Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trigonométrie : Relations trigonométriques Trigonométrie/Relations trigonométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus , sinus et tangente entre elles.
La tangente comme quotient
On a pour toute mesure d'angle
x
{\displaystyle x}
différente de
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
et de
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
.
donc
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan x}
, puisque
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}
et
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=\cos x}
.
Démonstration
On a vu que
cos
A
^
=
A
B
A
C
sin
A
^
=
B
C
A
C
tan
A
^
=
B
C
A
B
.
{\displaystyle \cos {\widehat {A}}={\frac {AB}{AC}}\qquad \sin {\widehat {A}}={\frac {BC}{AC}}\qquad \tan {\widehat {A}}={\frac {BC}{AB}}.}
Ainsi
tan
A
^
=
B
C
A
B
=
B
C
A
C
A
B
A
C
=
sin
A
^
cos
A
^
{\displaystyle \tan {\widehat {A}}={\frac {BC}{AB}}={\frac {\frac {BC}{AC}}{\frac {AB}{AC}}}={\frac {\sin {\widehat {A}}}{\cos {\widehat {A}}}}}
donc pour tout angle
x
{\displaystyle x}
différent de
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
et de
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
(car
cos
x
≠
0
{\displaystyle \cos x\neq 0}
), on a :
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}}
.
Il manque les angles obtus.
Début de l'exemple
Exemple
Sachant que
cos
x
=
0
,
5
{\displaystyle \cos x=0,5}
et
sin
x
≈
0,866
{\displaystyle \sin x\approx 0{,}866}
, calculer une valeur approchée de
tan
x
{\displaystyle \tan x}
.
Solution
tan
x
=
sin
x
cos
x
≈
0,866
0
,
5
≈
1,732
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\approx {\frac {0{,}866}{0{,}5}}\approx 1{,}732}
.
Fin de l'exemple
On a pour tout réel
x
{\displaystyle x}
:
cos
2
x
+
sin
2
x
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}
.
Démonstration
Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique, montrant le lien entre cosinus et sinus.
On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que
« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :
A
D
2
+
C
D
2
=
A
C
2
{\displaystyle AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}}
.
Or ici :
A
C
=
1
{\displaystyle AC=1}
;
A
D
=
cos
C
A
D
^
{\displaystyle AD=\cos {\widehat {CAD}}}
;
C
D
=
sin
C
A
D
^
{\displaystyle CD=\sin {\widehat {CAD}}}
.
Ainsi,
cos
2
C
A
D
^
+
sin
2
C
A
D
^
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}{\widehat {CAD}}+\sin ^{2}{\widehat {CAD}}=1}
.
Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus
Sachant que
cos
x
=
0
,
5
{\displaystyle \cos x=0{,}5}
, calculer une valeur exacte de
sin
x
{\displaystyle \sin x}
.
Solution
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
=
1
−
(
1
2
)
2
=
1
−
1
4
=
3
4
{\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}}
donc :
sin
x
=
3
4
=
3
2
{\displaystyle \sin x={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
ou
sin
x
=
−
3
4
=
−
3
2
{\displaystyle \sin x=-{\sqrt {\frac {3}{4}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
.
N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.
Propriétés des arcs associés
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
cos
(
−
a
)
=
cos
a
sin
(
−
a
)
=
−
sin
a
tan
(
−
a
)
=
−
tan
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(-a)&=\cos a\\\sin(-a)&=-\sin a\\\tan(-a)&=-\tan a\end{aligned}}}
cos
(
π
−
a
)
=
−
cos
a
sin
(
π
−
a
)
=
sin
a
tan
(
π
−
a
)
=
−
tan
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\pi -a)&=-\cos a\\\sin(\pi -a)&=\sin a\\\tan(\pi -a)&=-\tan a\end{aligned}}}
cos
(
π
2
−
a
)
=
sin
a
sin
(
π
2
−
a
)
=
cos
a
tan
(
π
2
−
a
)
=
1
tan
a
=
cot
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\sin a\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\cos a\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&={\frac {1}{\tan a}}=\cot a\end{aligned}}}
cos
(
π
+
a
)
=
−
cos
a
sin
(
π
+
a
)
=
−
sin
a
tan
(
π
+
a
)
=
tan
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\pi +a)&=-\cos a\\\sin(\pi +a)&=-\sin a\\\tan(\pi +a)&=\tan a\end{aligned}}}
cos
(
π
2
+
a
)
=
−
sin
a
sin
(
π
2
+
a
)
=
cos
a
tan
(
π
2
+
a
)
=
−
1
tan
a
=
−
cot
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-\sin a\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=\cos a\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-{\frac {1}{\tan a}}=-\cot a\end{aligned}}}
Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.
Soient
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
deux réels.
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
tan
(
a
+
b
)
=
tan
a
+
tan
b
1
−
tan
a
tan
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\tan(a+b)&={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\end{aligned}}}
(On en déduit des formules analogues en remplaçant
b
{\displaystyle b}
par
−
b
{\displaystyle -b}
, grâce aux formules de la première section ci-dessus .)
cos
2
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
=
2
cos
2
a
−
1
=
1
−
2
sin
2
a
=
1
−
tan
2
a
1
+
tan
2
a
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
tan
2
a
=
2
tan
a
1
−
tan
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2a&=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\\&=2\cos ^{2}a-1\\&=1-2\sin ^{2}a\\&={\frac {1-\tan ^{2}a}{1+\tan ^{2}a}}\\\sin 2a&=2\sin a\cos a\\\tan 2a&={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\end{aligned}}}
cos
2
a
=
1
+
cos
2
a
2
sin
2
a
=
1
−
cos
2
a
2
tan
2
a
=
1
−
cos
2
a
1
+
cos
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}a&={\frac {1+\cos 2a}{2}}\\\sin ^{2}a&={\frac {1-\cos 2a}{2}}\\\tan ^{2}a&={\frac {1-\cos 2a}{1+\cos 2a}}\\\end{aligned}}}
cos
a
cos
b
=
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
2
sin
a
sin
b
=
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
2
sin
a
cos
b
=
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
2
cos
a
sin
b
=
sin
(
a
+
b
)
−
sin
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos a\cos b&={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\\\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}
cos
a
+
cos
b
=
2
cos
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
cos
a
−
cos
b
=
−
2
sin
a
+
b
2
sin
a
−
b
2
sin
a
+
sin
b
=
2
sin
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
sin
a
−
sin
b
=
2
sin
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
tan
a
+
tan
b
=
sin
(
a
+
b
)
cos
a
cos
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos a+\cos b&=2\cos {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\\\cos a-\cos b&=-2\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}\\\sin a+\sin b&=2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}\\\sin a-\sin b&=2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}\\\tan a+\tan b&={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}\\\end{aligned}}}
(On en déduit des formules analogues en remplaçant
b
{\displaystyle b}
par
−
b
{\displaystyle -b}
, grâce aux formules de la première section ci-dessus .)