Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

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Exercice de cours
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Exercices no2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Récurrence affine d'ordre 2

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suites arithmético-géométriques
Exo suiv. :Récurrence linéaire d'ordre 2
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2
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Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite telle que :

.
  1. Exprimer en fonction de n et .
  2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit la suite définie par : .
    Exprimer en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
  2. Soit la suite définie par : . Exprimer en fonction de n.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Automate cellulaire ».

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

Définition de l'automate[modifier | modifier le wikicode]

Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.

Les règles sont :

  •  ;
  •  ;
  • .

L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

Questions[modifier | modifier le wikicode]

1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
2. Montrer que l'équation linéaire associée n'admet pas de solutions réelles ;
3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.

Oublions les règles[modifier | modifier le wikicode]

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

1. Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?

On change les règles de l'automate (x représente n’importe quel nombre, ce n’est pas une quantité fixe) :

  •  ;
  • si  ;
  • si .

Dans ce cas :

1. Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
2. Quelle est l'évolution d'une suite décrite par cette équation ?