Leçons de niveau 15

Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles

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Calculs d'intégrales doubles
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Exercices no1
Leçon : Intégrale double

Exercices de niveau 15.

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Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Calculer

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

  1. si est le triangle  :
    1. ,
    2. ,
    3.  ;
  2. est le domaine défini par  ;
  3.  ;
  4. est le triangle  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9. .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

On considère le domaine plan

et la surface

.
  1. Dessiner et calculer son aire et son périmètre.
  2. Déterminer le centre d'inertie (ou centre de gravité) de , défini par
    .
  3. Calculer . Quelle en est l'interprétation en termes de volume ?
  4. Déterminer l'aire de .

Pour , déterminer le centre de gravité du trapèze de sommets , , et .

  1. Pour tout domaine et toute application affine inversible , montrer que le centre de gravité de est , où désigne le centre de gravité de .
  2. En déduire que si est symétrique par rapport à un point alors .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dessiner le domaine
    .
  2. Calculer
    a) par calcul direct ;
    b) en passant en coordonnées polaires.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient :

  • le triangle de sommets , et  ;
  •  ;
  • .
  1. Expliquer pourquoi est un triangle et préciser ses sommets.
  2. En utilisant un changement de variables, justifier l'égalité

    (sans calculer les intégrales en question).

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Représenter graphiquement et calculer .

Soit . Calculer .

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3. et  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9. et  ;
  10.  ;
  11. et .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Représenter graphiquement l'ensemble puis calculer

, et .

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Calculer les intégrales suivantes.

  1.  ;
  2.  ;
  3. est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives et  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6. .

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Calculer

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Calculer l'aire de .

Soient et . Calculer l'aire de .

Soient et . Calculer . On pourra effectuer le changement de variables , .

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout , soient et .

  1. Montrer que
    .
  2. En déduire l'existence et la valeur de
    .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

On considère le domaine borné délimité par les trois droites d'équations , et . Calculer  :

  1. par calcul direct ;
  2. en effectuant le changement de variables .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

Soient . On considère le domaine (on connaît son aire : ). Calculer :

  1.  ;
  2. les coordonnées du centre de gravité de .