Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré

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Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. Nous verrons ensuite ce que l’on appelle le résultant de deux polynômes. Une application immédiate sera la définition et le calcul du discriminant des équations du troisième degré. Cette notion sera aussi utile à la démonstration de certains théorèmes des chapitres suivants.

Définition d’une équation du troisième degré (12)

Avant de commencer à manipuler les équations du troisième degré, nous devons bien savoir ce que c'est.

Définition d'une équation du troisième degré

Une équation du troisième degré est une équation qui, lorsqu’on a développé, réduit, mis au même dénominateur, multiplié les deux membres par le dénominateur commun et mis tous les termes dans le premier membre, se met sous la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

avec, bien sûr, a non nul.

Dans l'intégralité de ce cours, nous supposerons, si rien n'est précisé, que les coefficients de l'équation appartiennent à un ensemble quelconque et en particulier peuvent, par conséquent, être des nombres complexes.

Exemples d'équations du troisième degré Les équations suivantes sont des équations du troisième degré. Essayez pour chaque équation de le montrer à titre d'exercice. $5x^{3}-2x^{2}+6x-{\sqrt {2}}=0~$ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)~$ ${\frac {x-1}{x+2}}+{\frac {x-3}{x+1}}+{\frac {x+3}{x-1}}=0~$

Une première méthode de résolution par la recherche d'une racine évidente (12)

La méthode que nous allons voir dans ce paragraphe ne marche pas dans tous les cas. Mais, quand elle marche, elle marche mieux que les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants.

Le principe en est le suivant :

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du second degré.

Recherche d'une racine évidente

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :

Propriété

Si l'équation à coefficients entiers :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

admet une racine sous forme de fraction irréductible p/q, alors p divise d et q divise a.

Démonstration

Voir Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers#Exercice 4-3.

 

Début de l'exemple

Exemples

Pour l’équation :

$x^{3}-x^{2}+x-6=0$,

nous essayerons seulement les nombres : 1, –1, 2, –2, 3, –3, 6 et –6, qui sont les diviseurs de 6.

Pour l’équation :

$2x^{3}+3x^{2}+13x+6=0$,

nous essayerons, en plus des nombres précédents, les nombres :

${\frac {1}{2}},\qquad -{\frac {1}{2}},\qquad {\frac {3}{2}},\qquad -{\frac {3}{2}}$.

Fin de l'exemple

Factorisation du premier membre (12)

Si l'on connaît déjà une solution (rationnelle ou pas) d'une équation de degré 3, cela permet, pour trouver les autres, de se ramener à une équation de degré 2 :

Début d’un théorème

Théorème

Si le polynôme de degré 3

$P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$

admet une racine $x_{0}$

alors il peut se factoriser sous la forme :

$P(X)=(X-x_{0})Q(X)$

avec $Q(X)$ polynôme du second degré.

Fin du théorème

Démonstration

${\begin{aligned}P(X)&=P(X)-0\\&=P(X)-P(x_{0})\\&=aX^{3}+bX^{2}+cX+d-(ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d)\\&=a(X^{3}-x_{0}^{3})+b(X^{2}-x_{0}^{2})+c(X-x_{0})\end{aligned}}$

donc (en utilisant des identités remarquables classiques)

$P(X)=(X-x_{0})Q(X)$

avec

${\begin{aligned}Q(X)&=a(X^{2}+x_{0}X+x_{0}^{2})+b(X+x_{0})+c\\&=aX^{2}+(ax_{0}+b)X+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c.\end{aligned}}$

 

Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

$Q(x)=0$,

qui est du second degré, pour trouver les deux racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré.

Faites ces exercices : Exercice 1-2.

Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine dans l'équation à résoudre.

Nous verrons, dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.

Équations dont les coefficients sont des nombres réels

Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres réels.

Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit l’équation à coefficients réels :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

Si cette équation admet une racine α dans l’ensemble des nombres complexes, alors elle admet aussi comme racine le conjugué du nombre α.

Fin du théorème

Démonstration

Si α est racine de l'équation :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

alors :

$a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}+c\alpha +d=0~$

Prenons le conjugué des deux membres :

${\overline {a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}+c\alpha +d}}={\overline {0}}~$

Compte tenu des propriétés du conjugué, on obtient :

$a{\bar {\alpha }}^{3}+b{\bar {\alpha }}^{2}+c{\bar {\alpha }}+d=0~$

Ce qui montre que le conjugué de α est aussi racine de l'équation :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

 

Du théorème précédent, nous en déduisons immédiatement la propriété suivante:

Propriété

Une équation du troisième degré à coefficients réels admet :

• Soit trois racines réelles (dont deux ou trois d'entre elles peuvent être confondues).
• Soit une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.

Somme et produit de racines

Définition d'un polynôme en trois indéterminées.

On appelle monôme en trois indéterminées, une expression de la forme :

$aX^{k}Y^{l}Z^{m}$,

$X,Y,Z$ étant des variables (ou indéterminées) et $k,l,m$ des entiers naturels fixés (éventuellement nuls).

Un polynôme en trois indéterminées est une somme finie de monômes en ces indéterminées.

Dans ce paragraphe ainsi que dans le suivant, le terme « polynôme » devra être compris comme « polynôme en trois indéterminées ».

Lors de l'étude des équations du second degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.

Nous allons voir qu’il en est de même pour les équations du troisième degré.

Nous avons :

Début d’un théorème

Théorème

Soit :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

une équation du troisième degré dont les trois racines seront notées $x_{1},x_{2},x_{3}$.

Nous avons alors les trois relations simples liant les racines aux coefficients de l'équation :

• $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$ ;
• $x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}$ ;
• $x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$.

Fin du théorème

Démonstration

L'équation peut s'écrire :

$a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$.

En développant, on obtient :

$ax^{3}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-a(x_{1}x_{2}x_{3})=0$.

En identifiant les coefficients de cette dernière équation avec :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$,

on obtient les trois relations annoncées.

 

Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.

Définition d'une expression symétrique

Une expression contenant des variables est dite symétrique par rapport à celles-ci si elle est inchangée par toutes les permutations de ces variables.

Début de l'exemple

Exemples de polynômes symétriques

Les polynômes suivants sont symétriques en les variables $X_{1},X_{2},X_{3}$ :

• $X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}^{3}X_{3}+X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}+X_{1}X_{3}^{3}+X_{2}X_{3}^{3}$ ;
• $X_{1}^{5}X_{2}^{5}X_{3}^{5}-X_{1}^{3}X_{2}^{3}X_{3}^{3}$ ;
• les sommes de Newton $p_{k}:=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+X_{3}^{k}$, pour $k\in \mathbb {N}$.

Fin de l'exemple

Une autre définition :

Définition des polynômes symétriques élémentaires en trois indéterminées

Les expressions :

• $\sigma _{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}$ ;
• $\sigma _{2}=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}$ ;
• $\sigma _{3}=X_{1}X_{2}X_{3}$

sont appelées polynômes symétriques élémentaires en les trois indéterminées $X_{1},X_{2},X_{3}$.

Nous avons alors la proposition suivante :

Proposition (identités de Newton)

Les sommes de Newton $p_{k}=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+X_{3}^{k}$ s'expriment comme fonctions (polynomiales et à coefficients entiers) des trois polynômes symétriques élémentaires en $X_{1},X_{2},X_{3}$.

Démonstration

Nous avons :

$p_{0}=X_{1}^{0}+X_{2}^{0}+X_{3}^{0}=3$ ;

$p_{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}=\sigma _{1}$ ;

$p_{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}=(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{2}-2(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3})=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$.

Nous allons ensuite établir une relation de récurrence d'ordre 3 pour pouvoir calculer les p_k suivants.

Pour cela, considérons le polynôme $f$ (en quatre variables : $X_{1},X_{2},X_{3}$ et $X$) ainsi défini :

$f(X)=(X-X_{1})(X-X_{2})(X-X_{3})=X^{3}-\sigma _{1}X^{2}+\sigma _{2}X-\sigma _{3}$.

Nous avons alors :

$f(X_{1})=f(X_{2})=f(X_{3})=0$.

Nous en déduisons, pour tout $k\geq 2$ :

${\begin{cases}X_{1}^{k+1}-\sigma _{1}X_{1}^{k}+\sigma _{2}X_{1}^{k-1}-\sigma _{3}X_{1}^{k-2}&=X_{1}^{k-2}f(X_{1})&=0\\X_{2}^{k+1}-\sigma _{1}X_{2}^{k}+\sigma _{2}X_{2}^{k-1}-\sigma _{3}X_{2}^{k-2}&=X_{2}^{k-2}f(X_{2})&=0\\X_{3}^{k+1}-\sigma _{1}X_{3}^{k}+\sigma _{2}X_{3}^{k-1}-\sigma _{3}X_{3}^{k-2}&=X_{3}^{k-2}f(X_{3})&=0.\end{cases}}$

Par addition membre à membre, nous obtenons :

$p_{k+1}-\sigma _{1}p_{k}+\sigma _{2}p_{k-1}-\sigma _{3}p_{k-2}=0$

qui est bien une relation de récurrence d'ordre 3.

En résumé, nous retiendrons :

$p_{0}=3$ ; $p_{1}=\sigma _{1}$ ; $p_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$ ; $p_{k+1}=\sigma _{1}p_{k}-\sigma _{2}p_{k-1}+\sigma _{3}p_{k-2}$ pour tout entier $k\geq 2$.

On peut ainsi, par récurrence, exprimer tous les p_k comme des polynômes à coefficients entiers en $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$.

 

Début de l'exemple

Exemples

$p_{0}=3,\quad p_{1}=\sigma _{1},\quad p_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$,

$p_{3}=\sigma _{1}p_{2}-\sigma _{2}p_{1}+\sigma _{3}p_{0}=\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}$,

$p_{4}=\sigma _{1}p_{3}-\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{1}=\sigma _{1}^{4}-4\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}+4\sigma _{1}\sigma _{3}+2\sigma _{2}^{2}$.

Fin de l'exemple

Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Tout polynôme symétrique en trois indéterminées (à coefficients entiers) peut s'exprimer en fonction (polynomiale et à coefficients entiers) des trois polynômes symétriques élémentaires en ces indéterminées.

Fin du théorème

Preuve partielle

Nous allons seulement démontrer que tout polynôme symétrique est un polynôme à coefficients rationnels des polynômes symétriques élémentaires. Pour une preuve complète (à coefficients entiers) et qui fournit un algorithme plus efficace, il suffit d'adapter à trois indéterminées la preuve pour quatre indéterminées fournie dans la leçon sur l'équation du quatrième degré.

Pour simplifier l'écriture, nous commencerons par poser :

• $S_{k}=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+X_{3}^{k}$ ;
• $S_{k,l}=X_{1}^{k}X_{2}^{l}+X_{2}^{k}X_{1}^{l}+X_{1}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{1}^{l}+X_{2}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{2}^{l}$ ;
• $S_{k,l,m}=(X_{1}^{k}X_{2}^{l}+X_{2}^{k}X_{1}^{l})X_{3}^{m}+(X_{1}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{1}^{l})X_{2}^{m}+(X_{2}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{2}^{l})X_{1}^{m}$.

Tout polynôme symétrique s'écrit, après développement éventuel, comme combinaison à coefficients rationnels des S_k, S_k,l, S_k,l,m. Par exemple : $X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2}={\frac {1}{2}}S_{2,2}$.

Il nous suffit donc de montrer que S_k, S_k,l, S_k,l,m s'expriment en fonction de σ₁, σ₂, σ₃.

Calcul des S_k.

$S_{0}=3$ et pour $k>0$, $S_{k}=p_{k}$ (la $k$-ième somme de Newton), que l'on calcule grâce à la proposition précédente.

Calcul des S_k,l.

Nous voyons que :

$S_{k,l}=(X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+X_{3}^{k})(X_{1}^{l}+X_{2}^{l}+X_{3}^{l})-(X_{1}^{k+l}+X_{2}^{k+l}+X_{3}^{k+l})$,

que l’on peut écrire :

$S_{k,l}=S_{k}S_{l}-S_{k+l}$.

Calcul des S_k,l,m.

On montre facilement que :

$S_{k,l,m}=S_{k}S_{l}S_{m}-S_{k+l+m}-S_{k+l,m}-S_{k+m,l}-S_{l+m,k}$.

Pour démontrer cela, il suffit de s'armer de patience et développer le second membre pour constater que l’on tombe bien sur le premier membre.

 

Début de l'exemple

Exemple

$\sum _{i\neq j}X_{i}^{2}X_{j}=p_{2}p_{1}-p_{3}=(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})\sigma _{1}-(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})=\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}$.

Fin de l'exemple

Comme les polynômes symétriques élémentaires des racines d'un polynôme s'expriment simplement en fonction des coefficients de ce polynôme, nous déduisons qu'il en est de même pour tous les polynômes symétriques des racines.

Résultant de deux polynômes

Cette notion classique est d'un niveau nettement supérieur à celui de cette leçon, et ne sera abordée sérieusement qu'au niveau 16, dans la leçon « Résultant ».

Les résultants nous serviront à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Donnons-en d'abord une « définition » intuitive : le résultant $\operatorname {Res} (P,Q)$ de deux polynômes non nuls $P,Q\in \mathbb {C} [X]$ est :

• un polynôme en les coefficients de P et Q, qui s'annule si et seulement si P et Q ont une racine commune,
• une « expression minimale » obtenue en « éliminant $x$ entre les deux équations » $P(x)=0$ et $Q(x)=0$,

ces deux propositions (informelles) étant presque équivalentes.

Sans pouvoir donner un sens formel à la seconde, donnons-en quelques exemples.

Début de l'exemple

Premier exemple d'élimination : « résultant R_1-n »

Si $\alpha \neq 0$ ou $a_{n}\neq 0$, les deux équations :

$\alpha x+\beta =0$

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$

ont une racine commune si et seulement si le nombre suivant est nul :

$R_{1-n}:=a_{0}\alpha ^{n}-a_{1}\alpha ^{n-1}\beta +a_{2}\alpha ^{n-2}\beta -\dots +(-1)^{n}a_{n}\beta ^{n}$.

L'exception a lieu lorsque $\alpha =a_{n}=0$ : dans ce cas, $R_{1-n}$ est toujours nul.

Démonstration

• Si $\alpha \neq 0$, on tire $x$ de la première équation et on le remplace dans la seconde ; on obtient :

  $a_{n}\left({\frac {-\beta }{\alpha }}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {-\beta }{\alpha }}\right)^{n-1}+\dots +a_{1}{\frac {-\beta }{\alpha }}+a_{0}=0$,

  c'est-à-dire

  $a_{0}\alpha ^{n}-a_{1}\alpha ^{n-1}\beta +a_{2}\alpha ^{n-2}\beta -\dots +(-1)^{n}a_{n}\beta ^{n}$.

• Si $\alpha =0$ et $a_{n}\neq 0$ et $n>0$ :
  • les racines de la seconde équation sont aussi racines de la première si et seulement si $\beta =0$ ;
  • $R_{1-n}=(-1)^{n}a_{n}\beta ^{n}$ donc $R_{1-n}=0\Leftrightarrow \beta =0$.
• Si $\alpha =0$ et $a_{n}\neq 0$ et $n=0$ :
  • la seconde équation n'a pas de racine ;
  • $R_{1-n}=(-1)^{n}a_{n}\neq 0$.

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Second exemple d'élimination : « résultant R_2-3 »

Si $p\neq 0$ ou $a\neq 0$, les deux équations

$px^{2}+qx+r=0$

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

ont une racine commune (éventuellement complexe) si et seulement si le nombre suivant est nul :

${\begin{aligned}R_{2-3}&:=a\left[ar^{3}-bqr^{2}+c(q^{2}r-2pr^{2})+d(3pqr-q^{3})\right]\\&\qquad +bp\left[br^{2}-cqr+d(q^{2}-2pr)\right]+cp^{2}\left[cr-dq\right]+d^{2}p^{3}.\end{aligned}}$

Démonstration

Si $p=0$ et $a\neq 0$, $R_{2-3}$ se simplifie en $-a\left[dq^{3}-crq^{2}+brq-ar^{3}\right]$, qui est le produit par une constante non nulle du « résultant R_1-3 » des deux équations

$qx+r=0$

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

donc l'assertion est démontrée.

Supposons maintenant $p\neq 0$. Toute solution $x$ de la première équation vérifie

$px^{2}=-qx-r$

donc

${\begin{aligned}p^{2}x^{3}&=px\left(-qx-r\right)\\&=q\left(qx+r\right)-prx\\&=\left(q^{2}-pr\right)x+qr\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}p^{2}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right)&=a\left(\left(q^{2}-pr\right)x+qr\right)-bp\left(qx+r\right)+p^{2}\left(cx+d\right)\\&=x\left(a\left(q^{2}-pr\right)-bpq+cp^{2}\right)+aqr-bpr+dp^{2}.\end{aligned}}$

Par conséquent, le système

${\begin{cases}px^{2}+qx+r&=0\\ax^{3}+bx^{2}+cx+d&=0\end{cases}}$

est équivalent à

${\begin{cases}px^{2}+qx+r&=0\\\alpha x+\beta &=0\end{cases}}$

avec

$\alpha =aq^{2}-apr-bpq+cp^{2}$ et $\beta =aqr-bpr+dp^{2}$.

et les deux équations ont une solution commune si et seulement si leur « résultant R_1-2 » est nul. Or ce « résultant » est égal à

${\begin{aligned}r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}&=\alpha (r\alpha -q\beta )+p\beta ^{2}\\&=-p\left(aq^{2}-apr-bpq+cp^{2}\right)\left(ar^{2}-cpr+dpq\right)+p\left(aqr-bpr+dp^{2}\right)^{2}\\&=p^{2}R_{2-3}\end{aligned}}$

donc il est nul si et seulement si $R_{2-3}=0$.

 

En particulier, si $p\neq 0$ (ou $b\neq 0$), les deux équations

$px^{2}+qx+r=0$

$bx^{2}+cx+d=0$

ont une racine commune si et seulement si le nombre suivant est nul :

$R_{2-2}:=b^{2}r^{2}+p^{2}d^{2}+bdq^{2}+prc^{2}-bcqr-pqcd-2bdpr$.

Fin de l'exemple

Contrairement à la notion d'« expression minimale obtenue en éliminant $x$ entre les deux équations », la notion de résultant (qui sert à définir celle de discriminant) a une définition précise, qui vérifie clairement la première des deux « définitions intuitives » ci-dessus :

Définition

Le résultant $\operatorname {Res} (Q,P)$ d'un couple de polynômes non nuls $Q,P\in \mathbb {C} [X]$ est défini par :

$\operatorname {Res} \left(\alpha \prod _{j=1}^{m}(X-y_{j}),P(X)\right)=\alpha ^{\deg P}\prod _{j=1}^{m}P(y_{j})$

(si $\alpha \neq 0$).

Début de l'exemple

Exemple

Si $\alpha ,a_{n}\neq 0$ :

$\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0})=a_{0}\alpha ^{n}-a_{1}\alpha ^{n-1}\beta +a_{2}\alpha ^{n-2}\beta ^{2}-\dots +(-1)^{n}a_{n}\beta ^{n}$

Démonstration

Soient :

• $Q=\alpha X+\beta =\alpha \left(X-y_{1}\right)$, avec $y_{1}=-{\frac {\beta }{\alpha }}$ ;
• $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}$, de degré $n$.

Alors, $\operatorname {Res} (Q,P)$ est égal à

$\alpha ^{n}P\left(y_{1}\right)=\alpha ^{n}\left(a_{n}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)^{n}+a_{n-1}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)^{n-1}+\dots +a_{1}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)+a_{0}\right)$,

donc à l'expression annoncée.

 

Fin de l'exemple

Remarques

• Le résultant est invariant par translation de la variable :

  $\operatorname {Res} (Q(X+\lambda ),P(X+\lambda ))=\operatorname {Res} (Q(X),P(X))$.

• Lorsque $\alpha$ ou $a_{n}$ est nul, ce que nous avions appelé le « résultant R_1-n » n'est pas le résultant des deux polynômes $Q(X)=\alpha X+\beta$ et $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}$ (qui n'est même pas défini si $P$ ou $Q$ est nul). Cependant :

  si $\alpha \neq 0$ et $P\neq 0$, $R_{1-n}=\alpha ^{n-\deg P}\operatorname {Res} (Q,P)$.

La proposition suivante sera utilisée dans la prochaine section, dans le cas $n=3$ et $Q=P'$.

Proposition

Si $Q(X)=pX^{2}+qX+r$ est de degré 2 et si $P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ est de degré $n$ ($\leq 3$),

alors leur résultant — défini par $\operatorname {Res} (Q,P)=p^{n}P(y_{1})P(y_{2})$ où $y_{1},y_{2}$ sont les racines de $Q$ — est égal à

${\begin{aligned}&ap^{n-3}\left[ar^{3}-bqr^{2}+c(q^{2}r-2pr^{2})+d(3pqr-q^{3})\right]\\&\qquad +bp^{n-2}\left[br^{2}-cqr+d(q^{2}-2pr)\right]+cp^{n-1}\left[cr-dq\right]+p^{n}d^{2}.\end{aligned}}$

Démonstration

La démonstration est assez longue mais ne présente pas de difficulté (elle ne fait même pas appel au théorème ci-dessus sur les polynômes symétriques en 3 variables mais seulement — et de façon guidée — sur le cas plus simple en 2 variables : les racines de $Q$). Nous l'avons donc proposée dans l'exercice 2-2.

 

Discriminant d’un polynôme de degré 3

Le discriminant $\Delta _{P}$ d'un polynôme $P$ de degré $n>0$ et de coefficient dominant $a$ est défini par :

$\Delta _{P}={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a}}\operatorname {Res} (P',P)$

(qui est nul si et seulement si $P$ et $P'$ ont une racine commune, c'est-à-dire si $P$ a une racine multiple).

Pour un polynôme de degré 3, la proposition précédente nous donne donc deux expressions du discriminant :

Définition

Le discriminant $\Delta _{P}$ d'un polynôme de degré 3 :

$P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$

est défini par :

$\Delta _{P}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {Res} (P',P)=-27a^{2}P(y_{1})P(y_{2})$

où $y_{1},y_{2}$ sont les deux racines du polynôme dérivé $P'(X)=3aX^{2}+2bX+c$.

Corollaire

Le discriminant d'un polynôme de degré 3 :

$P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$

peut s'exprimer par :

$\Delta _{P}=b^{2}c^{2}+18abcd-27a^{2}d^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d$.

Démonstration

En appliquant la proposition précédente à $(p,q,r)=(3a,2b,c)$, on obtient :

${\begin{aligned}\Delta _{P}&=-{\frac {1}{a}}\operatorname {Res} (P',P)\\&=-\left[ac^{3}-2b^{2}c^{2}+c(4b^{2}c-6ac^{2})+d(18abc-8b^{3})\right]\\&\;-3b\left[bc^{2}-2bc^{2}+d(4b^{2}-6ac)\right]\\&\;-9ac\left[c^{2}-2bd\right]-27a^{2}d^{2}\\&=\left[5ac^{3}-2b^{2}c^{2}-18abcd+8b^{3}d\right]\\&\;+\left[3b^{2}c^{2}-12b^{3}d+18abcd\right]\\&\;+\left[-9ac^{3}+18abcd\right]-27a^{2}d^{2}\\&=b^{2}c^{2}+18abcd-27a^{2}d^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d.\end{aligned}}$

 

Début de l'exemple

Exemple

Le discriminant de :

$X^{3}+pX+q$

est :

$\Delta =-(4p^{3}+27q^{2})$.

(Il interviendra au chapitre 4.)

Fin de l'exemple

Ainsi, ${\frac {\Delta _{P}}{a^{4}}}$ est un polynôme en $-{\frac {b}{a}}=\sigma _{1}$, ${\frac {c}{a}}=\sigma _{2}$ et $-{\frac {d}{a}}=\sigma _{3}$, donc un polynôme symétrique en les trois racines de $P$, qui doit s'annuler si deux de ces racines sont égales. Sa forme est remarquable :

Début d’un théorème

Théorème

Soit le polynôme de degré 3 :

$P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$

et $x_{1},x_{2},x_{3}$ les trois racines de $P$.

Alors,

$\Delta _{P}=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}$.

Fin du théorème

Démonstration

On pourrait déduire cette égalité du corollaire précédent, mais il est bien moins pénible de partir directement de la définition.

$P(X)=a(X-x_{1})(X-x_{2})(X-x_{3})$ donc

$P'(X)=a(X-x_{2})(X-x_{3})+a(X-x_{1})(X-x_{3})+a(X-x_{1})(X-x_{2})$.

Mais $P'$ s'exprime aussi en fonction de son coefficient dominant $3a$ et de ses racines $y_{1},y_{2}$ :

$P'(X)=3a(X-y_{1})(X-y_{2})$.

Par conséquent,

${\begin{aligned}\Delta _{P}&=-27a^{2}P(y_{1})P(y_{2})\\&=-27a^{2}\times a(y_{1}-x_{1})(y_{1}-x_{2})(y_{1}-x_{3})\times a(y_{2}-x_{1})(y_{2}-x_{2})(y_{2}-x_{3})\\&=-a\times 3a(x_{1}-y_{1})(x_{1}-y_{2})\times 3a(x_{2}-y_{1})(x_{2}-y_{2})\times 3a(x_{3}-y_{1})(x_{3}-y_{2})\\&=-aP'(x_{1})P'(x_{2})P'(x_{3})\\&=-a\times a(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\times a(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})\times a(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})\\&=a^{4}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\\&=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}.\end{aligned}}$

 

On en déduit une propriété importante du discriminant d'un polynôme du troisième degré :

Propriété

Soit $P$ un polynôme de degré 3 à coefficients réels et Δ son discriminant. L'équation

$P(x)=0$

possède :

• si Δ > 0, trois racines réelles distinctes.
• si Δ = 0, une racine double ou triple.
• si Δ < 0, une racine réelle et deux racines complexes conjuguées non réelles.

Démonstration

Soient $x_{1},x_{2},x_{3}$ les racines de $P$ et $a$ son coefficient dominant. Alors,

$\Delta =\left(a^{2}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\right)^{2}$.

Si $x_{1},x_{2},x_{3}$ sont trois nombres réels alors Δ est le carré d'un nombre réel. C'est donc un nombre réel positif ou nul. De plus, il est nul si et seulement si deux des trois racines sont égales.

Si deux des nombres $x_{1},x_{2},x_{3}$ sont des nombres complexes conjugués non réels, $z=r+\mathrm {i} s,{\overline {z}}=r-\mathrm {i} s$ ($r\in \mathbb {R} ,s\in \mathbb {R} ^{*}$) et le troisième est un réel $t$, alors

${\begin{aligned}\Delta &=\left(a^{2}(z-{\overline {z}})(z-t)({\overline {z}}-t)\right)^{2}\\&=\left(a^{2}(2\mathrm {i} s)|z-t|^{2}\right)^{2}\\&=-\left(2a^{2}s|z-t|^{2}\right)^{2}\end{aligned}}$

est l'opposé du carré d'un nombre réel non nul. C'est donc un réel strictement négatif.

Comme nous avons distingué tous les cas possibles, nous en déduisons, inversement, les trois points annoncés.