Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré

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Généralités sur les équations du troisième degré
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Chapitre no 2
Leçon : Équation du troisième degré
Chap. préc. :Présentation et historique
Chap. suiv. :Fonctions polynômes du troisième degré

Exercices :

Exercices sur l'équation du troisième degré
Exercices :Sur la somme et le produit des racines
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Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré
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Ce chapitre est consacré aux généralités sur les équations du troisième degré. Après avoir défini une équation du troisième degré, nous verrons une première méthode de résolution qui ne marchera que dans des cas très particuliers. Nous étudierons ensuite comment connaître le produit et la somme des racines et son application au calcul des expressions symétriques faisant intervenir les racines. Nous verrons ensuite ce que l’on appelle le résultant de deux polynômes. Une application immédiate sera la définition et le calcul du discriminant des équations du troisième degré. Cette notion sera aussi utile à la démonstration de certains théorèmes des chapitres suivants.

Définition d’une équation du troisième degré (12)[modifier | modifier le wikicode]

Avant de commencer à manipuler les équations du troisième degré, nous devons bien savoir ce que c'est.



Dans l'intégralité de ce cours, nous supposerons, si rien n'est précisé, que les coefficients de l'équation appartiennent à un ensemble quelconque et en particulier peuvent, par conséquent, être des nombres complexes.

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Exemples d'équations du troisième degré

Les équations suivantes sont des équations du troisième degré.

Essayez pour chaque équation de le montrer à titre d'exercice.

Une première méthode de résolution par la recherche d'une racine évidente (12)[modifier | modifier le wikicode]

La méthode que nous allons voir dans ce paragraphe ne marche pas dans tous les cas. Mais, quand elle marche, elle marche mieux que les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants.

Le principe en est le suivant :

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du second degré.


Recherche d'une racine évidente[modifier | modifier le wikicode]

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Factorisation du premier membre (12)[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on connaît déjà une solution (rationnelle ou pas) d'une équation de degré 3, cela permet, pour trouver les autres, de se ramener à une équation de degré 2 :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

,

qui est du second degré, pour trouver les deux racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du troisième degré.

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 1-2.



Malheureusement, cette méthode ne marche que si l’on réussit à trouver une racine dans l'équation à résoudre.

Nous verrons, dans les chapitres suivants, des méthodes qui marchent dans tous les cas.

Équations dont les coefficients sont des nombres réels[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous étudierons plus particulièrement les équations dont les coefficients appartiennent à l’ensemble des nombres réels.

Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Du théorème précédent, nous en déduisons immédiatement la propriété suivante:



Somme et produit de racines[modifier | modifier le wikicode]



Lors de l'étude des équations du second degré, vous avez dû voir qu’il existe des relations simples donnant la somme et le produit des racines en fonction des coefficients des monômes de l'équation.

Nous allons voir qu’il en est de même pour les équations du troisième degré.

Nous avons :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Le théorème précédent va nous permettre de calculer certaines expressions portant sur les racines.




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Une autre définition :



Nous avons alors la proposition suivante :



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Cette proposition est généralisée par le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Comme les polynômes symétriques élémentaires des racines d'un polynôme s'expriment simplement en fonction des coefficients de ce polynôme, nous déduisons qu'il en est de même pour tous les polynômes symétriques des racines.

Résultant de deux polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Cette notion classique est d'un niveau nettement supérieur à celui de cette leçon, et ne sera abordée sérieusement qu'au niveau 16, dans la leçon « Résultant ».

Les résultants nous serviront à résoudre des systèmes d'équations non linéaires. Donnons-en d'abord une « définition » intuitive : le résultant de deux polynômes non nuls est :

  • un polynôme en les coefficients de P et Q, qui s'annule si et seulement si P et Q ont une racine commune,
  • une « expression minimale » obtenue en « éliminant entre les deux équations » et ,

ces deux propositions (informelles) étant presque équivalentes.

Sans pouvoir donner un sens formel à la seconde, donnons-en quelques exemples.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Contrairement à la notion d'« expression minimale obtenue en éliminant entre les deux équations », la notion de résultant (qui sert à définir celle de discriminant) a une définition précise, qui vérifie clairement la première des deux « définitions intuitives » ci-dessus :



Début de l'exemple


Fin de l'exemple




La proposition suivante sera utilisée dans la prochaine section, dans le cas et .



Discriminant d’un polynôme de degré 3[modifier | modifier le wikicode]

Le discriminant d'un polynôme de degré et de coefficient dominant est défini par :

(qui est nul si et seulement si et ont une racine commune, c'est-à-dire si a une racine multiple).

Pour un polynôme de degré 3, la proposition précédente nous donne donc deux expressions du discriminant :





Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Ainsi, est un polynôme en , et , donc un polynôme symétrique en les trois racines de , qui doit s'annuler si deux de ces racines sont égales. Sa forme est remarquable :

Début d’un théorème


Fin du théorème

On en déduit une propriété importante du discriminant d'un polynôme du troisième degré :