Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes linéaires

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Définition

Une suite numérique $(u_{n})$ est dite récurrente linéaire d'ordre p s'il existe des constantes $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{p-1}$ telles que

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+p}=a_{p-1}u_{n+p-1}+a_{p-2}u_{n+p-2}+\dots +a_{1}u_{n+1}+a_{0}u_{n}$

et $a_{0}\neq 0$.

Le polynôme caractéristique P associé à une telle relation de récurrence est défini par :

$P(X)=X^{p}-\sum _{i=0}^{p-1}a_{i}X^{i}=X^{p}-a_{p-1}X^{p-1}-a_{p-2}X^{p-2}-\dots -a_{1}X-a_{0}$.

Dans toute la suite, les constantes $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{p-1}$ sont supposés fixées.

De même que dans les cas p = 1 et p = 2, les suites vérifiant la relation de récurrence forment clairement un sous-espace vectoriel ${\mathcal {S}}_{0}$ de l'espace des suites numériques, et $\dim({\mathcal {S}}_{0})=p$, puisqu'une telle suite est entièrement déterminée par ses p premières valeurs, que l'on peut choisir arbitrairement.

On vérifie facilement qu'une suite géométrique non nulle de raison $r$ appartient à ${\mathcal {S}}_{0}$ si et seulement si $P(r)=0$.

Le polynôme caractéristique étant de degré p, il a p racines complexes. Si ces p racines $r_{1},\dots ,r_{p}$ sont distinctes, les p suites $(r_{1}^{n}),\dots ,(r_{p}^{n})$ forment donc une base de ${\mathcal {S}}_{0}$.