Leçons de niveau 11

Expressions algébriques/Identités remarquables

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Identités remarquables
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Chapitre no 2
Leçon : Expressions algébriques
Chap. préc. :Quelques règles
Chap. suiv. :Compléments sur les racines

Exercices :

autres identités
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Expressions algébriques/Identités remarquables
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Nous savons que les trois Identités remarquables de base jouent un rôle important dans la transformation d'expressions algébriques. Nous allons donc, dans ce chapitre, compléter la liste avec d'autres identités remarquables pour pouvoir disposer de plus de puissance de calcul. La vérification de la justesse de ces identités remarquables est élémentaire et nous la laisserons donc au lecteur à titre d'exercice.

Identités remarquables du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont les identités remarquables que nous connaissons bien :

auxquelles nous pouvons ajouter :


Identités remarquables du troisième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du cinquième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du n-ième degré[modifier | modifier le wikicode]

Quel que soit la valeur de , nous avons :

Par contre, seulement si est impair, nous avons :


En ce qui concerne les identités remarquables de la forme , nous considérerons le tableau :

Triángulo de Pascal en tabla.png

Pour construire ce tableau, appelé « triangle de Pascal », nous remarquerons que chaque nombre du tableau est la somme des deux nombres immédiatement au dessus :

PascalTriangleAnimated2.gif

Si nous prenons une identité que nous avons vu plus haut comme :

nous remarquons que les coéfficient respectif des termes du second membre sont :

qui, comme nous pouvons le constater, corresponde à la ligne du triangle de Pascal.

Il en est de même pour toutes ces identités remarquables.

Par exemple, en se basant sur la ligne , on obtient l'identité remarquable suivante :

On remarquera que les puissances respectives de croissent et que les puissances respectives de décroissent.

S'il y a un signe dans le premier membre, on alternera les et les ainsi :

Autrement dit, on mettra un signe devant les puissances impaires de .