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Exercice : Calculs d'intégrales doubles
Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Solution
- .
.
- .
.
- .
- .
- Pour , .
.
Calculer :
- si est le triangle :
- ,
- ,
- ;
- où est le domaine défini par ;
- où ;
- où est le triangle ;
- où ;
- où ;
- où ;
- où ;
- où .
Solution
Remarque : un bon réflexe est de contrôler le signe du résultat, souvent prévisiblement positif.
-
- et
.
- et
.
- et
.
Remarques :
- par symétrie, cette intégrale se simplifie a priori en ;
- l'intégrande est alors un produit mais pas le domaine hélas ;
- on peut, si l'on préfère, commencer par un changement de variable .
- .
En posant , on trouve .
Finalement, .
- et
.
- et
.
- et
.
- et
.
Ou en intégrant d'abord par rapport à : et
.
- et
.
- Les deux droites et s'intersectent au point .
.
Ou en intégrant d'abord par rapport à : et
.
- et (décomposition en éléments simples)
.
On considère le domaine plan
et la surface
- .
- Dessiner et calculer son aire et son périmètre.
- Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) de , défini par
- .
- Calculer . Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
- Déterminer l'aire de .
Solution
- est le triangle curviligne compris entre l'axe , le segment de la parabole d'extrémités et (), et le segment horizontal joignant à . Graphique Google.
- Son aire est donc .
- Et son périmètre est , avec . Effectuons le changement de variable . Ainsi, avec (voir arsinh), donc et .
- et
donc
et .
- . C'est le volume du solide compris verticalement entre et .
- , donc
- .
Pour , déterminer le centre de gravité du trapèze de sommets , , et .
Solution
donc et .
Remarque : quand , , le centre de gravité du carré . Et quand , , le centre de gravité du triangle de sommets , et .
- Pour tout domaine et toute application affine inversible , montrer que le centre de gravité de est , où désigne le centre de gravité de .
- En déduire que si est symétrique par rapport à un point alors .
Solution
- Soit le déterminant de . Notons et . Alors,
,
donc le centre de gravité de est .
- En particulier, si alors . Or si est la symétrie par rapport à , son seul point fixe est .
- Dessiner le domaine
- .
- Calculer
- a) par calcul direct ;
- b) en passant en coordonnées polaires.
Solution
1. est le secteur du disque unité délimité par les deux demi-droites et .
2. a)
2. b) .
Soient :
- le triangle de sommets , et ;
- ;
- .
- Expliquer pourquoi est un triangle et préciser ses sommets.
- En utilisant un changement de variables, justifier l'égalité
(sans calculer les intégrales en question).
Solution
- L'image par une application affine de l'enveloppe convexe d'un ensemble est l'enveloppe convexe de l'ensemble image, ce qui implique que l'image de par est le triangle de sommets , et .
- où donc .
Soit . Représenter graphiquement et calculer .
Solution
est le triangle délimité par les trois droites , et d'équations respectives , et , donc de sommets (), () et ().
D'après le théorème de Fubini :
- ,
ou plus simplement :
- .
Soit . Calculer .
Solution
- ,
ou plus simplement :
- .
Calculer :
- ;
- ;
- ;
- et ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- et ;
- ;
- et .
Solution
- En passant en coordonnées polaires : .
- D'après la question précédente : .
- .
- En passant en coordonnées polaires : (cf. primitive de x sin x).
Remarquons qu'exceptionnellement, on trouve une valeur négative, ce qui s'explique facilement ici…
De même, .
- En posant et :
ou plus astucieusement, en remarquant que :
.
- De même, .
(car et ) puis (en linéarisant )
.
- .
- .
-
- Le domaine d'intégration (une demi-couronne) est invariant par la symétrie , qui transforme l'intégrande en son opposé. Donc l'intégrale est nulle.
- .
- . On pouvait prévoir ce résultat à partir de la formule pour l'aire d'un disque : l'aire de cette demi-couronne est .
-
- (par linéarisation) .
Accessoirement, on peut remarquer que donc le domaine d'intégration était un disque.
- .
Là encore, on peut identifier le domaine d'intégration (un demi-disque privé de son intersection avec le disque unité).
Représenter graphiquement l'ensemble puis calculer
- , et .
Calculer les intégrales suivantes.
- ;
- ;
- où est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives et ;
- ;
- ;
- .
Solution
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00139.pdf Intégrales curvilignes, intégrales multiples (exercices de Jean-Louis Rouget), exercices 3 [005908] et 9 [005914].
Ou encore, pour la question 4 : en passant en coordonnées polaires, .
Calculer
Solution
.
Soient et .
Calculer l'aire de .
Solution
Pour , posons et . Alors, est injective et son jacobien vaut
donc l'aire vaut .
Soient et .
Calculer l'aire de .
Solution
Le jacobien de est égal à , donc
.
Soient et . Calculer . On pourra effectuer le changement de variables , .
Solution
Le jacobien de est égal à donc
.
Pour tout , soient et .
- Montrer que
- .
- En déduire l'existence et la valeur de
- .
Recalculer cette intégrale de Gauss en appliquant le théorème de Tonelli à l'application sur .
Solution
est mesurable .
On a d'une part donc , d'autre part donc .
Donc .
On considère le domaine borné délimité par les trois droites d'équations , et . Calculer :
- par calcul direct ;
- en effectuant le changement de variables .
Solution
est le triangle de sommets , et .
- Pour , . .
- , et la matrice de l'application linéaire a pour déterminant .
.
Soient . On considère le domaine (on connaît son aire : ). Calculer :
- ;
- les coordonnées du centre de gravité de .
L'objet de cet exercice est de calculer l'intégrale , dont on sait qu'elle est semi-convergente (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-3).
Soit .
- Montrer que pour tout , (on rappelle que : Intégrale de Gauss). En déduire que n'est pas intégrable sur .
-
- Montrer que pour tout , est intégrable sur et en déduire que où est une fonction que l'on déterminera sous forme intégrale.
- Montrer par une intégration simple que
-
- Montrer que a une limite quand tend vers et calculer cette limite.
- En admettant que (Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-5), montrer que .
Solution
- donc .
-
- car est continue sur et de limite nulle en 0.
avec .
- .
- Quand , (cf. question 1) donc .
- .
Soient une fonction mesurable sur et localement intégrable. On suppose que existe et l'on pose
Soit ; démontrer que existe et exprimer sa valeur en fonction de .
Solution
Pour , .
On peut donc appliquer le théorème de Fubini et le changement de variable avec , ce qui donne :
- ,
avec .
Lorsque et , on a et uniformément par rapport à , donc uniformément sur . D'où l'existence de , et sa valeur : .