Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale

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Interpolation polynomiale

Introduction

Dans ce chapitre, le but est d'interpoler un ensemble de points $(x_{i},y_{i})_{i\in [0,n]}$ par une fonction polynomiale $P$. C'est-à-dire trouver les coefficients $\{a_{i}\}_{i\in [0,n]}$ définissant $P$ telle que $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ et $\forall i\in [0,n]\;P(x_{i})=y_{i}$.

On pourra aussi interpoler une fonction $f$ en un ensemble de points $\{x_{i}\}_{i\in [0,n]}$, c'est-à-dire trouver $P$ telle que $\forall i\in [0,n]\;P(x_{i})=f(x_{i})$

Matrice de Vandermonde

On peut exprimer sous la forme d'une matrice :

${\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

appelée matrice de Vandermonde.
Son déterminant vaut $\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$.
Le système admet une solution unique si le déterminant de Vandermonde est non nul. Ce qui prouve que pour faire passer un polynôme unique par n+1 points distincts celui-ci doit être au plus de degré n.

Interpolation Lagrangienne

Soient les n+1 points $(x_{i},y_{i})_{i\in [0,n]}$ à interpoler par un polynôme P de degré n.

Soient les n+1 polynômes $l_{j}(x)\;\;j\in [0,n]$

$l_{j}(x):=\prod _{i=0,i\neq j}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}$

Les principales propriétés de ces polynômes sont:

• $l_{j}(x_{i})=\delta _{i,j}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$

• $l_{j}$ est de degré $n$ pour tout $j$

On définit le polynôme d'interpolation de Lagrange :

$P(x)=\sum _{j=0}^{n}y_{j}l_{j}(x)$

tel que : $P(x_{j})=\sum _{j=0}^{n}y_{j}l_{j}(x_{j})=y_{j}$