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Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles

Leçons de niveau 15
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Calculs d'intégrales doubles
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Exercices no1
Leçon : Intégrale double

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Intégrales multiples
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Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles
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Calculer

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. .

Calculer :

  1. si est le triangle  :
    1. ,
    2. ,
    3.  ;
  2. est le domaine défini par  ;
  3.  ;
  4. est le triangle  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9. .

On considère le domaine plan

et la surface

.
  1. Dessiner et calculer son aire et son périmètre.
  2. Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) de , défini par
    .
  3. Calculer . Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
  4. Déterminer l'aire de .

Pour , déterminer le centre de gravité du trapèze de sommets , , et .

  1. Pour tout domaine et toute application affine inversible , montrer que le centre de gravité de est , où désigne le centre de gravité de .
  2. En déduire que si est symétrique par rapport à un point alors .
  1. Dessiner le domaine
    .
  2. Calculer
    a) par calcul direct ;
    b) en passant en coordonnées polaires.

Soient :

  • le triangle de sommets , et  ;
  •  ;
  • .
  1. Expliquer pourquoi est un triangle et préciser ses sommets.
  2. En utilisant un changement de variables, justifier l'égalité

    (sans calculer les intégrales en question).

Soit . Représenter graphiquement et calculer .

Soit . Calculer .

Calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. et  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10. et  ;
  11.  ;
  12. et .

Représenter graphiquement l'ensemble puis calculer

, et .

Calculer les intégrales suivantes.

  1.  ;
  2.  ;
  3. est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives et  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6. .

Calculer

Soient et . Calculer l'aire de .

Soient et . Calculer l'aire de .

Soient et . Calculer . On pourra effectuer le changement de variables , .

Pour tout , soient et .

  1. Montrer que
    .
  2. En déduire l'existence et la valeur de
    .

Recalculer cette intégrale de Gauss en appliquant le théorème de Tonelli à l'application sur .

On considère le domaine borné délimité par les trois droites d'équations , et . Calculer  :

  1. par calcul direct ;
  2. en effectuant le changement de variables .

Soient . On considère le domaine (on connaît son aire : ). Calculer :

  1.  ;
  2. les coordonnées du centre de gravité de .

L'objet de cet exercice est de calculer l'intégrale , dont on sait qu'elle est semi-convergente (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-3).

Soit .

  1. Montrer que pour tout , (on rappelle que  : Intégrale de Gauss). En déduire que n'est pas intégrable sur .
    1. Montrer que pour tout , est intégrable sur et en déduire que est une fonction que l'on déterminera sous forme intégrale.
    2. Montrer par une intégration simple que
    1. Montrer que a une limite quand tend vers et calculer cette limite.
    2. En admettant que (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-5), montrer que .

Soient une fonction mesurable sur et localement intégrable. On suppose que existe et l'on pose

Soit  ; démontrer que existe et exprimer sa valeur en fonction de .