Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré

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Généralités sur les équations du troisième degré
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Chapitre no 2
Leçon : Équation du troisième degré
Chap. préc. :Présentation et historique
Chap. suiv. :Fonctions polynômes du troisième degré

Exercices :

Exercices sur l'équation du troisième degré
Exercices :Sur la somme et le produit des racines
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Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré
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Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. Une application immédiate de ce qui précède sera le calcul du discriminant des équations du troisième degré. Nous verrons ensuite ce que l’on appelle le résultant de deux équations. Cette notion étant utile à certaines démonstrations de théorèmes intervenants dans les chapitres suivants.

Définition d’une équation du troisième degré (12)[modifier | modifier le wikicode]

Avant de commencer à manipuler les équations du troisième degré, nous devons bien savoir ce que c'est.



Dans l'intégralité de ce cours, nous supposerons, si rien n'est précisé, que les coefficients de l'équation appartiennent à un ensemble quelconque et en particulier peuvent, par conséquent, être des nombres complexes.

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Exemples d'équations du troisième degré

Les équations suivantes sont des équations du troisième degré.

Essayez pour chaque équation de le montrer à titre d'exercice.

Une première méthode de résolution par la recherche d'une racine évidente (12)[modifier | modifier le wikicode]

La méthode que nous allons voir dans ce paragraphe ne marche pas dans tous les cas. Mais, quand elle marche, elle marche mieux que les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants.

Le principe en est le suivant :

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du second degré.


Recherche d'une racine évidente (12)[modifier | modifier le wikicode]

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :



Par exemple, pour l’équation :

Nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs de 6.

Pour l’équation :

Nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :


Factorisation du premier membre (12)[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

supposons que l’on ait réussit à lui trouver une racine simple sous la forme :

On peut alors utiliser le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

qui est du second degré pour trouver les deux racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré.


Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine évidente dans l'équation à résoudre.

Nous verrons dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.

Équations dont les coefficients sont des nombres réels[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres réels.

Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Du théorème précédent, nous en déduisons immédiatement la propriété suivante:



Somme et produit de racines[modifier | modifier le wikicode]



Lors de l'étude des équations du second degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.

Nous allons voir qu’il en est de même pour les équations du troisième degré.

Nous avons :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.




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Exemples d'expressions symétriques

Les expressions suivantes sont des polynômes symétriques :


Une autre définition :



Nous avons alors le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Comme nous avons vu que les polynômes symétriques élémentaires des racines s'expriment simplement en fonction des coefficients de l'équation, nous déduisons de façon immédiate que tous les polynômes symétriques des racines d'une équation s'expriment simplement en fonction des coefficients de cette équation. Une application de ceci sera le calcul du discriminant de l'équation.


Discriminant d’une équation du troisième degré[modifier | modifier le wikicode]

Pour une équation de degré n, le discriminant peut se définir en fonction des racines x1, x2,... xn par la formule :

Pour une équation du troisième degré, nous poserons donc la définition suivante :



Nous observons que l’expression donnant le discriminant est un polynôme symétrique par rapport aux racines de l'équation. Nous en déduisons que le discriminant doit pouvoir s'exprimer simplement par rapport aux coefficients de l'équation.

Nous avons en effet le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème



On peut se demander à quoi peut bien servir le discriminant d'une équation du troisième degré. La principale propriété est exprimée par ce qui suit :



Résultant de deux équations[modifier | modifier le wikicode]



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Exemple de résultant

soit les deux équations:

Ces deux équations auront la même racine si leurs coefficients sont proportionnels, c'est-à-dire si :

d'autre part, si l’on tire x de la première équation et que l’on remplace x par substitution dans la deuxième équation, on obtient :

Dans les deux cas, on voit que le résultant R des deux équations est :


Dans la suite, nous allons donner les principaux résultants entre des équations de degré 1 à 3. Ces résultants nous servirons par la suite à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Par commodité, les coefficients des équations seront, dans ce paragraphe, notés sous forme indicielle.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème