Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples

Exercice 2-1

Calculer les volumes de $B=\{(x,y,z)\in [0,2]\times [0,1]\times \mathbb {R} \mid 0\leq z\leq x+y^{2}\}$ et $B'=\{(x,y,z)\in [0,2]\times [0,1]\times \mathbb {R} \mid 0\leq z\leq x\}$.

Solution

$V=\int _{0}^{2}\left(\int _{0}^{1}(x+y^{2})\;\mathrm {d} y\right)\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{2}\left(x+{\frac {1}{3}}\right)\;\mathrm {d} x={\frac {8}{3}}$

$V'=\int _{0}^{2}x\;\mathrm {d} x=2$ ($<V$, bien sûr).

 

Exercice 2-2

Calculer :

1. $\iiint _{D}z\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ où $D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\times [0,h]\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ ;
2. $\iiint _{D}z\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ où $D=\{(x,y,z)\in (\mathbb {R} _{+})^{3}\mid z\leq \min(1-x^{2},1-y^{2})\}$ ;
3. pour $D=\{(x,y,z)\in (\mathbb {R} _{+})^{3}\mid x+y+z\leq 1\}$ :
   1. $\iiint _{D}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$,
   2. $\iiint _{D}(x+y+z)^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$,
   3. $\iiint _{D}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}{(1+x+y+z)^{3}}}$,
   4. $\iiint _{D}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ ;
4. $\iiint _{D}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ où $D=\{(x,y,z)\in (\mathbb {R} _{+})^{3}\mid {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}}\leq 1\}$ ;
5. pour $D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}$ :
   1. $\iiint _{D}\cos x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$,
   2. $\iiint _{D}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}\quad (a>1)$ ;
6. $\iiint _{D}{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ où $D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\times [0,2]\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\}$ ;
7. $\iiint _{0\leq x\leq y\leq z\leq 1}xyz\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

Solution

1. $\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\times \int _{0}^{h}z\,\mathrm {d} z=\pi {\frac {h^{2}}{2}}$.
2. $\iint _{x,y\geq 0 \atop x^{2},y^{2}\leq 1-z}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=1-z$ et $\int _{0}^{1}z\left(1-z\right)\,\mathrm {d} z={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}$.
3. 1. $\int _{0}^{1-x}\left(1-x-y\right)\,\mathrm {d} y=(1-x)^{2}-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}={\frac {(1-x)^{2}}{2}}$ et $\int _{0}^{1}{\frac {(1-x)^{2}}{2}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{6}}$.
   2. $\int _{0}^{1-x-y}(x+y+z)^{2}\,\mathrm {d} z={\frac {1-(x+y)^{3}}{3}}$, $\int _{0}^{1-x}{\frac {1-(x+y)^{3}}{3}}\,\mathrm {d} y={\frac {1-x}{3}}-{\frac {1-x^{4}}{12}}={\frac {3-4x+x^{4}}{12}}$ et $\int _{0}^{1}{\frac {3-4x+x^{4}}{12}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{10}}$.
   3. $\int _{0}^{1-x-y}{\frac {\mathrm {d} z}{(1+x+y+z)^{3}}}=-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{(1+x+y+z)^{2}}}\right]_{0}^{1-x-y}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{(1+x+y)^{2}}}\right)$ ;
      $-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1-x}\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{(1+x+y)^{2}}}\right)\,\mathrm {d} y=-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {y}{4}}+{\frac {1}{1+x+y}}\right]_{0}^{1-x}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x}{4}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{1+x}}\right)={\frac {x-3}{8}}+{\frac {1}{2(1+x)}}$ ;
      $\int _{0}^{1}\left({\frac {x-3}{8}}+{\frac {1}{2(1+x)}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}-6x}{16}}+{\frac {\ln(1+x)}{2}}\right]_{0}^{1}=-{\frac {5}{16}}+{\frac {\ln 2}{2}}$.
   4. $\int _{0}^{1-y-z}x\,\mathrm {d} x={\frac {(y+z-1)^{2}}{2}}$, ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1-z}(y+z-1)^{2}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\int _{z-1}^{0}u^{2}\,\mathrm {d} u={\frac {(1-z)^{3}}{6}}$, ${\frac {1}{6}}\int _{0}^{1}(1-z)^{3}\,\mathrm {d} z={\frac {1}{24}}$.
4. En posant $x=u^{2}$, $y=v^{2}$ et $z=w^{2}$, l'intégrale devient $\iiint _{u,v,w\geq 0 \atop u+v+w\leq 1}8uvw\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w=4\iint uv(1-u-v)^{2}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=4\int _{0}^{1}u\left(\int _{0}^{1-u}\left((1-u)^{2}v-2(1-u)v^{2}+v^{3}\right)\,\mathrm {d} v\right)\mathrm {d} u$$=4\int _{0}^{1}u\left({\frac {(1-u)^{4}}{2}}-2{\frac {(1-u)^{4}}{3}}+{\frac {(1-u)^{4}}{4}}\right)\,\mathrm {d} u={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}u(1-u)^{4}\,\mathrm {d} u={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}t^{4}(1-t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}\right)={\frac {1}{90}}$.
5. 1. $\iint _{y^{2}+z^{2}\leq 1-x^{2}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\pi (1-x^{2})$ si $1-x^{2}\geq 0$ ($0$ sinon) et $\pi \int _{-1}^{1}(1-x^{2})\cos x\,\mathrm {d} x=\pi \left[(1-x^{2})\sin x\right]_{-1}^{1}+2\pi \int _{-1}^{1}x\sin x\,\mathrm {d} x=\pi \left[(1-x^{2})\sin x-2x\cos x\right]_{-1}^{1}+2\pi \int _{-1}^{1}\cos x\,\mathrm {d} x=\pi \left[(1-x^{2})\sin x-2x\cos x+2\sin x\right]_{-1}^{1}=4\pi (\sin 1-\cos 1)$.
   2. Pour $0<r<a$, $\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\cos \varphi \,\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ra\sin \varphi }}}=\left[{\frac {\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ra\sin \varphi }}{-ra}}\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{a}}$, et $\int _{0}^{1}{\frac {2}{a}}\,2\pi r^{2}\mathrm {d} r={\frac {4\pi }{3a}}$.
6. $\int _{0}^{2}z\,\mathrm {d} z\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 4}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=2\iint _{0\leq r\leq 2 \atop 0\leq \theta \leq 2\pi }{\frac {r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }{r}}=8\pi$.
7. ${\begin{aligned}\iiint _{0\leq x\leq y\leq z\leq 1}xyz\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z&=\int _{0}^{1}\left(\int _{x}^{1}\left(\int _{y}^{1}z\,\mathrm {d} z\right)y\,\mathrm {d} y\right)x\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(\int _{x}^{1}{\frac {1}{2}}(1-y^{2})y\,\mathrm {d} y\right)x\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{x}^{1}(y-y^{3})\,\mathrm {d} y\right)x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left[{\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {y^{4}}{4}}\right]_{x}^{1}x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4}}\right)x\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}(x^{5}-2x^{3}+x)dx={\frac {1}{8}}\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{48}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 2-3

Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$ et de même rayon $R>0$ ?

Solution

$\iint {|x|,|y|\leq {\sqrt {R^{2}-z^{2}}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=4(R^{2}-z^{2})$

donc

$V=4\int _{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})\,\mathrm {d} z=4\left[R^{2}z-{\frac {z^{3}}{3}}\right]_{-R}^{R}={\frac {16R^{3}}{3}}$.

Autre méthode :

$V=\iiint _{y^{2}+z^{2}\leq R^{2} \atop x^{2}+z^{2}\leq R^{2}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{[-R,R]^{2}}\left(\int _{z^{2}\leq \min(R^{2}-x^{2},R^{2}-y^{2})}\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{[-R,R]^{2}}2{\sqrt {R^{2}-\max(|x|,|y|)^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$.

En découpant ce carré suivant les diagonales, on obtient la même intégrale sur chacun des quatre triangles. Donc

$V=8\iint _{-x\leq y\leq x\leq R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=8\int _{0}^{R}2x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=8\int _{0}^{R^{2}}{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t=8\left[{\frac {t^{3/2}}{3/2}}\right]_{0}^{R^{2}}={\frac {16R^{3}}{3}}$.

 

Quel est le volume de l'intersection de la boule $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4R^{2}$ et du cylindre $x^{2}+(y-R)^{2}\leq R^{2}$ ?

Indication : remarquer que $(r\cos \theta )^{2}+(r\sin \theta -R)^{2}\leq R^{2}\Longleftrightarrow r\leq 2R\sin \theta$.

Solution

$\int _{0}^{\pi }\left(\int _{0}^{2R\sin \theta }2{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}\,r\;\mathrm {d} r\right)\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }\left(\int _{4R^{2}-(2R\sin \theta )^{2}}^{4R^{2}-0}{\sqrt {u}}\;\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi }\left[u^{3/2}\right]_{4R^{2}\cos ^{2}\theta }^{4R^{2}}\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{3}}(2R)^{3}\int _{0}^{\pi }\left(1-|\cos \theta |^{3}\right)\;\mathrm {d} \theta ={\frac {4}{3}}(2R)^{3}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {\cos(3\theta )+3\cos \theta }{4}}\right)\;\mathrm {d} \theta$ (par linéarisation).

${\frac {4}{3}}(2R)^{3}\left[\theta -{\frac {1}{4}}\left({\frac {\sin(3\theta )}{3}}+3\sin \theta \right)\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {4}{3}}(2R)^{3}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\right)={\frac {16R^{3}}{3}}\left(\pi -{\frac {4}{3}}\right)$.

 

Exercice 2-4

1. Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R} _{+}$ une fonction continue, et $\Omega _{f}$ le solide délimité par la rotation du graphe de $f$ autour de l'axe $(Ox)$ :
   $\Omega _{f}=\{(x,y,z)\in [a,b]\times \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\}$.
   Montrer que le volume de $\Omega _{f}$ est égal à $\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,\mathrm {d} x$.
2. Calculer le volume du « tonneau » $\Omega _{a,b,c}:=\{(x,y,z)\in [-a,a]\times \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq b\sin(cx)\}$, où $b>0$ et $0<a<{\frac {c\pi }{2}}$.
3. Dans le plan $(xOy)$, on considère un disque, de centre $(0,R,0)$ et de rayon $a\leq R$.
   Calculer le volume du tore plein obtenu en faisant tourner ce disque autour de l'axe $(Ox)$.
4. Calculer le volume du cylindre $\left\{(x,y,z)\in [0,h]\times \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq R^{2}\right\}$ avec $R,h>0$.
5. Calculer le volume du cône $\left\{(x,y,z)\in [0,h]\times \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq x^{2}/h^{2}\right\}$ avec $h>0$.
6. Calculer le volume de la portion de paraboloïde $\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1-z\right\}$.
7. Calculer le volume du solide en dessous du cône $z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ et au-dessus de la couronne $z=0$ et $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 25$.
8. Calculer le volume de l'intersection du cylindre $x^{2}+y^{2}\leq 4$ et de l'ellipsoïde $4x^{2}+4y^{2}+z^{2}\leq 64$.
9. Dans le plan $(xOy)$, on considère le domaine borné $D$ délimité par les courbes $y=x^{2}$ et $x=y^{2}$.
   Calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner $D$ autour de l'axe $(Ox)$.

Solution

1. $\int _{a}^{b}\left(\iint _{{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\pi f^{2}(x)\,\mathrm {d} x$.
2. $\pi \int _{-a}^{a}b^{2}\sin ^{2}(cx)\,\mathrm {d} x=\pi b^{2}\int _{-a}^{a}{\frac {1-\cos(2cx)}{2}}\,\mathrm {d} x=\pi b^{2}\left(a-{\frac {\sin(2ca)}{2c}}\right)$.
3. Dans le plan $(xOy)$, le cercle a pour équation $x^{2}+(y-R)^{2}=a^{2}$, c'est-à-dire $y=R\pm {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$, donc le disque : $R-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\leq |y|\leq R+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ et le tore : $R-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq R+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$. D'après la question 1, le volume du tore est donc :
   $\pi \int _{-a}^{a}\left(\left(R+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)^{2}-\left(R-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x=4\pi R\int _{-a}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=2\pi R\iint _{x^{2}+y^{2}\leq a^{2}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=2\pi ^{2}Ra^{2}$.
4. D'après la question 1, le volume de ce cylindre est $\pi \int _{0}^{h}R^{2}\,\mathrm {d} x=\pi R^{2}h$.
5. D'après la question 1, le volume de ce cône est $\pi \int _{0}^{h}x^{2}/h^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{h^{2}}}{\frac {h^{3}}{3}}={\frac {\pi h}{3}}$.
6. D'après la question 1 (en permutant les variables), ce volume est $\pi \int _{0}^{1}(1-z)\,\mathrm {d} z=\pi \int _{0}^{1}t\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}$.
7. D'après la question 1 (en permutant les variables), le volume de ce solide (cylindre biseauté) est
   $\pi \int _{0}^{2}(25-4)\,\mathrm {d} z+\pi \int _{2}^{5}(25-z^{2})\,\mathrm {d} z=\pi \left(25\times 5-4\times 2-{\frac {5^{3}-2^{3}}{3}}\right)=2\pi {\frac {5^{3}-2^{3}}{3}}={\frac {234\pi }{3}}$.
   Autre méthode :
   $\iint _{4\leq x^{2}+y^{2}\leq 25}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{[2,5]\times [0,2\pi ]}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta ={\frac {5^{3}-2^{3}}{3}}\times 2\pi ={\frac {234\pi }{3}}$.
8. D'après la question 1 (en permutant les variables), le volume de ce solide est
   $\pi \int _{-8}^{8}\min(4,(64-z^{2})/4)\,\mathrm {d} z=2\pi \int _{0}^{4{\sqrt {3}}}4\,\mathrm {d} z+{\frac {\pi }{2}}\int _{4{\sqrt {3}}}^{8}(64-z^{2})\,\mathrm {d} z=\pi \left(32{\sqrt {3}}+32(8-4{\sqrt {3}})-{\frac {8^{3}-(4{\sqrt {3}})^{3}}{6}}\right)=64\pi \left({\frac {8}{3}}-{\sqrt {3}}\right)$.
9. $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}\leq z\leq {\sqrt {x}}\}$ donc d'après la question 1, le volume engendré par la rotation de $D$ est $\pi \int _{0}^{1}(x-x^{4})\,\mathrm {d} x=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{5}}\right)={\frac {3\pi }{10}}$.

 

Exercice 2-5

1. Calculer le volume de l'ellipsoïde $\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1\right.\right\}$ (avec $a,b,c>0$).
2. Calculer $\iiint _{1\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\alpha }\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.
3. Calculer le volume de $\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\;0\leq z\leq 1-x^{2}+y^{2}\right\}$.
4. On considère l'hyperboloïde à une nappe d'équation ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ (avec $a,b,c>0$).
   1. Calculer le volume $V_{\alpha }$ de $\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1,\;-\alpha \leq z\leq \alpha \right.\right\}$.
   2. Calculer le volume de $H_{a,b,c}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1,\;-1\leq z\leq 2\right.\right\}$.
   3. Calculer $I:=\iiint _{H_{1,1,2}}z\operatorname {e} ^{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

Solution

En posant $x=ar\cos \theta \cos \varphi$, $y=br\sin \theta \cos \varphi$ et $z=cr\sin \varphi$, on trouve :

1. $\iiint _{[0,1]\times [0,2\pi ]\times [-\pi /2,\pi /2]}abc\,r^{2}\cos \varphi \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =2\pi abc\int _{0}^{1}r^{2}\,\mathrm {d} r\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \varphi \,\mathrm {d} \varphi =2\pi abc\times {\frac {1}{3}}\times 2={\frac {4}{3}}\pi abc$.
   En particulier, le volume d'une sphère de rayon $R$ est ${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$.
2. $\iiint _{[1,2]\times [0,2\pi ]\times [-\pi /2,\pi /2]}r^{2\alpha +2}\cos \varphi \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =2\pi \int _{1}^{2}r^{2\alpha +2}\,\mathrm {d} r\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos \varphi \,\mathrm {d} \varphi ={\begin{cases}4\pi {\frac {2^{2\alpha +3}-1}{2\alpha +3}}&{\text{si }}\alpha \neq -{\frac {3}{2}}\\4\pi \ln 2&{\text{si }}\alpha =-{\frac {3}{2}}\end{cases}}$.
3. $\iiint _{0\leq r\leq 1 \atop 0\leq \theta \leq 2\pi }\left(1-r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \right)r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =2\pi \left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[{\frac {r^{4}}{4}}\right]_{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta +\left[{\frac {r^{4}}{4}}\right]_{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi \left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=\pi$.
4. 1. Pour tout $z\in \mathbb {R}$, l'aire de l'ellipse $\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}~\left|~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right.\right\}$ est égale à $\pi ab\left(1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)$, donc $V_{\alpha }=\int _{-\alpha }^{\alpha }\pi ab\left(1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)\;\mathrm {d} z=\pi ab\left[z+{\frac {z^{3}}{3c^{2}}}\right]_{-\alpha }^{\alpha }=2\pi ab\left(\alpha +{\frac {\alpha ^{3}}{3c^{2}}}\right)$.
   2. ${\frac {1}{2}}V_{2}-{\frac {1}{2}}V_{1}=\pi ab\left(2+{\frac {2^{3}}{3c^{2}}}\right)-\pi ab\left(1+{\frac {1^{3}}{3c^{2}}}\right)=3\pi ab\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}\right)$.
   3. $I=\int _{-1}^{2}z\left(\iint _{0\leq r\leq {\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4}}}} \atop 0\leq \theta \leq 2\pi }\operatorname {e} ^{r^{2}}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)\,\mathrm {d} z=\pi \int _{-1}^{2}z\left(\operatorname {e} ^{1+{\frac {z^{2}}{4}}}-1\right)\,\mathrm {d} z=2\pi \left[\operatorname {e} ^{1+{\frac {z^{2}}{4}}}-{\frac {z^{2}}{4}}\right]_{-1}^{2}=2\pi \left(\operatorname {e} ^{2}-\operatorname {e} ^{5/4}-{\frac {3}{4}}\right)$.

 

Exercice 2-6

Soient $D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z\geq 0,\;x^{2}+y^{2}\leq 9,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 25\}$ (intersection d'une demi-boule et d'un cyclindre de même axe), $V$ son volume et $G$ son centre de gravité, de coordonnées $(x_{G},y_{G},z_{G})$.

On rappelle que $G$ est défini par ${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{V}}\iiint _{D}{\overrightarrow {OM}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

Identifier $D$ géométriquement. Déterminer $x_{G}$ et $y_{G}$, puis $V$, puis $z_{G}$.

Solution

$D$ est constitué de la portion de cylindre $0\leq z\leq 4,\;x^{2}+y^{2}\leq 9$ et de la calotte sphérique $z\geq 4,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 25$.

$D$ est invariant par le demi-tour d'axe $Oz$ donc $G$ est situé sur cet axe : $x_{G}=y_{G}=0$.

$V=\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 9}{\sqrt {25-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=2\pi \int _{0}^{3}{\sqrt {25-r^{2}}}\,r\mathrm {d} r=\pi \int _{0}^{9}{\sqrt {25-t}}\,\mathrm {d} t=-{\frac {2\pi }{3}}\left[(25-t)^{3/2}\right]_{0}^{9}=-{\frac {2\pi }{3}}(4^{3}-5^{3})={\frac {122\pi }{3}}$.

$Vz_{G}=\iiint _{D}z\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 9}{\frac {25-x^{2}-y^{2}}{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=2\pi \int _{0}^{3}{\frac {25-r^{2}}{2}}\,r\mathrm {d} r=2\pi \left({\frac {25.3^{2}}{4}}-{\frac {3^{4}}{8}}\right)={\frac {9\pi }{4}}\left(50-9\right)={\frac {369\pi }{4}}$ donc $z_{G}={\frac {369\pi }{4}}{\frac {3}{122\pi }}={\frac {1107}{488}}\approx 2{,}27$.

 

Exercice 2-7

Soient $a\in \left]0,1\right[$ et $S=\{(r\cos \theta ,r\sin \theta ,\sin \theta )\mid a\leq r\leq 1,\;0\leq \theta \leq \pi \}$.

1. Trouver un domaine $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ et une fonction $f:D\to \mathbb {R}$ tels que $S=\{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)\in D\}$.
2. Calculer le volume du solide $T=\{(x,y,tf(x,y))\mid (x,y)\in D,\;0\leq t\leq 1\}$.

Solution

1. $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq 1,\;y\geq 0\}$ (demi-couronne) et $f(x,y)={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.
2. $\iiint _{a\leq r\leq 1,\;0\leq \theta \leq \pi \atop 0\leq z\leq \sin \theta }r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z={\frac {1-a^{2}}{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta =1-a^{2}$. (C'est plus simple que d'utiliser la question 1.)

 

Exercice 2-8

1. Tracer l'ensemble $C=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z+1={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\}$. Déterminer l'intersection de $C$ avec la sphère $S=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$.
2. Tracer le solide $K=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1\leq z\leq {\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}\}$.
3. Calculer le volume de $K$.

Solution

1. $C$ est un demi-cône de révolution de sommet $\Omega =(0,0,-1)$. Puisque $(z+1)^{2}=1-z^{2}\Leftrightarrow z(z+1)=0$, $C\cap S=\{\Omega \}\cup \Gamma$, où $\Gamma$ est le cercle unité du plan $xOy$.
2. $K$ est l'intersection des deux solides (demi-cône plein et boule) délimités par $C$ et $S$. Il a grossièrement la forme d'un cornet de glace à une boule.
3. Notons $K_{+}$ et $K_{-}$ les parties respectivement sphérique et conique de $K$. Le volume de la demi-boule $K_{+}$ est ${\frac {2\pi }{3}}$ et celui de la portion conique $K_{-}$ est $\int _{0}^{1}\pi t^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{3}}$ donc le volume de $K$ est $\pi$.

 

Exercice 2-9

Soit $A$ un domaine simple du plan $xOy$, d'aire ${\mathcal {A}}$. Calculer le volume du cône de base $A$ et de sommet $(0,0,h)$.

Solution

$\int _{0}^{h}{\mathcal {A}}\left({\frac {h-z}{h}}\right)^{2}\,\mathrm {d} z={\frac {\mathcal {A}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}t^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {{\mathcal {A}}h}{3}}$.

 

Exercice 2-10

Étudier l'intégrabilité des fonctions suivantes (où $I=\left]0,1\right[$ et $\beta \in \mathbb {R}$ est un paramètre) :

1. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(1+\sum x_{k})^{\beta }$ sur $\left]0,+\infty \right[^{n}$
2. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(\sum x_{k}^{2})^{\beta /2}$ sur $I^{n}$
3. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(\sum x_{k}^{k})^{\beta }$ sur $I^{n}$
4. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(1-\prod x_{k})^{\beta }$ sur $I^{n}$
5. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=(\sum x_{k})^{\beta }$ sur $I^{n}$
6. $f(x,y)={\sin(x-y)^{\alpha } \over (x^{2}+y^{2})^{\beta }}$ sur $I^{2}$

Solution

Par équivalents (sauf pour 6) tout se ramène à : pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $x\mapsto \|x\|^{\beta }$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ est-elle intégrable en $\infty$ ? en $0$ ? Par passage en coordonnées sphériques, ceci revient à l'intégrabilité de $r^{\beta +n-1}$ en $+\infty$ ($\Leftrightarrow \beta <-n$) et en $0$ ($\Leftrightarrow \beta >-n$). Autre méthode possible : comparaison explicite avec la norme $\sum |x_{k}|$ ($r\leq \sum |x_{k}|\leq r{\sqrt {n}}$) et calcul par Fubini. Plutôt que le passage en coordonnées sphériques, dont le jacobien est assez compliqué, on peut par équivalence des normes se ramener à celle pour laquelle la mesure image est la plus simple, la norme $N(x)=\max(|x_{i}|)$. En effet, $N^{*}(\lambda )([0,r])=\lambda ([-r,r]^{n})=(2r)^{n}$ donc $\mathrm {d} (N*\lambda )r=(n2^{n})r^{n-1}\,\mathrm {d} \lambda (r)$. Il suffit ensuite d'utiliser que si $f=g\circ N,\int _{N(x)\in A}f\,\mathrm {d} \lambda _{n}=n2^{n}\int _{A}g(r)r^{n-1}\,\mathrm {d} \lambda (r)$.

1. (par équivalents ou calcul explicite) $\beta <-n$
2. $\beta >-n$
3. Par changement de variable $y_{k}=x_{k}^{k}$, l'intégrabilité sur $I^{n}$ de $f$ équivaut à celle de $(\sum y_{k})^{\beta }\prod y_{k}^{{1 \over k}-1}$. Par passage en coordonnées sphériques, ceci équivaut à l'intégrabilité en $0$ de $r^{\beta +\sum ({1 \over k}-1)+n-1}$, c'est-à-dire $-1<\beta +\sum ({1 \over k}-1)+n-1\Leftrightarrow \beta >-\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}$.
4. Par changement de variable $y_{k}=1-x_{k}$, $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(1-\prod (1-y_{k}))^{\beta }$ équivaut, lorsque $y\to 0$, à $(\sum y_{k})^{\beta }$, donc (4) se ramène à (5).
5. $\beta >-n$.
6. Par équivalent, l'intégrabilité en $(0,0)$ de $f$ se ramène à celle de ${|x-y|^{\alpha } \over (x^{2}+y^{2})^{\beta }}$, donc par passage en polaires à celle de $r^{\alpha -2\beta +1}$ en $0$ : $\alpha -2\beta +1>-1\Leftrightarrow \alpha >2(\beta -1)$.