Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines

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Sur la somme et le produit des racines
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Exercices no2
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Généralités sur les équations du troisième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Exercices sur l'équation du troisième degré
Exo suiv. :Sur les tracés de courbes
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Équation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que l'équation de degré 3 :

admette une racine triple α.

Montrer qu'alors,

.

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

(Cet exercice démontre une proposition du chapitre 2, utilisée pour calculer le discriminant d'un polynôme de degré 3 en fonction de ses coefficients.)

On considère un polynôme de degré 2,

.

On notera pour , et .

a) Développer et en déduire en fonction des nombres .

b) Développer et en déduire en fonction des nombres .

c) Soit un polynôme non nul de degré . Calculer le résultant

en fonction de et de .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

admettant le nombre α comme racine double.

Montrer que α est aussi racine des équations suivantes :


Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

Dont les racines sont :

Formez une équation du troisième degré dont les racines sont :



Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation de degré 3 :

.

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients a, b, c, d pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des deux autres.

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation de degré 3 :

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour que les trois racines de cette équation soient les affixes des sommets d'un triangle équilatéral dans le plan complexe.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

On note la somme du monôme et de tous ceux obtenus par permutation des trois variables (par exemple : ).

En s'inspirant de la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques fournie dans la leçon sur l'équation du quatrième degré, exprimer, en fonction des trois polynômes symétriques élémentaires , les neuf polynômes suivants :

et tester, pour , les égalités obtenues.

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que les polynômes symétriques en trois variables invariants par translation (de ces trois variables) sont les polynômes en et .

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez tous les triplets de nombres complexes vérifiant la condition suivante :

.

En déduire que le seul triplet de nombres réels vérifiant la condition précédente est le triplet (1, 1, 1).