Topologie générale/Espace produit
Définition générale
[modifier | modifier le wikicode]Soit une famille (non nécessairement finie) d'espaces topologiques, et le produit cartésien de la famille d'ensembles . La topologie produit des est la topologie sur dont une prébase est constituée des parties de de la forme où chaque est égal au correspondant, sauf l'un d'entre eux, qui peut être seulement un ouvert (de ).
Une base de cette topologie est donc constituée des parties de de la forme où chaque est égal au correspondant, sauf un nombre fini d'entre eux, qui peuvent être seulement des ouverts.
Cas d'un produit fini
[modifier | modifier le wikicode]Si est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :
- .
Dans , et font partie de la base d'ouverts,
ainsi que , , , , etc.
L'ensemble est donc fermé, ainsi que et .
Cas d'un produit d'espaces identiques
[modifier | modifier le wikicode]Si tous les (pour ) sont égaux à un même espace topologique , leur produit est noté .
Une suite d'éléments de — c'est-à-dire d'applications de dans — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout , la suite (à valeurs dans ) converge. C'est pourquoi cette topologie sur est appelée la « topologie de la convergence simple ».
Puissance n-ième d'un espace
[modifier | modifier le wikicode]Si sont égaux à un même espace , leur produit est noté .
La topologie sur ℝn construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.
Plus généralement, si est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur coïncide avec celle associée à la norme sur définie par . Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.
Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :
Un espace topologique est séparé si et seulement si, dans son carré , la diagonale (l'ensemble ) est un fermé.
Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble est ouvert. Les équivalences suivantes permettent de conclure :
- est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à
- pour tout , il existe et , ouverts de , tels que et , qui lui-même équivaut à
- pour tous distincts, il existe et , ouverts de , tels que , et .