Géométrie affine/Applications affines
Dans ce chapitre, et sont deux espaces affines, de directions respectives et .
Définition
[modifier | modifier le wikicode]Une application est dite affine s'il existe une application linéaire telle que
- .
est alors appelée la partie linéaire de .
Soit fixé. Une application est affine si et seulement s'il existe un point et une application linéaire tels que
- .
Si est affine, de partie linéaire , alors en posant on a bien l'égalité voulue.
Réciproquement si, pour un certain un point et une certaine application linéaire , on a
- ,
alors
- .
Exemples
[modifier | modifier le wikicode]- Une translation est une application affine dont la partie linéaire est . Le vecteur est alors indépendant du point et est appelé le vecteur de la translation .
- Une homothétie (affine) de rapport est une application affine dont la partie linéaire est l'homothétie (vectorielle) . Elle admet un unique point fixe, appelé le centre de l'homothétie.
- Les symétries centrales sont les homothéties de rapport .
Soient un sous-espace affine de , sa direction, et un supplémentaire de dans .
- La projection sur parallèlement à est l'application définie par : pour tout ,
- .
- La symétrie par rapport à parallèlement à est alors l'application définie par : pour tout ,
- est le symétrique de par rapport à .
- L'affinité de base , de direction et de rapport est l'application définie par : pour tout ,
- .
- Remarques
-
- Si alors , est l'application constante , et est l'homothétie de centre et de rapport .
- Les symétries sont les affinités de rapport et les projections sont les affinités de rapport .
- Toutes les affinités sont des applications affines.
- est à la fois l'image de et l'ensemble des points fixes de et de .
- est la projection (vectorielle) sur parallèlement à , et est la symétrie (vectorielle) par rapport à , parallèlement à .
- Les projections affines sont les applications affines idempotentes.
- Les symétries affines sont les applications affines involutives.
Seule la réciproque des deux derniers points nécessite une preuve.
- Soit une application affine idempotente. Alors, l'application linéaire est idempotente donc c'est une projection, sur un sous-espace vectoriel , parallèlement à un supplémentaire . Puisque , tous les points de sont fixes par . Fixons-en un, . Alors, pour tout , et donc , ce qui prouve que est la projection sur parallèlement à .
- Soit une application affine involutive. Alors, l'application affine (qui à tout point associe le milieu de ) est idempotente donc est une projection, si bien que s est une symétrie.
Propriétés
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Une application affine est bijective si et seulement si l'est. Dans ce cas, est affine et .
Soient et .
- Si est bijective alors aussi et est affine, car
- .
- Réciproquement, si est bijective alors aussi car
- .
- L'ensemble des bijections affines de dans est un sous-groupe du groupe des bijections de dans . On l'appelle le groupe affine de et on le note .
- Le sous-ensemble des applications affines de dans qui sont des homothéties ou des translations ou l'identité, est un sous-groupe du précédent. On l'appelle le groupe des homothéties-translations de et on le note .
Soient une application affine et un sous-espace affine de , de direction . Alors, est un sous-espace affine de , de direction .
Soit . Alors, .
Soit une application affine. Si l'ensemble des points fixes de n'est pas vide, alors c'est un sous-espace affine de , de direction le sous-espace vectoriel de .
Soit . Alors, .