Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques

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Définition

Définition

On appelle suite arithmético-géométrique toute suite $(u_{n})$ vérifiant une relation de la forme :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$,

où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » $u_{n}$ en fonction de $n$ (et bien sûr, de $a$, $b$ et $u_{0}$).

C'est l’objet de ce chapitre.

Étude de cas particuliers

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :

• si $a=0$, il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 : $u_{n}=b$ ;
• si $a=1$, il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison $b$, donc $u_{n}=u_{0}+nb$ ;
• si $b=0$, on a une suite géométrique, donc $u_{n}=u_{0}a^{n}$.

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

Les premiers termes de la suite

${\begin{aligned}u_{1}&=au_{0}+b\\u_{2}&=au_{1}+b\\\ &=a\left(au_{0}+b\right)+b\\\ &=a^{2}u_{0}+ab+b\\u_{3}&=au_{2}+b\\\ &=a\left(a^{2}u_{0}+ab+b\right)+b\\\ &=a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\\u_{4}&=au_{3}+b\\\ &=a\left(a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\right)+b\\\ &=a^{4}u_{0}+a^{3}b+a^{2}b+ab+b\\\dots \end{aligned}}$

Il semblerait bien que

$u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\ldots +ab+b$.

Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :

• si $n=0$, notre formule devient $u_{0}=a^{n}u_{0}+0$ (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si $a=0$, avec la convention usuelle 0⁰ = 1) ;
• si $a=0$, elle équivaut, pour tout $n>0$, à : $u_{n}=b$ ;
• si $a=1$, elle donne :

  $u_{n}=1^{n}u_{0}+1^{n-1}b+\ldots +1b+b=u_{0}+b+\ldots +b=u_{0}+nb$ ;

• si $b=0$, elle donne bien $u_{n}=a^{n}u_{0}$.

Est-ce bon dans le cas général ?

Le cas général

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

$u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\dots +ab+b=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres $a$ et $b$.

Début d’un théorème

Théorème

Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés. Une suite $(u_{n})$ vérifie

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$

si et seulement si

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$.

Fin du théorème

'Démonstration'

Posons $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ (donc $u_{n}=u_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}v_{i}$).

La suite $(u_{n})$ vérifie

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$

si et seulement si

$u_{1}=au_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad \left(u_{n+1}=au_{n}+b\Rightarrow u_{n+2}=au_{n+1}+b\right)$,

c'est-à-dire si

$v_{0}=(a-1)u_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+2}-au_{n+1}=u_{n+1}-au_{n}$,

ce qui se réécrit :

$v_{0}=(a-1)u_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}=av_{n}$,

ou encore (cf. Suites géométriques) :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=a^{n}\left[(a-1)u_{0}+b\right]$.

D'après les équations qui relient $(u_{n})$ et $(v_{n})$, cette propriété équivaut à

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\left[(a-1)u_{0}+b\right]$,

c'est-à-dire, en remarquant que $(a-1)\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}=a^{n}-1$, à

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$.

 

Si $a\neq 1$, la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$.

Par conséquent :

Corollaire

Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés, avec $a\neq 1$. Les suites $(u_{n})$ vérifiant

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$

sont les suites de la forme :

$u_{n}=a^{n}u_{0}+b\,{\frac {1-a^{n}}{1-a}}=a^{n}(u_{0}-r)+r$, avec $r={\frac {b}{1-a}}$.

L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.