Leçons de niveau 15

Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples

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Intégrales multiples
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Exercices no2
Leçon : Intégrale double

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Calculs d'intégrales doubles
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Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer les volumes de et .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3. pour  :
    1. ,
    2. ,
    3.  ;
  4.  ;
  5. pour  :
    1. ,
    2.  ;
  6. .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes et et de même rayon  ?

Wikipédia possède un article à propos de « Fenêtre de Viviani ».

Quel est le volume de l'intersection de la boule et du cylindre  ?

Indication : remarquer que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit une fonction continue, et le solide délimité par la rotation du graphe de autour de l'axe  :
    .
    Montrer que le volume de est égal à .
  2. Calculer le volume du « tonneau » , où et .
  3. Dans le plan , on considère un disque, de centre et de rayon .
    Calculer le volume du tore plein obtenu en faisant tourner ce disque autour de l'axe .
  4. Calculer le volume du cylindre avec .
  5. Calculer le volume du cône avec .
  6. Calculer le volume de la portion de paraboloïde .
  7. Calculer le volume du solide en dessous du cône et au-dessus de la couronne et .
  8. Calculer le volume de l'intersection du cylindre et de l'ellipsoïde .
  9. Dans le plan , on considère le domaine borné délimité par les courbes et .
    Calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner autour de l'axe .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer le volume de l'ellipsoïde (avec ).
  2. Calculer .
  3. Calculer le volume de .
  4. On considère l'hyperboloïde à une nappe d'équation (avec ).
    1. Calculer le volume de .
    2. Calculer le volume de .
    3. Calculer .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient (intersection d'une demi-boule et d'un cyclindre de même axe), son volume et son centre de gravité, de coordonnées .

On rappelle que est défini par .

Identifier géométriquement. Déterminer et , puis , puis .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Trouver un domaine et une fonction tels que .
  2. Calculer le volume du solide .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

  1. Tracer l'ensemble . Déterminer l'intersection de avec la sphère .
  2. Tracer le solide .
  3. Calculer le volume de .

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Soit un domaine simple du plan , d'aire . Calculer le volume du cône de base et de sommet .