Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale

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Interpolation polynomiale

Introduction

Dans ce chapitre, le but est d'interpoler un ensemble de points $(x_i,y_i{)}_{i\in [0,n]}$ par une fonction polynomiale $P$. C'est-à-dire trouver les coefficients $\{a_i{\}}_{i\in [0,n]}$ définissant $P$ telle que $P(X)=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i$ et $\mathrm{\forall }i\in [0,n]P(x_i)=y_i$.

On pourra aussi interpoler une fonction $f$ en un ensemble de points $\{x_i\mid i\in [0,n]\}$, c'est-à-dire trouver $P$ tel que $\mathrm{\forall }i\in [0,n]P(x_i)=f(x_i)$.

Matrice de Vandermonde

On peut exprimer sous la forme d'une matrice :

$\left[\begin{array}{ccccc}{x}_0^n& x_0^{n-1}& \dots & x_0& 1\\ x_1^n& x_1^{n-1}& \dots & x_1& 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ x_n^n& x_n^{n-1}& \dots & x_n& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\\ ⋮\\ a_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

appelée matrice de Vandermonde.

Son déterminant vaut $\prod _{0\le i<j\le n}(x_j-x_i)$.

Le système admet une solution unique si le déterminant de Vandermonde est non nul.

Ce qui prouve que pour faire passer un polynôme unique par n+1 points distincts, celui-ci doit être au plus de degré n^[pas clair].

Interpolation Lagrangienne

Soient les $n+1$ points $(x_i,y_i{)}_{i\in [0,n]}$ à interpoler par un polynôme $P$ de degré $n$.

Soient les $n+1$ polynômes $l_{j}j\in [0,n]$ :

$l_j(X):=\prod _{i=0,i\ne j}^n\frac{X-x_i}{x_j-x_i}$.

Les principales propriétés de ces polynômes sont :

• $l_j(x_i)={\delta }_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }i=j\\ 0& \text{si }i\ne j\end{array}$
• $l_j$ est de degré $n$ pour tout $j$

On définit le polynôme d'interpolation de Lagrange :

$P(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x)$.

Il est tel que : $P(x_j)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x_j)=y_j$.