Leçons de niveau 13

Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

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Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)
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Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On considère des fonctions de la forme :

est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle . Par exemple, la fonction définie par :

pour tout

est la fonction composée :

  • de la fonction affine définie par pour tout  ;
  • et de la fonction logarithme népérien.

Or, la fonction n'est définie que sur . Pour que soit définie en , il faut et il suffit que , c'est-à-dire .

Le domaine de définition de est alors .

Pour calculer , on utilise la formule

pour tout

d'où l’expression de la dérivée de  :

pour tout .

Ici,  ; on généralise ce procédé au cas où n’est pas forcément affine :

Début d’un théorème
Fin du théorème


La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est donc définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :


Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Sans se préoccuper du domaine , dériver les fonctions suivantes :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Début d’un principe
Fin du principe