En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Application directe
Application linéaire/Exercices/Application directe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
Solution
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire car .
- n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur et tout scalaire , est différent de dès que et (exemple : et ).
- est linéaire. Cela vient du fait que où et sont les formes linéaires produit scalaire par et . On systématisera cet argument au chapitre « Matrice/Matrice d'une application linéaire », mais on peut déjà le voir sur cet exemple :
- pour tous vecteurs et tout scalaire , on a (par linéarité de et et par définition des opérations sur l'espace vectoriel d'arrivée ) :
Pour chaque couple d'espaces vectoriels et chaque application , indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.
- , , , , , .
- , , , , .
- , , .
- , , , , .
Solution
-
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire car .
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur et tout scalaire , est différent de dès que et (exemple : et ).
-
- est l'application linéaire de matrice .
- n'est pas linéaire car .
- n'est pas linéaire car ne l'est pas : .
- est l'application linéaire de matrice .
- est l'application linéaire de matrice .
- et sont linéaires car les applications de dérivation ou d'évaluation en un point le sont. n'est pas linéaire mais quadratique (exemple : ).
Montrer que l'application
est un automorphisme de et calculer l'automorphisme réciproque.
Montrer que l'application définie par est bijective et calculer son inverse.
Solution
donc est bijective et sa bijection réciproque est donnée par
- .
Soit .
- Soient deux à deux distincts et l'application définie par . Montrer que est linéaire et bijective.
- Soient . Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que . Calculer , et .
Solution
- est linéaire car ses composantes (évaluation en un point) le sont. Son noyau est réduit à car un polynôme non nul de degré ne peut pas avoir racines. Elle est donc injective. Comme ses espaces de départ et d'arrivée ont même dimension (), elle est finalement bijective. Voir aussi Interpolation de Lagrange.
- L'existence et l'unicité de sont garanties par la bijectivité de . Voir aussi Polynômes de Tchebychev.
- .
- .
- .
Soient deux réels, le -espace vectoriel des applications continues de dans , et .
Montrer que l’application
est une forme linéaire sur .
Soient telles que
- .
Montrer que est la composée de par une homothétie de , c'est-à-dire :
- .
Solution
Le résultat étant immédiat si est l'application nulle, supposons .
Pour tout tel que , notons l'unique scalaire tel que .
Soient , d'images non nulles par .
- Si est libre alors car
- .
- Si () alors donc , si bien que
- .
Dans les deux cas, on en déduit que . Ainsi, tous les (pour ) sont égaux à un même scalaire .
L'égalité étant aussi vérifiée pour les tels que , la conclusion s'ensuit.
Pour tout , on note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré dans .
Soit l'application définie par .
- Démontrer que est linéaire.
- Démontrer que pour tout dont le degré est ; en déduire le noyau de .
- On considère , pour tout . Démontrer que pour tout .
- Démontrer que est une base de .
- Soit .
- Démontrer que .
- Pour tout , donner une méthode permettant de calculer tel que .
- Calculer tel que et . En déduire la somme pour tout .
- Calculer de même pour tout .
Soit . On considère comme un -espace vectoriel et l'on fixe la base .
- Montrer que est -linéaire.
- Calculer .
- Existe-t-il et tels que et ? Si c'est le cas, déterminer un tel et un tel .
- Décrire géométriquement .
- Soit . Calculer et décrire géométriquement .
Solution
- est composée des applications (-linéaire) et (- donc -linéaire) : . Donc est -linéaire.
- donc , donc et .
- . Or , et .
Le système précédent se réécrit donc
Une solution est donc .
De même,
Une solution est donc .
Ou globalement :
et de même, .
- est une base de , car -libre (en fait, ) et est la symétrie par rapport à , parallèlement à (c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à ).
- avec , donc est la rotation d'angle .
On pouvait d'ailleurs le trouver directement : .