Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Exercice 1

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite telle que :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{4}}a_{n}+{\frac {1}{2}}a_{n-1}+1=0$.

1. Exprimer $a_{n}$ en fonction de n et $a_{0}$.
2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Solution

1. La relation de récurrence peut également s'écrire

$\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n+1}=-2a_{n}-4$.

Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme

$a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta$ avec $\alpha =-2\neq 1$ et $\beta =-4$

L'expression explicite de $\left(a_{n}\right)$ est alors :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=\alpha ^{n}(a_{0}-r)+r$ avec $r={\frac {\beta }{1-\alpha }}=-{\frac {4}{3}}$,

c'est-à-dire :

$a_{n}=(-2)^{n}\left(a_{0}+{\frac {4}{3}}\right)-{\frac {4}{3}}$.

2. La convergence de $\left(a_{n}\right)$ dépend alors de la valeur de $a_{0}$ :

• Si $a_{0}=-{\frac {4}{3}}$, la suite stationne à $-{\frac {4}{3}}$, donc elle converge vers $-{\frac {4}{3}}$.
• Si $a_{0}\neq -{\frac {4}{3}}$, la suite n'a pas de limite.

 

Exercice 2

1. Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0}=u_{1}=1,\quad 5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_{n}=3$.
   Exprimer $u_{n}$ en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
2. Soit $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{0}=1,v_{1}=-1,\quad {\frac {1}{2}}v_{n+1}-v_{n}={\frac {2}{3}}\left(v_{n+2}-5\right)$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.

Solution de la question 1

• On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : $5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_{n}=0$.
• Le polynôme caractéristique associé est $P(X)=5X^{2}-4X-1$.
• Le discriminant de P vaut $\Delta =16-4~(-1)~5=36$ donc P admet deux racines réelles $r_{1}=1$ et $r_{2}=-{\frac {1}{5}}$.
• L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites $(t_{n})$ de la forme $t_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
  • On a P(1) = 0. On étudie donc $P'(X)=10X-4$
  • $P'(1)\neq 0$ donc la suite $\left({\frac {n}{2}}\right)$ est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
• L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites $(s_{n})$ de la forme $s_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de u_n en trouvant $\alpha$ et $\beta$ :

  ${\begin{cases}1=u_{0}=\alpha +\beta \\1=u_{1}=\alpha -{\frac {\beta }{5}}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\alpha +\beta =1\\\alpha -{\frac {\beta }{5}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}\Leftrightarrow (\alpha ,\beta )=\left({\frac {7}{12}},{\frac {5}{12}}\right)$.

Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}={\frac {7}{12}}+{\frac {5}{12}}\left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq {\frac {7}{12}}-{\frac {5}{12}}{\frac {1}{5}}+{\frac {n}{2}}$ donc $u_{n}\to +\infty$.

 

Solution de la question 2

• On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : $4t_{n+2}-3t_{n+1}+6t_{n}=0$.
• Le polynôme caractéristique associé est $P(X)=4X^{2}-3X+6$.
• Le discriminant de P vaut $\Delta =9-4.4.6=-87$ donc P admet deux racines complexes conjuguées $r_{1}={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {87}}}{8}}$ et $r_{2}={\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {87}}}{8}}$, de même module $\rho ={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ et d'arguments respectifs $\theta =\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}$ et $-\theta$.
• L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites $(t_{n})$ de la forme $t_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$, avec $(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
  • On a P(1) ≠ 0 donc la suite constante $\left({\frac {20}{7}}\right)$ est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
• L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites $(s_{n})$ de la forme $s_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))+{\frac {20}{7}}$, avec $(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de v_n en trouvant A et B :

  ${\begin{cases}1=v_{0}=A+{\frac {20}{7}}\\-1=v_{1}=\rho (A\cos \theta +B\sin \theta )+{\frac {20}{7}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}A=-{\frac {13}{7}}\\-{\frac {27}{7}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\left(-{\frac {13}{7}}{\frac {\sqrt {6}}{8}}+B{\frac {\sqrt {58}}{8}}\right)\end{cases}}\Leftrightarrow (A,B)=\left(-{\frac {13}{7}},-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\right)$.

Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=\left({\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)^{n}\left(-{\frac {13}{7}}\cos \left(n\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\sin \left(n\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)+{\frac {20}{7}}$.

 

Exercice 3

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

Définition de l'automate

Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.

Les règles sont :

• $(0,0)\mapsto 1$ ;
• $(1,0)\mapsto 0$ ;
• $(0,1)\mapsto 0$.

L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

Questions

1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ?
2. Déterminer les solutions réelles de l'équation linéaire associée.
3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la suite, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.

Solution

1. On cherche $a,b,c$ tels que $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$, ce qui impose ${\begin{cases}1=a0+b0+c\\0=a0+b1+c\\0=a1+b0+c.\end{cases}}$ L'unique solution est $(a,b,c)=(-1,-1,1)$.
2. Les solutions réelles de l'équation linéaire associée $v_{n+2}=-v_{n+1}-v_{n}$ sont $v_{n}=\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$ avec $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
3. $u_{n}={\frac {1}{3}}+\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$, de période 3.
   Par ailleurs, si deux termes consécutifs valent 1 alors le suivant vaut $a+b+c=-1$, ce qui est exclu par hypothèse.

 

Oublions les règles

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

1. Le cas « 11 » n'est plus exclu : montrer que la solution est toujours périodique ;
2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?

Solution

1. La solution est toujours $u_{n}={\frac {1}{3}}+\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$, de période 3.
2. Les solutions complexes de l'équation linéaire associée $v_{n+2}=-v_{n+1}-v_{n}$ sont $v_{n}=\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$ avec $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$. Elles sont donc bornées.