Utilisateur:RM77/DMs

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Maths, → 5/10/7[modifier | modifier le wikicode]

DM3, Exo 1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour tous réels tels que  : .
  2. Que dire si  ?

Pour cela, on pourra (mais il y a d'autres méthodes) s'intéresser, pour fixé, à la fonction :

.

Maths, → 19/10/07[modifier | modifier le wikicode]

DM 5, Exo 1 : Le cercle orthoptique[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à son repère canonique , on considère l'ellipse d'équation :

et un point extérieur à l'ellipse.

  1. Pour tout réel , donner l'équation de la droite passant par et de coefficient directeur .
  2. Montrer que est tangente à ssi est solution d'une équation du second degré que l’on précisera.
  3. Montrer qu’il existe deux tangentes à passant par et perpendiculaires (entre elles) ssi appartient à un cercle de centre dont on donnera le rayon.

Solution : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 8.

DM 5, Exo 2 : Points cocycliques sur une conique[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à son repère canonique , on considère une ellipse donnée par son équation

avec

Et 4 points deux à deux distincts de .

  1. On suppose que sont situés sur un même cercle d'équation
    Pour tout réel , on note la conique d'équation .
    1. Montrer que les directions des axes de symétrie de ne dépendent pas de .
    2. Montrer qu’il existe une valeur de telle que est décomposée en droites.
    3. En déduire que les droites et ou les droites et ou les droites et ont des directions symétriques par rapport aux axes de .
  2. On suppose que les droites et ont des directions symétriques par rapport aux axes de . Montrer que sont cocycliques.

Maths, → 23/11/07[modifier | modifier le wikicode]

DM 7, Exo 1[modifier | modifier le wikicode]

On considère un ensemble et deux parties et de .

On note l’application de dans définie par :

pour tout .
  1. Mq est injective ssi
  2. Mq est surjective ssi
  3. Donner une cns pour que soit bijective et expliciter la réciproque de dans ce cas.

Solution : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 8.

DM 7, Exo 2[modifier | modifier le wikicode]

On considère l’application de vers définie par :

  1. Montrer que la relation binaire sur définie par :
    est une relation d'ordre total.
  2. Montrer que si alors .
  3. Pour et , calculer et .
  4. Montrer que . On pourra procéder par récurrence sur .
  5. Montrer que est bijective.

Maths, → 11/11/07[modifier | modifier le wikicode]

DM8, Exercice 1 : Dénombrement des surjections[modifier | modifier le wikicode]

On note un ensemble fini et parties de .

    1. Exprimer en fonction des cardinaux de et de leurs intersections.
    2. Faire de même pour .
    3. Pour tout entier tq , on note : où la somme porte sur tous les k-uplets d'entiers tq : . Mq .
  1. On note le nombre de surjections d'un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments, avec .
    1. Déterminer , et .
    2. Mq . On pourra pour cela classer les applications de vers suivant le cardinal de .
    3. Mq . On pourra pour cela choisir un élément a de et étudier les images par . En déduire la valeur de .
    4. En utilisant la question 1.3, mq :
      .
    5. Rédiger un programme Maple renvoyant pour des valeurs données de n et p. Calculer .
    6. Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des pour où l'entier q est donné. Calculer la valeur de pour . On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
    7. Donner le nombre de n-uplets de parties de réalisant une partition de en n parties.