Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones

Exercice 3-1

Soit $u:\left[0,1\right]\to \mathbb {R}$ définie par $u(x)=1+(-2x+1)\operatorname {e} ^{2x}$.

1. Vérifier que pour tout $x$ de $\left[0,1\right]$, $u'(x)=-4x\operatorname {e} ^{2x}$.
2. Démontrer que l'équation $u(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\left[0,1\right]$.
3. Donner un encadrement de $\alpha$ au centième.
4. Dresser le tableau de signe de $u(x)$ en justifiant.

Solution

1. On utilise les formules des dérivées sur les sommes et les produits de fonctions. $u'(x)=-2\operatorname {e} ^{2x}+(-2x+1)2\operatorname {e} ^{2x}=(-2-4x+2)\operatorname {e} ^{2x}=-4x\operatorname {e} ^{2x}$.
2. D'après la question précédente, $u$ est strictement décroissante donc il existe au plus un tel $\alpha$. Pour montrer qu'il en existe un, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires : $u(0)=2>0$ et $u(1)=1-\operatorname {e} ^{2}<0$ et la fonction $u$ est continue (puisqu'elle est même dérivable).
3. $0{,}63<\alpha <0{,}64$.
4. D'après les questions 1 et 2, $u(x)>0\Leftrightarrow x<\alpha$. Le tableau de signe de $u(x)$ est donc : ${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&\alpha &&1\\\hline u(x)&&+&0&-&&\\\hline \hline \end{array}}$

 

Exercice 3-2

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\left[0,+\infty \right[$ dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :

x	$0$ $+\infty$
f(x)	$2$ $\searrow$ $0$

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

1. Démontrer qu’il existe un réel $x_{1}\geq 0$ tel que pour tout $x\geq x_{1}$, on ait $f(x)<{\frac {1}{n}}$.

2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation $f(x)={\frac {1}{n}}$ admet une solution unique sur $\left[0,x_{1}\right]$.

3. En déduire que l'équation $f(x)={\frac {1}{n}}$ admet une solution unique sur $\left[0,+\infty \right[$.

4. Démontrer que $f$ ne s'annule pas sur $\left[0,+\infty \right[$.

Solution

1. $\lim _{+\infty }f<{\frac {1}{n}}$.
2. $f$ est strictement monotone (donc injective) et continue + $f(0)>{\frac {1}{n}}>f(x_{1})$ + théorème des valeurs intermédiaires.
3. Conséquence immédiate de la question précédente et de l'injectivité de $f$.
4. Si $f(a)=0$ alors (puisque $\forall x\geq a+1\quad f(x)\leq f(a+1)$) $\lim _{+\infty }f\leq f(a+1)<0$ : contradiction.