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Topologie générale/Exercices/Espaces complets

Leçons de niveau 16
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Espaces complets
Image logo représentative de la faculté
Exercices no4
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Complétude

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Espaces métriques
Exo suiv. :Connexité
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Topologie générale/Exercices/Espaces complets
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Soient un espace métrique complet non vide et une application (non nécessairement continue) dont une itérée est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :

  • possède un unique point fixe  ;
  • toute suite dans vérifiant converge vers , à une vitesse au moins géométrique.

Soient et deux espaces métriques et leur produit, avec (par exemple) . Montrer qu'une suite dans est de Cauchy si et seulement si les deux suites (dans ) et (dans ) sont de Cauchy.