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Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées

Leçons de niveau 15
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Courbes paramétrées
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Exercices no7
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Sous-variétés de ℝn

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Examen
Exo suiv. :Courbes et surfaces dans ℝ3
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Courbes paramétrées
Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soit un réel .

  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée .
  2. Pour , on note et les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point avec, respectivement, et . Calculer la distance .

Soit un réel .

  1. Un cercle , de rayon , roule sans glisser sur l'axe . On note le point de contact entre et et le centre du cercle ( et sont donc mobiles). est un point donné de (mobile, mais solidaire de ). Déterminer un paramétrage par de la courbe décrite par le point .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée .

1. On considère

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Wikipédia possède un article à propos de « Courbes de Lissajous ».
.

Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :

.

2. Étudier et tracer la courbe paramétrée

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Wikipédia possède un article à propos de « Lemniscate de Bernoulli ».
.

En donner une équation cartésienne.

Construire les courbes paramétrées :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10. .

Soit un réel .

  1. Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon et centrés sur .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée .
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Wikipédia possède un article à propos de « Rayon de courbure ».
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Wikipédia possède un article à propos de « Développante ».
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Wikipédia possède un article à propos de « Développée ».

En un point d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
et le centre de courbure est le point qui est à distance de ,

tel que la droite est normale à la tangente , et placé dans l'intérieur de la courbe.

La développée est l'ensemble des centres de courbure.

  1. Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
    1. l'astroïde  ;
    2. la cycloïde  ;
    3. la lemniscate .
  2. Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
  3. Déterminer la développée de l'ellipse d'équation , dont la paramétrisation naturelle est donnée par
    .

1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée .

2. La normale en un point M de la parabole recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer.

L'orthoptique d'une courbe est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à , orthogonales. Soient . Déterminer l'orthoptique de :

  1. l'astroïde  ;
  2. la courbe  ;
  3. l'ellipse d'équation . (Indication : étant donné un point , chercher la condition sur pour que la droite passant par et de coefficient directeur soit tangente à l'ellipse.)

« Orthoptique », sur mathcurve.com

Soit le cercle de centre et de rayon .

  1. Donner un paramétrage de la développante de passant par le point .
  2. Soit la translatée de par le vecteur . Justifier que :
    • et sont tangentes ;
    • le point de tangence appartient à l'axe vertical d'équation .
    • la tangente est horizontale.
  3. Soit la courbe symétrique de par rapport à . Justifier que et sont tangentes.
  4. Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?

Soit un réel . On note :

  • l'intersection de et de la tangente en  ;
  • le projeté orthogonal de sur .
  1. Trouver les courbes telles que  ;
  2. Trouver les courbes telles que .

Tracer la courbe d'équation polaire .

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Wikipédia possède un article à propos de « Spirale logarithmique ».

Soit une spirale logarithmique, c'est-à-dire une courbe d'équation polaire ().

  1. Soit . Que dire de l'angle entre et la tangente à en  ? Montrer que cette propriété caractérise les spirales logarithmiques.
  2. Calculer l'abscisse curviligne le long de .
  3. En déduire qu'on peut former un engrenage avec deux spirales logarithmiques isométriques.
  4. Si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, quelle est la trajectoire du centre ?
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Wikipédia possède un article à propos de « Repère de Frenet ».

On considère un point mobile de vitesse et d'accélération non colinéaires. On note , et l'abscisse curviligne ().

  1. Exprimer comme combinaison linéaire de et .
  2. En déduire que , et démontrer que .
  3. En déduire qu'il existe un vecteur unitaire et un réel (rayon de courbure) tels que .
  4. Exprimer comme combinaison linéaire de et .
  5. On pose (produit vectoriel). Démontrer que est une base orthonormée directe.
  1. Représenter graphiquement la parabole .
  2. Calculer l'équation cartésienne et l'équation paramétrique de la tangente à au point .
  1. En quels points la courbe d'équation a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des ou celui des  ?
  2. À partir de ces informations, dessiner l'allure de la courbe.

Dans les quatre cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe :

  •  ;
  • (lemniscate de Bernoulli) ;
  • (folium de Descartes) ;
  • .

Étude locale.

  1. Déterminez la nature, au point correspondant à la valeur du paramètre, des courbes paramétrées suivantes :
    1.  ;
    2.  ;
    3.  ;
    4. .
  2. Déterminez les points d'inflexion de la courbe .

On souhaite tracer la courbe paramétrée par

.
  1. Calculer et établir le double tableau de variations sur .
  2. Étude locale au voisinage du point de paramètre  : préciser un vecteur dirigeant la tangente en ce point, et le comportement local (point d'inflexion ? rebroussement de première espèce ? de deuxième espèce ?).
  3. Étude de la branche infinie quand  : déterminer une droite asymptote.
  4. Étude de la branche infinie quand  : déterminer une droite asymptote et étudier la position de la courbe par rapport à cette droite (au-dessus ou en dessous ?).
  5. Tracer la courbe.

On considère la courbe paramétrée plane déterminée par

.
  1. Déterminer une valeur de correspondant à un point singulier.
  2. Calculer, pour tout réel , le déterminant .
  3. Calculer et . En déduire qu'il existe un point d'inflexion dans .

Liens externes

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Wikipédia possède un article à propos de « WIMS ».