En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces complets Topologie générale/Exercices/Espaces complets », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient un espace métrique complet non vide et une application (non nécessairement continue) dont une itérée est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :
possède un unique point fixe ;
toute suite dans vérifiant converge vers , à une vitesse au moins géométrique.
Solution
Soit l'unique point fixe de .
Unicité : tout point fixe par est fixe par donc est égal à .
Existence : posons . Alors, donc est fixe par . Par conséquent, il est égal à , c'est-à-dire que .
Soient et deux espaces métriques et leur produit, avec (par exemple) . Montrer qu'une suite dans est de Cauchy si et seulement si les deux suites (dans ) et (dans ) sont de Cauchy.
Solution
Si est de Cauchy alors pour tout , il existe tel que , c'est-à-dire et . Ainsi, les deux suites et sont de Cauchy.
Réciproquement, si elles le sont alors pour tout , il existe tel que et il existe tel que . En posant , on obtient : . Ainsi, la suite est de Cauchy.