Leçons de niveau 14

Application linéaire/Exercices/Noyau et image

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Noyau et image
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Exercices no2
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Application directe
Exo suiv. :Projecteurs, symétries
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Application linéaire/Exercices/Noyau et image
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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Vérifier que si et seulement si .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que , et .

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

  1. Vérifier que et .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit . En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

  1. la suite des noyaux des itérés de est croissante et celle des images est décroissante :  ;
  2. s'il existe au moins un tel que alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
  3. s'il existe au moins un tel que alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang , puis constante à partir de ce rang ;
  4. si les deux suites stationnent alors et  ;
  5. si est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier est au plus égal à  ;
  6. si est de dimension infinie alors les deux sous-espaces et ne sont plus nécessairement supplémentaires.

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit

.

On note et les endomorphismes de de matrices respectives et dans la base canonique.

  1. Montrer que et calculer une base de .
  2. Montrer que est engendré par le vecteur .
  3. Montrer que .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application

.
  1. Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique.
  2. Calculer son noyau et en déduire son rang.
  3. Est-elle injective ? surjective ?

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Donner une base du noyau de chacune des applications linéaires suivantes.

  1. , , .
  2. , , .
  3. , , , .

Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires suivantes.

  1. , , .
  2. , , .
  3. , , .

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Calculer le déterminant de .
  2. Déterminer les valeurs du réel pour lesquelles la matrice est inversible.
    On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est , et l'on pose .
  3. Pour quelles valeurs de l'application est-elle bijective ?
  4. Déterminer l'image et le noyau de . Déterminer .
  5. Montrer que .

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer que l'application est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
    .
  2. Déterminer la dimension de .
  3. Montrer que . Sans calcul, donner une autre matrice de , non proportionnelle à .
  4. Montrer que ces deux matrices engendrent .

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'application linéaire définie par , pour tout triplet .

  1. Écrire la matrice de dans la base canonique de .
  2. Calculer le noyau de . Donner une base de ce s.e.v.
  3. Calculer l'image de . Donner une base de ce s.e.v.
  4. L'application est-elle injective ? surjective ?