Leçons de niveau 13

Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones

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Fonctions continues strictement monotones
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Exercices no3
Leçon : Continuité et variations
Chapitre du cours : Fonctions continues strictement monotones

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorème des valeurs intermédiaires
Exo suiv. :Sommaire
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Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par .

  1. Vérifier que pour tout de , .
  2. Démontrer que l'équation admet une solution unique dans .
  3. Donner un encadrement de au centième.
  4. Dresser le tableau de signe de en justifiant.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit f une fonction définie et continue sur dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :

x
f(x)

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

1. Démontrer qu’il existe un réel tel que pour tout , on ait .

2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation admet une solution unique sur .

3. En déduire que l'équation admet une solution unique sur .

4. Question ouverte : toute ébauche de solution même non formalisée sera valorisée.

Démontrer que f ne s'annule pas sur .

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe telles que :
    est strictement croissante, et est nulle en et et strictement positive ailleurs.
  2. Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
  3. Si de plus est continue, montrer que et peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples .
  4. Soit une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe telles que :
    est strictement croissante, et est « oscillante au voisinage de  » (en un sens que vous devrez préciser),
    et que si de plus est continue, et peuvent être choisies de plus continues.