Utilisateur:RM77/DMs

Maths, → 5/10/7

DM3, Exo 1

1. Montrer que pour tous réels $a,b$ tels que $ab<1$ : $\arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}$.
2. Que dire si $ab\geq 1$ ?

Pour cela, on pourra (mais il y a d'autres méthodes) s'intéresser, pour $a$ fixé, à la fonction :

$x\mapsto \arctan {\frac {a+x}{1-ax}}-\arctan x$.

Solution partielle, réécrite et complétée dans Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arctan. Pour une méthode plus rapide, voir le cours correspondant.

1. Soit b constante réelle.

On pose, pour tout réel a tel que $ab<1$, $f(a)=\arctan {a}+\arctan {b}-\arctan {\left({\frac {a+b}{1-ab}}\right)}$ . La fonction est continument dérivable sur l'intervalle (ouvert) défini par la condition sur le produit :

$f'(a)={\frac {1}{1+a^{2}}}+0-\left({\frac {\left({\frac {a+b}{1-ab}}\right)^{'}}{1+\left({\frac {a+b}{1-ab}}\right)^{2}}}\right)={\frac {1}{1+a^{2}}}-\left({\frac {\frac {1-ab-(a+b)(-b)}{(1-ab)^{2}}}{\frac {(1-ab)^{2}+(a+b)^{2}}{(1-ab)^{2}}}}\right)={\frac {1}{1+a^{2}}}-\left({\frac {1+b^{2}}{(1-ab)^{2}+(a+b)^{2}}}\right)$ $={\frac {(1-ab)^{2}+(a+b)^{2}-(1+b^{2})(1+a^{2})}{(1+a^{2})\cdot \left((1-ab)^{2}+(a+b)^{2}\right)}}$

Le numérateur de cette fonction s'écrit encore :

$(1-ab)^{2}+(a+b)^{2}-(1+b^{2})(1+a^{2})=1+a^{2}b^{2}-2ab+a^{2}+b^{2}+2ab-(1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2})=1-1+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}+2ab-2ab+a^{2}-a^{2}+b^{2}-b^{2}=0$

Donc, pour tout a dans l'intervalle, $f'(a)=0$, donc $f(a)={\mbox{cste}}$. On détermine cette constante à partir d'une valeur connue, autrement dit :

$f(a)=f(0)=\arctan {b}-\arctan {b}=0$

On a alors : $\arctan {a}+\arctan {b}-\arctan {\left({\frac {a+b}{1-ab}}\right)}=0$ donc $\arctan {a}+\arctan {b}=\arctan {\left({\frac {a+b}{1-ab}}\right)}$

2. Lorsque ab = 1, ${\frac {a+b}{1-ab}}$ n'est plus défini. On a en revanche la célèbre égalité :

$\arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}={\frac {\pi }{2}}$ si a > 0 et

$\arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}=-{\frac {\pi }{2}}$ si a < 0.

 

Maths, → 19/10/07

DM 5, Exo 1 : Le cercle orthoptique

Dans le plan affine euclidien orienté $\mathbb {R} ^{2}$ rapporté à son repère canonique $R=(O,{\overrightarrow {e_{1}}},{\overrightarrow {e_{2}}})$, on considère l'ellipse $(E)$ d'équation :

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

et un point $M_{0}=(x_{0},y_{0})$ extérieur à l'ellipse.

1. Pour tout réel $m$, donner l'équation de la droite $(D_{m})$ passant par $M_{0}$ et de coefficient directeur $m$.
2. Montrer que $(D_{m})$ est tangente à $(E)$ ssi $m$ est solution d'une équation du second degré que l’on précisera.
3. Montrer qu’il existe deux tangentes à $(E)$ passant par $M_{0}$ et perpendiculaires (entre elles) ssi $M_{0}$ appartient à un cercle de centre $O$ dont on donnera le rayon.

Solution : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 8.

DM 5, Exo 2 : Points cocycliques sur une conique

Dans le plan affine euclidien orienté $\mathbb {R} ^{2}$ rapporté à son repère canonique $R=(O,{\overrightarrow {e_{1}}},{\overrightarrow {e_{2}}})$, on considère une ellipse $(\Gamma )$ donnée par son équation

$f(x,y)=ax^{2}+y^{2}-c=0$ avec $a>0,a\neq 1,c>0$

Et 4 points $A,B,C,D$ deux à deux distincts de $(\Gamma )$.

1. On suppose que $A,B,C,D$ sont situés sur un même cercle $(C)$ d'équation

   $g(x,y)=x^{2}+y^{2}+2\alpha x+2\beta y+\gamma =0$

   Pour tout réel $\lambda$, on note $(E_{\lambda })$ la conique d'équation $f(x,y)-\lambda g(x,y)=0$.

   1. Montrer que les directions des axes de symétrie de $(E_{\lambda })$ ne dépendent pas de $\lambda$.
   2. Montrer qu’il existe une valeur de $\lambda$ telle que $(E_{\lambda })$ est décomposée en droites.
   3. En déduire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ou les droites $(AC)$ et $(BD)$ ou les droites $(AD)$ et $(BC)$ ont des directions symétriques par rapport aux axes de $(\Gamma )$.
2. On suppose que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ont des directions symétriques par rapport aux axes de $(\Gamma )$. Montrer que $A,B,C,D$ sont cocycliques.

Maths, → 23/11/07

DM 7, Exo 1

On considère un ensemble $E$ et deux parties $A$ et $B$ de $E$.

On note $f$ l’application de ${\mathcal {P}}(E)$ dans ${\mathcal {P}}(A)\times {\mathcal {P}}(B)$ définie par :

$f(X)=(A\cap X,B\cap X)$ pour tout $X\in {\mathcal {P}}(E)$.

1. Mq $f$ est injective ssi $A\cup B=E$
2. Mq $f$ est surjective ssi $A\cap B=\varnothing$
3. Donner une cns pour que $f$ soit bijective et expliciter la réciproque de $f$ dans ce cas.

Solution : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 8.

DM 7, Exo 2

On considère l’application $f$ de $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ vers $\mathbb {N}$ définie par :

$f(p,q)=q+{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}$

1. Montrer que la relation binaire ${\mathcal {R}}$ sur $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ définie par :

   $(p,q){\mathcal {R}}(p',q')\Leftrightarrow {\begin{cases}p+q<p'+q'\\{\text{ou }}(p+q=p'+q'{\text{ et }}q\leq q')\end{cases}}$

   est une relation d'ordre total.

2. Montrer que si $(p,q){\mathcal {R}}(p',q'){\text{ et }}(p,q)\neq (p',q')$ alors $f(p,q)<f(p',q')$.
3. Pour $p\in \mathbb {N} ^{*}$ et $q\in \mathbb {N}$, calculer $f(p-1,q+1)-f(p,q)$ et $f(q+1,0)-f(0,q)$.
4. Montrer que $(\forall n\in \mathbb {N} )(\exists (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} )\;f(p,q)=n$. On pourra procéder par récurrence sur $n$.
5. Montrer que $f$ est bijective.

Solution

1. ${\mathcal {R}}$ est même un bon ordre, comme transporté de l'ordre lexicographique par l'injection $(p,q)\mapsto (p+q,q)$ (l'ordre lexicographique sur $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ est un bon ordre parce que l'ordre sur $\mathbb {N}$ en est un).
2. Supposons $(p,q){\mathcal {R}}(p',q')$ et $(p,q)\neq (p',q')$, c'est-à-dire :
   $(p+q<p'+q')$ (1) ou $((p+q=p'+q'){\text{ et }}q<q')$ (2).
   • Dans le cas (2), l'expression de $f$ montre instantanément que $f(p,q)<f(p',q')$.
   • Dans le cas (1), on a, en notant $s=p+q$ et $t=p'+q'$ :
     $f(p',q')\geq {\frac {t(t+1)}{2}}\geq {\frac {(s+1)(s+2)}{2}}>{\frac {s(s+3)}{2}}=p+q+{\frac {s(s+1)}{2}}\geq f(p,q)$.
3. • $f(p-1,q+1)-f(p,q)=q+1+{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}-q-{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}=1$ et
   • $f(q+1,0)-f(0,q)=0+{\frac {(q+1)(q+2)}{2}}-q-{\frac {q(q+1)}{2}}=1$.
4. $f(0,0)=0$. Si $f(p,q)=n$ alors, d'après la question précédente, $n+1$ s'écrit $f(p-1,q+1)$ si $p\geq 1$, et s'écrit $f(q+1,0)$ si $p=1$.
5. La question 4 montre que $f$ est surjective. Les questions 1 et 2 montrent qu'elle est injective.

 

Maths, → 11/11/07

DM8, Exercice 1 : Dénombrement des surjections

On note $E$ un ensemble fini et $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $n$ parties de $E$.

1. 1. Exprimer $Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})$ en fonction des cardinaux de $A_{1},A_{2},A_{3}$ et de leurs intersections.
   2. Faire de même pour $Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})$.
   3. Pour tout entier $k$ tq $1\leq k\leq n$, on note : $a_{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leq n}Card(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap ...\cap A_{i_{k}})$ où la somme porte sur tous les k-uplets $(i_{1},i_{2},...,i_{k})$ d'entiers tq : $1\leq i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leq n$. Mq $Card\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}$.
2. On note $S_{p,n}$ le nombre de surjections d'un ensemble $F$ à p éléments vers un ensemble $E$ à n éléments, avec $1\leq n\leq p$.
   1. Déterminer $S_{p,1}$, $S_{p,2}$ et $S_{p,3}$.
   2. Mq ${\binom {n}{1}}S_{p,1}+{\binom {n}{2}}S_{p,2}+{\binom {n}{3}}S_{p,3}+\dots +{\binom {n}{n}}S_{p,n}=n^{p}$. On pourra pour cela classer les applications $f$ de $F$ vers $E$ suivant le cardinal de $f(F)$.
   3. Mq $S_{p,n}=n(S_{p-1,n}+S_{p-1,n-1})$. On pourra pour cela choisir un élément a de $F$ et étudier les images $f(a){\mbox{ et }}f(F\setminus \{a\})$ par $f$. En déduire la valeur de $S_{n+1,n}{\mbox{ et }}S_{n+2,n}$.
   4. En utilisant la question 1.3, mq :

      $S_{p,n}=n^{p}-{\binom {n}{1}}(n-1)^{p}+{\binom {n}{2}}(n-2)^{p}-{\binom {n}{3}}(n-3)^{p}+\dots +(-1)^{n-1}{\binom {n}{n-1}}$.

   5. Rédiger un programme Maple renvoyant $S_{p,n}$ pour des valeurs données de n et p. Calculer $S_{10,5}$.
   6. Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des $S_{p,n}$ pour $0\leq n\leq p\leq q$ où l'entier q est donné. Calculer la valeur de $S_{p,n}$ pour $0\leq n\leq p\leq 5$. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
   7. Donner le nombre de n-uplets $(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})$ de parties de $F$ réalisant une partition de $F$ en n parties.

Solution

1. Voir Formule du crible.
2. 1. Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
   2. Voir Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections.
   3. Voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-7.
   4. Voir Formule du crible/Dénombrement des surjections.
   5. Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
   6. Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !
   7. $S_{p,n}$ (parce qu'on compte les n-uplets, et non pas les partitions elles-mêmes, ce qui donnerait $S_{p,n}/n!$).