Expressions algébriques/Identités remarquables

Leçons de niveau 11
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Identités remarquables
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Expressions algébriques
Chap. préc. :Quelques règles
Chap. suiv. :Compléments sur les racines

Exercices :

autres identités
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Expressions algébriques : Identités remarquables
Expressions algébriques/Identités remarquables
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous savons que les trois Identités remarquables de base jouent un rôle important dans la transformation d'expressions algébriques. Nous allons donc, dans ce chapitre, compléter la liste avec d'autres identités remarquables pour pouvoir disposer de plus de puissance de calcul. La vérification de la justesse de ces identités remarquables est élémentaire et nous la laisserons donc au lecteur à titre d'exercice.

Identités remarquables du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont les identités remarquables que nous connaissons bien :

auxquelles nous pouvons ajouter :


Identités remarquables du troisième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du cinquième degré[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons :


Identités remarquables du nième degré[modifier | modifier le wikicode]

Quelle que soit la valeur de (paire ou impaire), le développement de la formule générale est la suivante:

Si l'exposant est impair, la formule générale existe. Son développement est le suivant :


En ce qui concerne les identités remarquables de la forme , nous considérerons le tableau :

Pour construire ce tableau, appelé « triangle de Pascal », nous remarquerons que chaque nombre du tableau est la somme des deux nombres situés immédiatement au-dessus :

Si nous prenons une identité que nous avons vu plus haut comme :

nous remarquons que les coefficients respectifs des termes du second membre sont :

qui, comme nous pouvons le constater, correspondent à la ligne du triangle de Pascal.

Il en est de même pour toutes ces identités remarquables.

Par exemple, en se basant sur la ligne , on obtient l'identité remarquable suivante :

On remarquera que les puissances respectives de croissent et que les puissances respectives de décroissent.

S'il y a un signe dans le premier membre, on alternera les et les ainsi :

Autrement dit, on mettra un signe devant les puissances impaires de .