Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques

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Suites arithmético-géométriques
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Chapitre no 6
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Relations de comparaison
Chap. suiv. :Récurrence affine d'ordre 2
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Définition[modifier | modifier le wikicode]


De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » en fonction de (et bien sûr, de , et ).

C'est l’objet de ce chapitre.

Étude de cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :

  • si , il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 :  ;
  • si , il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison , donc  ;
  • si , on a une suite géométrique, donc .

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

Les premiers termes de la suite[modifier | modifier le wikicode]

Il semblerait bien que

.

Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :

  • si , notre formule devient (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si , avec la convention usuelle 00 = 1) ;
  • si , elle équivaut, pour tout , à :  ;
  • si , elle donne :
     ;
  • si , elle donne bien .

Est-ce bon dans le cas général ?

Le cas général[modifier | modifier le wikicode]

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres et .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Si , la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :

.

Par conséquent :


L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.