donnés dans 3) A), ne suffisent pas, on considerera les axiomes donnés dans 3) B).


  B)  
  
     a) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+)  
  
        , pour toutes les isométries de  ou de , 
    

En particulier :

        a1) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+),
     
            

   
        a2) , vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou , vérifiant (Conditions MC ou MC+), 
   
            


  C) 


  D) 
 
 F)    
  
   a) 
      
      
    
      
   
            
    
      (Axiome en cours d'étude)


  b) 
      
      si       
    
     (Axiome en cours d'étude)  

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

4)
  
  ou
  


5) 
   , , 
   @Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine du repère orthonormé direct .@

En particulier, si et vérifient (Conditions MC ou MC+).


Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

   a) , (Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), 
      


   b) ,(Dans au moins le cadre des conditions MC ou MC+), 
      


Il découle de 5) que en particulier  : Soient des intervalles de

tels que

ou tels que ou non bornés dans

ou des intervalles de , pouvant vérifier, en particulier (Conditions MC ou MC+) :


et donc en particulier


Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel, qui ne néglige aucun point de et qui est uniforme ().

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

1)  est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de , d'une classe particulière".


2)  ne peut être une mesure, au sens usuel, sur , car elle ne vérifie pas la  - additivité, en général.


3)  ne vérifie pas la -additivité, en général, sur , car : '


       
     qui sont toutes 2 des réunions disjointes


     et donc si   était -additive,
     on aurait :
     
     
    et on aurait aussi
     
     


    Or  
    et donc  .
    Contradiction :
    Donc,   n'est pas  -additive,
    donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.


Il y a de fortes chances, qu'on doive donner des axiomes de normalisation et que dans le cadre de ma théorie, en cherchant à définir la notion de partition de acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.


Il y a peut-être quelques axiomes à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.


Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif)[modifier | modifier le wikicode]

Soient , non bornée, et , non bornée ou [mais on ne sait pas encore le définir] , non bornée à droite, telle que .

est une partition de , admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif.

est une partition de

et

et

telle que (strictement croissante, avec ),

soit telle que telles que , avec strictement croissante telle que et oscillante,

et soit telle que (c-à-d ),

et soit telle que ou ,

(condition, en particulier, vérifiée, si ou ),

en posant .


Remarque : Soient ou .


Remarque : On peut avoir à considérer le cas : , non bornée et , non bornée et admettant un minimum, et et bornée et et , (donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains