Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3

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Courbes et surfaces dans R3
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Exercices no8
Leçon : Calcul différentiel

Exercices de niveau 15.

Exo préc. : Courbes paramétrées
Exo suiv. :Continuité et différentiabilité de fonctions de ℝp dans ℝq
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer l'équation du plan tangent au cône à base elliptique d'équation , en un point arbitraire de .

  1. Déterminer les points de la surface d'équation dont le plan tangent contient la droite d'équations .
  2. En tout point tel que , déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Pour , soit .

  1. Déterminer les réels pour lesquels est une sous-variété de . Dessiner en fonction de .
  2. Pour , soit . Soit , exprimer à l'aide de .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de  :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. ().

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On considère la sphère unité de et un cylindre , d'axe vertical et de rayon . L'intersection de et définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que l'équation définit une surface . Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
  2. Montrer que le système d'équations définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer la droite tangente à cette courbe à l'origine.
  3. Montrer que le système d'équations définit une courbe lisse de et déterminer la droite tangente à en .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

On appelle groupe orthogonal l'ensemble .

Le but est de montrer que est une sous-variété de .

Soit l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre et définie par .

  1. Montrer que .
  2. Soit , et . Montrer que . En déduire que est une sous-variété de de dimension , dont l'espace tangent en est .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que l'ensemble est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
  2. Déterminer l'équation du plan tangent à en un point .

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Trouver l'équation cartésienne et paramétrique du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point donné :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

  1. Sur le paraboloïde elliptique , trouver les points où le plan tangent est parallèle au plan .
  2. Même question avec le plan .

Soit la surface paramétrée par , pour .

Trouver l'ensemble des points de où le plan tangent est vertical.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Cubique unicursale.pdf

On pose .

  1. Calculer le gradient et la différentielle de la fonction .
  2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation , aux points , et .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Soit la surface d'équation .

  1. Déterminer le plan tangent à à l'origine, et la position de la surface par rapport à ce plan.
  2. Mêmes questions au point .