Intégration de Riemann/Exercices/Calculs d'aires

Exercice 3-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{4}-x^{2}+1$ ;

$g(x)=-{\frac {x^{4}}{2}}+2$.

Solution

$g(x)-f(x)=-{\frac {3x^{4}}{2}}+x^{2}+1$ s'annule pour $x=\pm a$, avec $a:={\sqrt {b}},\quad b:={\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}$.

$\int _{-a}^{a}(g-f)=a\left(-{\frac {3b^{2}}{5}}+{\frac {2b}{3}}+2\right)={\sqrt {\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}}\times {\frac {4(19+{\sqrt {7}})}{45}}$.

 

Exercice 3-2

Évaluer les aires des deux sous-ensembles du plan délimités par les courbes d'équations :

$y=2x^{2},\qquad y=x^{3},\qquad y={\sqrt[{4}]{x}}$.

Solution

Notons respectivement $C_{1},C_{2},C_{3}$ ces trois courbes. Elles se coupent en $O(0,0)$ mais aussi en $A(2,8)$ pour $C_{1}\cap C_{2}$, en $B(1,1)$ pour $C_{2}\cap C_{3}$ et en $C(2^{-4/7},2^{-1/7})$ pour $C_{1}\cap C_{3}$.

L'aire du triangle curviligne $OBC$ est :

$\int _{0}^{2^{-4/7}}2x^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{2^{-4/7}}^{1}x^{1/4}\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}x^{3}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {2x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2^{-4/7}}+\left[{\frac {4x^{5/4}}{5}}\right]_{2^{-4/7}}^{1}-{\frac {1}{4}}={\frac {2^{-5/7}}{3}}+{\frac {4-2^{9/7}}{5}}-{\frac {1}{4}}$.

Celle du triangle curviligne $BAC$ est :

$\int _{2^{-4/7}}^{2}2x^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{2^{-4/7}}^{1}x^{1/4}\,\mathrm {d} x-\int _{1}^{2}x^{3}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {2x^{3}}{3}}\right]_{2^{-4/7}}^{2}-\left[{\frac {4x^{5/4}}{5}}\right]_{2^{-4/7}}^{1}-{\frac {15}{4}}={\frac {16-2^{-5/7}}{3}}-{\frac {4-2^{9/7}}{5}}-{\frac {15}{4}}$.

 

Exercice 3-3

Soit $R>0$. Calculer l'aire du disque $D_{R}:=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\right\}$.

Solution

Ce disque est délimité par les deux arcs de cercle d'équations $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ et $y=-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ pour $x\in \left[-R,R\right]$, donc son aire est

$\int _{-R}^{R}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

ou encore, par changement de variable $x=R\sin t$ :

$2R^{2}\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=R^{2}\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\left(1+\cos 2t\right)\,\mathrm {d} t=R^{2}\left[t+{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{-\pi /2}^{-\pi /2}=\pi R^{2}$.

Remarques

• Le calcul de $\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t$ peut s'effectuer plus astucieusement : $\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t$
  est égal à $2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}s\,\mathrm {d} s$ (par changement de variable $s={\frac {\pi }{2}}-t$), donc à $\int _{0}^{\pi /2}\left(\cos ^{2}t+\sin ^{2}t\right)\,\mathrm {d} t=\pi /2$.
• Pour une méthode plus expéditive, voir l'exemple « Aire d'un disque » dans Calcul différentiel/Jacobien#Changement de variables.

 

Plus généralement, pour $a\geq b>0$, calculer l'aire du domaine $\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\right.\right\}$.

Solution

Ce domaine est délimité par les deux arcs d'ellipse d'équations $y=b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}$ et $y=-b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}$ pour $x\in \left[-a,a\right]$, donc son aire est

$\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,\mathrm {d} x$

ou encore, par changement de variable $x=a\sin t$ :

$2ab\int _{-\pi /2}^{-\pi /2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=\pi ab$.

Remarque

Si l'on connaît le changement de variable dans une intégrale double (niveau 15), on peut aussi :

• déduire ce résultat du précédent, en remarquant que ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1\Leftrightarrow \left(x,y\right)=\left(au,bv\right)$ avec $\left(u,v\right)\in D_{1}$ ;
• le démontrer directement en généralisant la « méthode plus expéditive » signalée précédemment, en posant $x=ar\cos \theta$ et $y=br\sin \theta$.

 

Exercice 3-4

Soit $R>0$. On considère la boule $B_{R}:=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}\right\}$.

1. Pour tout $h\in \mathbb {R}$, quelle est l'aire $S(h)$ de l'intersection de cette boule avec le plan d'équation $z=h$ ?
2. En déduire le volume $V_{R}$ de $B_{R}$, à l'aide de la formule $V_{R}=\int _{-R}^{R}S(h)\,\mathrm {d} h$.

Solution

1. Cette intersection est vide si $|h|>R$. Si $|h|\leq R$, c'est un disque de rayon ${\sqrt {R^{2}-h^{2}}}$ donc d'aire $S(h)=\pi \left(R^{2}-h^{2}\right)$.
2. $V_{R}=\int _{-R}^{R}\pi \left(R^{2}-h^{2}\right)\,\mathrm {d} h=\pi \left[R^{2}h-{\frac {h^{3}}{3}}\right]_{-R}^{R}=2\pi \left(R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}}\right)={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$.

 

Exercice 3-5

Calculer l'aire du parallélogramme $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a\leq x\leq b,\;\alpha x+c\leq y\leq \alpha x+d\}$.

Solution

$\int _{a}^{b}((\alpha x+d)-(\alpha x+c))\;\mathrm {d} x=(d-c)(b-a)$.

 

Exercice 3-6

Calculer l'aire du domaine $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -1\leq x\leq 1,\;x^{3}\leq y\leq x^{2}\}$.

Solution

$\int _{-1}^{1}(x^{2}-x^{3})\;\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}-{\cancel {\frac {x^{4}}{4}}}\right]_{-1}^{1}={\frac {2}{3}}$.

 

Exercice 3-7

On se donne les points du plan $A(0,1)$, $B(1,0)$ et $C(2,0)$.

1. Écrire les équations des droites $(AB)$ et $(AC)$.
2. Calculer l'aire du triangle $ABC$.
3. Calculer l'aire du triangle $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x,y\geq 0,\;x+y\leq 1\}$.

Solution

1. $(AB)$ a pour équation $x=1-y$ et $(AC)$ a pour équation $x=2-2y$.
2. $\int _{0}^{1}\left(\int _{1-y}^{2-2y}\mathrm {d} x\right)\;\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left(1-y\right)\;\mathrm {d} y=\left[y-{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$. Vérification : l'aire d'un triangle est la moitié du produit d'une base par la hauteur correspondante. ${\frac {1}{2}}BC\times AO={\frac {1}{2}}$.
3. $\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1-x}\mathrm {d} y\right)\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(1-x\right)\;\mathrm {d} x=\left[x-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$. Vérification : ${\frac {1}{2}}\times 1\times 1={\frac {1}{2}}$.