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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associéesInitiation au calcul intégral/Exercices/Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On demande de calculer les intégrales suivantes, de tracer rapidement par lecture sur la calculatrice la courbe de la fonction positive intégrée puis de hachurer l’aire correspondante à l’intégrale.
I
1
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle I_{1}=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})~\mathrm {d} x}
Solution
I
1
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
d
x
=
[
x
−
x
3
3
]
x
=
−
1
x
=
1
=
(
1
−
1
3
)
−
(
−
1
+
1
3
)
=
2
3
+
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})~\mathrm {d} x\\&=\left[x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=-1}^{x=1}\\&=\left(1-{\frac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)\\&={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}\end{aligned}}}
Donc
I
1
=
4
3
{\displaystyle I_{1}={\frac {4}{3}}}
I
2
=
∫
1
2
1
x
2
d
x
{\displaystyle I_{2}=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x^{2}}}~\mathrm {d} x}
Solution
I
2
=
∫
1
2
1
x
2
d
x
=
[
−
1
x
]
x
=
1
x
=
2
=
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x^{2}}}~\mathrm {d} x\\&=\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{x=1}^{x=2}\\&=-{\frac {1}{2}}+1\\\end{aligned}}}
Donc
I
1
=
1
2
{\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}}
I
3
=
∫
1
5
x
(
2
+
x
2
)
3
d
x
{\displaystyle I_{3}=\int _{1}^{5}x(2+x^{2})^{3}~\mathrm {d} x}
Solution
I
3
=
∫
1
5
x
(
2
+
x
2
)
3
d
x
=
∫
1
5
x
(
x
6
+
6
x
4
+
12
x
2
+
8
)
d
x
=
∫
1
5
x
7
+
6
x
5
+
12
x
3
+
8
x
d
x
=
[
x
8
8
+
6
x
6
6
+
12
x
4
4
+
8
x
2
2
]
x
=
1
x
=
5
=
[
x
8
8
+
x
6
+
3
x
4
+
4
x
2
]
x
=
1
x
=
5
=
(
5
8
8
+
5
6
+
3.5
4
+
4.5
2
)
−
(
1
8
+
1
+
3
+
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{3}&=\int _{1}^{5}x(2+x^{2})^{3}~\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{5}x(x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8)~\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{5}x^{7}+6x^{5}+12x^{3}+8x~\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {x^{8}}{8}}+6{\frac {x^{6}}{6}}+12{\frac {x^{4}}{4}}+8{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{x=1}^{x=5}\\&=\left[{\frac {x^{8}}{8}}+x^{6}+3x^{4}+4x^{2}\right]_{x=1}^{x=5}\\&=\left({\frac {5^{8}}{8}}+5^{6}+3.5^{4}+4.5^{2}\right)-\left({\frac {1}{8}}+1+3+4\right)\\\end{aligned}}}
Donc
I
3
=
66420
{\displaystyle I_{3}=66420}
I
4
=
∫
0
0
,
5
1
2
−
3
x
d
x
{\displaystyle I_{4}=\int _{0}^{0,5}{\frac {1}{2-3x}}~\mathrm {d} x}
Solution
On reconnaît une fraction rationnelle constituée :
au numérateur d'un polynôme de degré 0
au dénominateur d'un polynôme de degré 1
Cette fraction peut se bricoler pour arriver à une expression de la forme
u
′
u
{\displaystyle {\frac {u'}{u}}}
, qui s'intégrera avec la fonction ln.
I
4
=
∫
0
0
,
5
1
2
−
3
x
d
x
=
∫
0
0
,
5
(
−
1
3
)
−
3
2
−
3
x
d
x
=
(
−
1
3
)
[
ln
(
2
−
3
x
)
]
x
=
0
x
=
0
,
5
=
(
−
1
3
)
(
ln
(
0
,
5
)
−
ln
(
2
)
)
=
(
−
1
3
)
(
−
ln
(
2
)
−
ln
(
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{4}&=\int _{0}^{0,5}{\frac {1}{2-3x}}~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{0,5}\left(-{\frac {1}{3}}\right){\frac {-3}{2-3x}}~\mathrm {d} x\\&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)\left[\ln(2-3x)\right]_{x=0}^{x=0,5}\\&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)(\ln(0,5)-\ln(2))&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)(-\ln(2)-\ln(2))\end{aligned}}}
Donc
I
4
=
2
ln
(
2
)
3
{\displaystyle I_{4}={\frac {2\ln(2)}{3}}}