Leçons de niveau 14

Application linéaire/Exercices/Noyau et image

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Noyau et image
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Exercices no2
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. : Application directe
Exo suiv. : Projecteurs, symétries
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Application linéaire/Exercices/Noyau et image
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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Vérifier que si et seulement si .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que , et .

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

  1. Vérifier que et .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit . En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

  1. la suite des noyaux des itérés de est croissante et celle des images est décroissante :  ;
  2. s'il existe au moins un tel que alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
  3. s'il existe au moins un tel que alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
  4. si les deux suites stationnent alors et  ;
  5. si est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier est au plus égal à .