Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Application linéaire : Définitions Application linéaire/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
K
{\displaystyle K}
espaces vectoriels .
Définitions Application linéaire
Début de l'exemple
Exemple : valeur en un point d'une fonction
Fin de l'exemple
Applications linéaires particulières
Définition
On appelle :
endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E ;isomorphisme de E vers F toute bijection linéaire de E dans F ;automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E , ou encore, tout isomorphisme de E dans E .forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K . Wikipedia-logo-v2.svg
L'ensemble L(E , E ) des endomorphismes de E se note plus simplement L(E ).
L'ensemble des automorphismes de E s’appelle le groupe linéaire de E et se note GL(E ).
L'ensemble L(E , K ) des formes linéaires sur E se note plus simplement E * et porte le nom de dual de E . (dualité pour une étude plus détaillée.)
Début de l'exemple
Exemple d'endomorphisme : homothétie vectorielle
Wikipedia-logo-v2.svg Soit
k
∈
K
{\displaystyle k\in K}
h
:
E
→
E
x
↦
k
x
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}h&:&E&\rightarrow &E\\~&~&x&\mapsto &kx\end{array}}}
est linéaire car
∀
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
E
2
,
h
(
λ
x
+
y
)
=
k
(
λ
x
+
y
)
=
k
λ
x
+
k
y
=
λ
(
k
x
)
+
(
k
y
)
=
λ
h
(
x
)
+
h
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in K\times E^{2},~h(\lambda x+y)&=k(\lambda x+y)=k\lambda x+ky\\&=\lambda (kx)+(ky)\\&=\lambda h(x)+h(y)\end{aligned}}}
C'est donc un endomorphisme de E , appelé « homothétie de rapport k ». Si de plus k ≠ 0, h est un automorphisme de E .
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple de forme linéaire : produit scalaire par un vecteur
On suppose dans cet exemple
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
produit scalaire canonique.
Soit
e
∈
E
{\displaystyle e\in E}
p
:
E
→
R
x
↦
⟨
x
,
e
⟩
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e\rangle \end{array}}}
est linéaire. En effet :
∀
(
λ
,
x
,
y
)
∈
R
×
E
2
,
p
(
λ
x
+
y
)
=
⟨
λ
x
+
y
,
e
⟩
=
λ
⟨
x
,
e
⟩
+
⟨
y
,
e
⟩
=
λ
p
(
x
)
+
p
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in \mathbb {R} \times E^{2},~p(\lambda x+y)&=\langle \lambda x+y,e\rangle \\&=\lambda \langle x,e\rangle +\langle y,e\rangle \\&=\lambda p(x)+p(y)\end{aligned}}}
De plus, p est à valeurs dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
E .
Fin de l'exemple
Image, noyau Définitions
Début de l'exemple
Exemple : produit scalaire par un vecteur de base
On suppose à nouveau
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
E
=
R
n
{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}
p
1
:
E
→
R
x
↦
⟨
x
,
e
1
⟩
.
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p_{1}&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e_{1}\rangle .\end{array}}}
Son noyau est l’hyperplan des vecteurs orthogonaux à
e
1
{\displaystyle e_{1}}
Ker
(
p
1
)
=
{
x
∈
E
∣
⟨
x
,
e
1
⟩
=
0
}
=
Vect
{
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \operatorname {Ker} \left(p_{1}\right)=\{x\in E\mid \langle x,e_{1}\rangle =0\}=\operatorname {Vect} \left\{e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}
Son image est
I
m
(
p
1
)
=
R
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(p_{1}\right)=\mathbb {R} }
Fin de l'exemple
Propriétés
Propriété
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
L'image réciproque par u d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
L'image directe par u d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F .
Démonstration
Remarquons d'abord que
u
(
0
E
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}}
u
{\displaystyle u}
morphisme de groupes de
(
E
,
+
)
{\displaystyle (E,+)}
(
F
,
+
)
{\displaystyle (F,+)}
u
(
0
E
)
=
u
(
0
K
x
)
=
0
K
u
(
x
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=u(0_{K}x)=0_{K}u(x)=0_{F}}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
Soient
F
′
{\displaystyle F'}
F
{\displaystyle F}
E
′
=
u
−
1
(
F
′
)
{\displaystyle E'=u^{-1}(F')}
u
(
0
E
)
=
0
F
∈
F
′
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}\in F'}
0
E
∈
E
′
{\displaystyle 0_{E}\in E'}
Soit
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
E
′
2
{\displaystyle (\lambda ,x,y)\in K\times E'^{2}}
u
(
x
)
,
u
(
y
)
∈
F
′
{\displaystyle u(x),u(y)\in F'}
u
(
λ
x
+
y
)
=
λ
u
(
x
)
+
u
(
y
)
∈
F
′
{\displaystyle u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)\in F'}
λ
x
+
y
∈
E
′
{\displaystyle \lambda x+y\in E'}
Soient
E
′
{\displaystyle E'}
E
{\displaystyle E}
F
′
=
u
(
E
′
)
{\displaystyle F'=u(E')}
0
E
∈
E
′
{\displaystyle 0_{E}\in E'}
u
(
0
E
)
=
0
F
{\displaystyle u(0_{E})=0_{F}}
0
F
∈
F
′
{\displaystyle 0_{F}\in F'}
Soit
(
λ
,
x
,
y
)
∈
K
×
F
′
2
{\displaystyle (\lambda ,x,y)\in K\times F'^{2}}
a
,
b
∈
E
′
{\displaystyle a,b\in E'}
x
=
u
(
a
)
{\displaystyle x=u(a)}
y
=
u
(
b
)
{\displaystyle y=u(b)}
λ
a
+
b
∈
E
′
{\displaystyle \lambda a+b\in E'}
λ
x
+
y
=
u
(
λ
a
+
b
)
∈
F
′
{\displaystyle \lambda x+y=u(\lambda a+b)\in F'}
Corollaire
Ker(u ) est un sous-espace vectoriel de E .
Im(u ) est un sous-espace vectoriel de F .
Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)
