Équation du troisième degré/Présentation et historique

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Cette leçon porte sur les équations du troisième degré, les courbes du troisième degré et les nombres algébriques du troisième degré. Cette leçon, de niveau 13, peut être abordée directement par un élève sortant de terminale, car elle ne nécessite aucun prérequis autres que ce qu'un lycéen de terminale doit normalement savoir. Toutes les notions nécessaires à la compréhension de cette leçon en dehors du programme des lycées sont incluses dans celle-ci. Pour aider à la compréhension de cette leçon, un certain nombre d'exercices ont été joints à celle-ci et il est vivement conseillé d'étudier ceux-ci soigneusement, car certains d'entre eux contiennent des compléments qui peuvent être utiles.

Dans ce premier chapitre est exposée l'histoire des équations du troisième degré. Les personnes non intéressées par celle-ci peuvent sauter ce chapitre sans problème.

Certaines parties des chapitres deux et trois sont généralement étudiées au niveau 11 ou 12. Elles seront repérées par le nombre 12 entre parenthèses dans le titre des paragraphes concernés.

Antiquité

Les équations cubiques se posaient chez les Grecs vers -300|300 av. J.-C. Ils les auraient résolues géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). Le plus ancien des problèmes du 3^e degré remonterait à Ménechme (vers -380|380 à 320 av. J.-C.) qui, pour obtenir x tel que x³=a²b, se ramène à l'intersection de x²=ay (parabole) et de xy=ab (hyperbole).

Archimède (Syracuse, -287|287 à 212 av. J.-C.) avait cherché à couper une sphère de rayon r par un plan de façon que le rapport des volumes des 2 parties ait une valeur donnée k (voir exercice 9-2). Cela donne une équation du 3^e degré. Si h est la hauteur d'une des parties, h vérifie : h³+(4kr³)/(k+1)=3rh².

Mathématiciens persans

Omar Khayyam (1048 - 1131)

Omar Khayyam

Puis c’est Omar Khayyam, originaire de Perse, qui, dans son traité d'algèbre Démonstrations de problèmes d'algèbre (vers 1070), étudie les équations cubiques. À l’instar des Grecs, il utilise la géométrie. Il démontre que les équations cubiques peuvent avoir plus d’une racine.

Il fait état aussi d’équations ayant deux solutions, mais n'en trouve pas à trois solutions. C'est le premier mathématicien qui ait traité systématiquement des équations cubiques, en employant d'ailleurs des tracés de coniques pour déterminer le nombre des racines réelles et les évaluer approximativement. Par exemple, pour x³+ax=b, il pose a=c², b=c²h et obtient la solution comme intersection de la parabole y=x²/c et du cercle y²=x(h-x).

Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135 - 1213)

Un siècle plus tard, Sharaf al-Dīn al-Tūsī classe les équations cubiques suivant l’existence de racines strictement positives et non pas comme Omar Khayyam qui suivait le signe des coefficients. Il résout les problèmes liés à l'homogénéité de dimension : le nombre x s'identifie aussi bien à une longueur qu’à une surface rectangulaire de côté 1 et x ou encore à un volume (1,1,x). Il inaugure en outre l'étude des polynômes, introduisant leur dérivée, recherchant leur maximum, etc.

Renaissance

Scipione del Ferro (1465 - 1526)

En 1494, Luca Pacioli écrivit un important traité : Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita. Il y fait la somme des connaissances en mathématiques (plus particulièrement en algèbre) transmise par les Arabes. On trouve dans ce traité la résolution complète des équations des premier et deuxième degrés sans les solutions négatives. Il pensait que l'équation du troisième degré était insoluble par la méthode algébrique. Entre 1501 à 1502, il enseigna les mathématiques à l'université de Bologne. Il y rencontra un autre professeur de mathématiques : Scipione del Ferro. Il lui fit part de sa conviction sur l'insolubilité des équations du troisième degré. C'est alors que Scipione s'intéressa au problème.

Il fut le premier algébriste de la Renaissance à s’intéresser à une méthode fournissant une solution, sous forme de radicaux, de la racine réelle de l’équation du troisième degré sans terme quadratique (coefficient de $x^{2}$ nul). La découverte de cette formule est un immense pas en avant dans l’histoire des équations, sachant que les premières recherches d’une solution de l’équation du troisième degré remontent à l’Antiquité. Les travaux de Scipione del Ferro portent essentiellement sur la résolution de l’équation de la forme $x^{3}=px+q$, ainsi que $x^{3}+px=q$, et $x^{3}+q=px$ (où $p$ et $q$ sont des entiers naturels, on ne travaillait autrefois qu’avec des nombres positifs, les nombres négatifs paraissent encore étranges et d'un maniement délicat), et cette formule peut aujourd’hui être généralisée par $x^{3}+px+q=0$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

De ses travaux, aucune trace n’a été retrouvée, en grande partie dû à sa réticence à la publication de son œuvre (courant à l’époque), mais aussi au fait que ses notes furent définitivement perdues. Au lieu de publier ses idées, il ne voulait les communiquer qu’à un groupe très réduit de personnes, quelques amis et élèves, et une polémique est née pour savoir qui reçut l’honneur de se voir confier les découvertes du grand mathématicien.

À sa mort en 1526, son gendre Annibal de la Nave (ou Hannival Nave), marié à sa fille Filippa, aurait hérité de ses notes, et donc de toutes ses découvertes inscrites dans ce fameux bloc-notes tant recherché. Annibal de la Nave fut aussi un mathématicien, qui aurait remplacé son beau-père à l’université de Bologne. À noter que des sources rapportent que Scipione del Ferro aurait volontairement communiqué ses découvertes à son gendre avant sa mort. Selon d’autres sources, del Ferro aurait révélé avant sa mort à Anton Maria del Fiore, un de ses élèves. Cependant, selon la source donnée précédemment, ce serait le gendre de del Ferro, Annibal de la Nave, qui aurait communiqué les découvertes de son beau-père à un ami, Anton Maria del Fiore en 1526 (qui se trouve donc être aussi un des élèves de del Ferro) et qui garda le secret jusqu'à la mort de Scipione del Ferro. Enfin, plusieurs sources donnent comme vérité les deux versions : Annibal de la Nave aurait hérité du bloc-notes contenant toutes les découvertes de son beau-père, et ce dernier aurait, en 1510 ou sur son lit de mort (1526), confié à son élève Anton Maria del Fiore une partie de la méthode.

Il est établi, selon de nombreuses sources, qu'Anton Maria del Fiore, à la mort de Scipione del Ferro, avait en sa possession la résolution de l’équation du 3^e degré sans terme quadratique, découverte par son professeur, et qu'Annibal de la Nave est l’héritier de Scipione del Ferro.

Niccolo Fontana Tartaglia (1499 - 1557)

Niccolò Fontana Tartaglia

Par la suite, Anton Maria del Fiore ne divulgue pas la méthode mais se décide par contre à lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations. En 1531, Niccolo Fontana (Tartaglia) aurait également appris à résoudre les équations du troisième degré, soit par ses propres inventions, soit à la lumière d’une indiscrétion. Croyant à une imposture, del Fiore lança un défi public sous forme d’un concours portant sur la résolution de trente équations du type x³+px=q à Tartaglia en 1535. Selon d’autres sources, Anton Maria del Fiore, croyant être le seul à détenir la résolution des équations du 3^e degré, lança de nombreux défis aux autres mathématiciens, avec somme d’argent à la clé, et Tartaglia releva le défi algébrique. Une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de trente équations du troisième degré du type x³+px=q chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.

Tartaglia se serait alors consacré à la recherche d’une méthode de résolution d’équation, qu’il ne connaîtrait pas encore, et il arriva bientôt à résoudre des équations cubiques. Il aurait trouvé la solution dans la dernière nuit avant la date limite, et résolut en quelques heures les trente équations proposés par son concurrent alors que ce dernier n’en aurait résolu qu’une seule, voire aucune, durant les quarante jours. Selon d’autres sources encore, ce serait Scipione del Ferro qui aurait donné à Tartaglia la méthode de résolution des équations de troisième degré, et ce dernier l’aurait améliorée au point de résoudre les équations de 3^e degré en quelques minutes, contrairement à son collègue et adversaire qui peinait à résoudre une seule équation.

De toutes ces sources, on peut en retirer que Tartaglia connaissait une méthode rapide et générale pour résoudre les équations de 3^e degré de tout type après le défi avec Anton Maria del Fiore, qu’il remporta aisément. Il renonça par ailleurs au prix — trente banquets successifs —, ayant relevé ce défi pour l’honneur. Dans l'espoir de gagner d'autres concours, Tartaglia ne dévoila pas sa formule après le défi. Il fut reconnu comme l'inventeur de la formule de résolution des équations du troisième degré. Cette méthode de résolution resta secrète quelques années car Tartaglia ne la publia pas, à l’instar de Scipione del Ferro.

Jérôme Cardan (1501 - 1576)

Gerolamo Cardano

En tant que conférencier de mathématique à Milan, Gerolamo Cardano connaissait le problème de la résolution du 3^e degré. Il était d'accord avec la Summa de Luca Pacioli qui déclarait que la résolution algébrique des équations du 3^e degré était impossible. Très intrigué après le défi entre Anton Maria del Fiore et Tartaglia, Jérôme Cardan se passionne lui pour les équations cubiques à partir de 1539 et essaya de découvrir seul la méthode mais en vain. Il contacta alors Tartaglia et lui demanda de lui confier sa méthode en lui promettant de garder le secret. Ce dernier refusa. Gerolamo Cardano lui proposa de le présenter à l'un des plus puissants mécènes après l'empereur de Milan s'il acceptait de lui révéler sa méthode. Tartaglia révisa sa position, réalisant que l'appui du gouvernement milanais pouvait être une aide non négligeable à son ascension sociale. Il donna son accord pour révéler sa méthode à Cardan à condition qu’il jure de ne jamais la divulguer, ce que fit ce dernier, et Tartaglia lui révéla la méthode sous forme de poème pour aider à protéger le secret. En contre-partie il obtint de Cardan une lettre de recommandation auprès du marquis qui lui fut inutile.

Certaines sources signalent qu’il réussit ainsi à étendre la méthode à toutes les équations du 3^e degré, bien que cela soit aussi mis au crédit de Tartaglia par d’autres sources.

En 1543, Cardan et Ludovico Ferrari, se rendirent à Bologne et apprirent d'Annibal de la Nave que Scipione del Ferro avait résolu bien avant Tartaglia les équations du 3^e degré. Pour le leur prouver, il leur aurait confié le bloc-notes du feu Del Ferro. Bien qu’il ait juré de ne jamais révéler la méthode de Tartaglia, Cardan pensa que personne ne l'empêcherait de publier celle de Del Ferro.

En 1547, Cardan publia Arts Magna (Le Grand Art) bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3^e et 4^e degré. Depuis lors, la formule de résolution des équations du 3^e degré s’appelle formule de Cardan. Tartaglia fut furieux quand il découvrit que Cardan avait transgressé sa promesse. Tartaglia publia un livre Quesiti et inventione diverge (Nouveaux problèmes et inventions) dans lequel il révélait sa version de l'histoire et sans cacher le parjure de Cardan. Grâce à son Arts Magna, Jérôme Cardan était devenu intouchable et reconnu comme le plus grand mathématicien de son temps. Tartaglia, furieux, insulta violemment Cardan, qui fut défendu par Ferrari. Ce dernier défit Tartaglia, qui accepta un débat public en 1548, dans une église à Milan devant quelques personnalités, y compris le gouverneur de Milan. Malgré son inexpérience en public, Ferrari fit une meilleure prestation que Tartaglia qui déclara forfait.

Cardan, durant toute sa vie, fit tout ce qui était en son pouvoir pour que son nom reste attaché à l’Histoire. Bien qu’il ne découvrit pas la méthode de résolution de l’équation du 3^e degré (Scipione del Ferro), ni ne l’élargit à tous les types (Tartaglia), ni par ailleurs ne découvrit celle pour l’équation du 4^e degré (Ferrari), son nom est à jamais et communément attaché à la résolution de tous les types d’équation du 3^e degré : la méthode de Cardan.

Cardan insère la résolution des équations du 3^e degré dans un cadre algébrique qui permet de comprendre la méthode et fait d’énormes progrès grâce à la méthode de Tartaglia et l’aide de Ferrari comme la résolution des différents cas cubiques.

Raphaël Bombelli (1526 - 1572)

Après qu'en 1546 la controverse entre Cardan et Tartaglia devint publique avec la parution des Quesiti et inventione diverge de Tartaglia, Raphaël Bombelli, admirateur de Cardan, conçut le projet d'écrire un traité d'algèbre : Algebra. Celui-ci, exposition systématique et logique des connaissances algébriques de l'époque, est rédigé entre 1557 et 1560, et reprend les travaux de Cardan de son vivant. Cette œuvre ne sera publiée que quelques mois avant la mort de son auteur.

En ce qui concerne les équations de degré supérieur à deux, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs, mais son habileté et sa maîtrise à utiliser formellement les racines de nombres négatifs le rendent capable d’établir que la formule de Scipione del Ferro est valable dans tous les cas. On peut dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient. L'équation du 4^e degré est aussi traitée par la méthode de Ferrari.

En étudiant les formules de Cardan, il est amené à introduire son fameux piu de meno. Les nombres imaginaires sont nés. Il remarqua que lorsque la formule de Cardan aboutissait à un discriminant négatif, la méthode géométrique donnait une solution réelle positive. Il sera le premier à utiliser dans ses calculs, à titre transitoire, des racines carrées imaginaires de nombres négatifs pour obtenir finalement la solution réelle tant recherchée. Il arriva à la conclusion que toute équation du 3^e degré possédait au moins une solution réelle.

Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, piu di meno et meno di meno. Bombelli considère les racines des équations comme des sommes algébriques de nombres positifs affectés d'un des quatre signes suivants : piu, meno, piu di meno, meno di meno, qui correspondent à peu près à nos +, -, +i, -i.

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Leonhard Euler

Mais c’est Leonhard Euler qui éclaircira la détermination des trois racines d’une équation cubique dans un article en latin (1732).