Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques
Définition
[modifier | modifier le wikicode]On appelle suite arithmético-géométrique toute suite vérifiant une relation de la forme :
- ,
où et sont deux nombres fixés.
De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » en fonction de (et bien sûr, de , et ).
C'est l’objet de ce chapitre.
Étude de cas particuliers
[modifier | modifier le wikicode]Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :
- si , il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 : ;
- si , il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison , donc ;
- si , on a une suite géométrique, donc .
L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.
Les premiers termes de la suite
[modifier | modifier le wikicode]Il semblerait bien que
- .
Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :
- si , notre formule devient (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si , avec la convention usuelle 00 = 1) ;
- si , elle équivaut, pour tout , à : ;
- si , elle donne :
- ;
- si , elle donne bien .
Est-ce bon dans le cas général ?
Le cas général
[modifier | modifier le wikicode]Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :
et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres et .
Posons (donc ).
La suite vérifie
si et seulement si
- et ,
c'est-à-dire si
- et ,
ce qui se réécrit :
- et ,
ou encore (cf. Suites géométriques) :
- .
D'après les équations qui relient et , cette propriété équivaut à
- ,
c'est-à-dire, en remarquant que , à
- .
Si , la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :
- .
Par conséquent :
Soient et deux nombres fixés, avec . Les suites vérifiant
sont les suites de la forme :
- , avec .
L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.