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Montrer que pour tous réels
a
,
b
{\displaystyle a,b}
tels que
a
b
<
1
{\displaystyle ab<1}
:
arctan
a
+
arctan
b
=
arctan
a
+
b
1
−
a
b
{\displaystyle \arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}}
.
Que dire si
a
b
≥
1
{\displaystyle ab\geq 1}
?
Pour cela, on pourra (mais il y a d'autres méthodes) s'intéresser, pour
a
{\displaystyle a}
fixé, à la fonction :
x
↦
arctan
a
+
x
1
−
a
x
−
arctan
x
{\displaystyle x\mapsto \arctan {\frac {a+x}{1-ax}}-\arctan x}
.
Dans le plan affine euclidien orienté
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
rapporté à son repère canonique
R
=
(
O
,
e
1
→
,
e
2
→
)
{\displaystyle R=(O,{\overrightarrow {e_{1}}},{\overrightarrow {e_{2}}})}
, on considère l'ellipse
(
E
)
{\displaystyle (E)}
d'équation :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
et un point
M
0
=
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M_{0}=(x_{0},y_{0})}
extérieur à l'ellipse.
Pour tout réel
m
{\displaystyle m}
, donner l'équation de la droite
(
D
m
)
{\displaystyle (D_{m})}
passant par
M
0
{\displaystyle M_{0}}
et de coefficient directeur
m
{\displaystyle m}
.
Montrer que
(
D
m
)
{\displaystyle (D_{m})}
est tangente à
(
E
)
{\displaystyle (E)}
ssi
m
{\displaystyle m}
est solution d'une équation du second degré que l’on précisera.
Montrer qu’il existe deux tangentes à
(
E
)
{\displaystyle (E)}
passant par
M
0
{\displaystyle M_{0}}
et perpendiculaires (entre elles) ssi
M
0
{\displaystyle M_{0}}
appartient à un cercle de centre
O
{\displaystyle O}
dont on donnera le rayon.
Solution : voir Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 8 .
Dans le plan affine euclidien orienté
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
rapporté à son repère canonique
R
=
(
O
,
e
1
→
,
e
2
→
)
{\displaystyle R=(O,{\overrightarrow {e_{1}}},{\overrightarrow {e_{2}}})}
, on considère une ellipse
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
donnée par son équation
f
(
x
,
y
)
=
a
x
2
+
y
2
−
c
=
0
{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+y^{2}-c=0}
avec
a
>
0
,
a
≠
1
,
c
>
0
{\displaystyle a>0,a\neq 1,c>0}
Et 4 points
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
deux à deux distincts de
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
.
On suppose que
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
sont situés sur un même cercle
(
C
)
{\displaystyle (C)}
d'équation
g
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
+
2
α
x
+
2
β
y
+
γ
=
0
{\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}+2\alpha x+2\beta y+\gamma =0}
Pour tout réel
λ
{\displaystyle \lambda }
, on note
(
E
λ
)
{\displaystyle (E_{\lambda })}
la conique d'équation
f
(
x
,
y
)
−
λ
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)-\lambda g(x,y)=0}
.
Montrer que les directions des axes de symétrie de
(
E
λ
)
{\displaystyle (E_{\lambda })}
ne dépendent pas de
λ
{\displaystyle \lambda }
.
Montrer qu’il existe une valeur de
λ
{\displaystyle \lambda }
telle que
(
E
λ
)
{\displaystyle (E_{\lambda })}
est décomposée en droites.
En déduire que les droites
(
A
B
)
{\displaystyle (AB)}
et
(
C
D
)
{\displaystyle (CD)}
ou les droites
(
A
C
)
{\displaystyle (AC)}
et
(
B
D
)
{\displaystyle (BD)}
ou les droites
(
A
D
)
{\displaystyle (AD)}
et
(
B
C
)
{\displaystyle (BC)}
ont des directions symétriques par rapport aux axes de
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
.
On suppose que les droites
(
A
B
)
{\displaystyle (AB)}
et
(
C
D
)
{\displaystyle (CD)}
ont des directions symétriques par rapport aux axes de
(
Γ
)
{\displaystyle (\Gamma )}
. Montrer que
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
sont cocycliques.
On considère un ensemble
E
{\displaystyle E}
et deux parties
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
de
E
{\displaystyle E}
.
On note
f
{\displaystyle f}
l’application de
P
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}
dans
P
(
A
)
×
P
(
B
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)\times {\mathcal {P}}(B)}
définie par :
f
(
X
)
=
(
A
∩
X
,
B
∩
X
)
{\displaystyle f(X)=(A\cap X,B\cap X)}
pour tout
X
∈
P
(
E
)
{\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(E)}
.
Mq
f
{\displaystyle f}
est injective ssi
A
∪
B
=
E
{\displaystyle A\cup B=E}
Mq
f
{\displaystyle f}
est surjective ssi
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
Donner une cns pour que
f
{\displaystyle f}
soit bijective et expliciter la réciproque de
f
{\displaystyle f}
dans ce cas.
Solution : voir Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 8 .
On considère l’application
f
{\displaystyle f}
de
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
vers
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
définie par :
f
(
p
,
q
)
=
q
+
(
p
+
q
)
(
p
+
q
+
1
)
2
{\displaystyle f(p,q)=q+{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}}
Montrer que la relation binaire
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
sur
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
définie par :
(
p
,
q
)
R
(
p
′
,
q
′
)
⇔
{
p
+
q
<
p
′
+
q
′
ou
(
p
+
q
=
p
′
+
q
′
et
q
≤
q
′
)
{\displaystyle (p,q){\mathcal {R}}(p',q')\Leftrightarrow {\begin{cases}p+q<p'+q'\\{\text{ou }}(p+q=p'+q'{\text{ et }}q\leq q')\end{cases}}}
est une relation d'ordre total .
Montrer que si
(
p
,
q
)
R
(
p
′
,
q
′
)
et
(
p
,
q
)
≠
(
p
′
,
q
′
)
{\displaystyle (p,q){\mathcal {R}}(p',q'){\text{ et }}(p,q)\neq (p',q')}
alors
f
(
p
,
q
)
<
f
(
p
′
,
q
′
)
{\displaystyle f(p,q)<f(p',q')}
.
Pour
p
∈
N
∗
{\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{*}}
et
q
∈
N
{\displaystyle q\in \mathbb {N} }
, calculer
f
(
p
−
1
,
q
+
1
)
−
f
(
p
,
q
)
{\displaystyle f(p-1,q+1)-f(p,q)}
et
f
(
q
+
1
,
0
)
−
f
(
0
,
q
)
{\displaystyle f(q+1,0)-f(0,q)}
.
Montrer que
(
∀
n
∈
N
)
(
∃
(
p
,
q
)
∈
N
×
N
)
f
(
p
,
q
)
=
n
{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\exists (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} )\;f(p,q)=n}
. On pourra procéder par récurrence sur
n
{\displaystyle n}
.
Montrer que
f
{\displaystyle f}
est bijective.
Solution
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
est même un bon ordre , comme transporté de l'ordre lexicographique par l'injection
(
p
,
q
)
↦
(
p
+
q
,
q
)
{\displaystyle (p,q)\mapsto (p+q,q)}
(l'ordre lexicographique sur
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
est un bon ordre parce que l'ordre sur
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
en est un).
Supposons
(
p
,
q
)
R
(
p
′
,
q
′
)
{\displaystyle (p,q){\mathcal {R}}(p',q')}
et
(
p
,
q
)
≠
(
p
′
,
q
′
)
{\displaystyle (p,q)\neq (p',q')}
, c'est-à-dire :
(
p
+
q
<
p
′
+
q
′
)
{\displaystyle (p+q<p'+q')}
(1) ou
(
(
p
+
q
=
p
′
+
q
′
)
et
q
<
q
′
)
{\displaystyle ((p+q=p'+q'){\text{ et }}q<q')}
(2).
Dans le cas (2), l'expression de
f
{\displaystyle f}
montre instantanément que
f
(
p
,
q
)
<
f
(
p
′
,
q
′
)
{\displaystyle f(p,q)<f(p',q')}
.
Dans le cas (1), on a, en notant
s
=
p
+
q
{\displaystyle s=p+q}
et
t
=
p
′
+
q
′
{\displaystyle t=p'+q'}
:
f
(
p
′
,
q
′
)
≥
t
(
t
+
1
)
2
≥
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
2
>
s
(
s
+
3
)
2
=
p
+
q
+
s
(
s
+
1
)
2
≥
f
(
p
,
q
)
{\displaystyle f(p',q')\geq {\frac {t(t+1)}{2}}\geq {\frac {(s+1)(s+2)}{2}}>{\frac {s(s+3)}{2}}=p+q+{\frac {s(s+1)}{2}}\geq f(p,q)}
.
f
(
p
−
1
,
q
+
1
)
−
f
(
p
,
q
)
=
q
+
1
+
(
p
+
q
)
(
p
+
q
+
1
)
2
−
q
−
(
p
+
q
)
(
p
+
q
+
1
)
2
=
1
{\displaystyle f(p-1,q+1)-f(p,q)=q+1+{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}-q-{\frac {(p+q)(p+q+1)}{2}}=1}
et
f
(
q
+
1
,
0
)
−
f
(
0
,
q
)
=
0
+
(
q
+
1
)
(
q
+
2
)
2
−
q
−
q
(
q
+
1
)
2
=
1
{\displaystyle f(q+1,0)-f(0,q)=0+{\frac {(q+1)(q+2)}{2}}-q-{\frac {q(q+1)}{2}}=1}
.
f
(
0
,
0
)
=
0
{\displaystyle f(0,0)=0}
. Si
f
(
p
,
q
)
=
n
{\displaystyle f(p,q)=n}
alors, d'après la question précédente,
n
+
1
{\displaystyle n+1}
s'écrit
f
(
p
−
1
,
q
+
1
)
{\displaystyle f(p-1,q+1)}
si
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
, et s'écrit
f
(
q
+
1
,
0
)
{\displaystyle f(q+1,0)}
si
p
=
1
{\displaystyle p=1}
.
La question 4 montre que
f
{\displaystyle f}
est surjective. Les questions 1 et 2 montrent qu'elle est injective.
On note
E
{\displaystyle E}
un ensemble fini et
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}
n
{\displaystyle n}
parties de
E
{\displaystyle E}
.
Exprimer
C
a
r
d
(
A
1
∪
A
2
∪
A
3
)
{\displaystyle Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})}
en fonction des cardinaux de
A
1
,
A
2
,
A
3
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}
et de leurs intersections.
Faire de même pour
C
a
r
d
(
A
1
∪
A
2
∪
A
3
∪
A
4
)
{\displaystyle Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})}
.
Pour tout entier
k
{\displaystyle k}
tq
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
, on note :
a
k
=
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
.
.
.
<
i
k
≤
n
C
a
r
d
(
A
i
1
∩
A
i
2
∩
.
.
.
∩
A
i
k
)
{\displaystyle a_{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leq n}Card(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap ...\cap A_{i_{k}})}
où la somme porte sur tous les k -uplets
(
i
1
,
i
2
,
.
.
.
,
i
k
)
{\displaystyle (i_{1},i_{2},...,i_{k})}
d'entiers tq :
1
≤
i
1
<
i
2
<
.
.
.
<
i
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\leq n}
. Mq
C
a
r
d
⋃
i
=
1
n
A
i
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
a
k
{\displaystyle Card\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}}
.
On note
S
p
,
n
{\displaystyle S_{p,n}}
le nombre de surjections d'un ensemble
F
{\displaystyle F}
à p éléments vers un ensemble
E
{\displaystyle E}
à n éléments, avec
1
≤
n
≤
p
{\displaystyle 1\leq n\leq p}
.
Déterminer
S
p
,
1
{\displaystyle S_{p,1}}
,
S
p
,
2
{\displaystyle S_{p,2}}
et
S
p
,
3
{\displaystyle S_{p,3}}
.
Mq
(
n
1
)
S
p
,
1
+
(
n
2
)
S
p
,
2
+
(
n
3
)
S
p
,
3
+
⋯
+
(
n
n
)
S
p
,
n
=
n
p
{\displaystyle {\binom {n}{1}}S_{p,1}+{\binom {n}{2}}S_{p,2}+{\binom {n}{3}}S_{p,3}+\dots +{\binom {n}{n}}S_{p,n}=n^{p}}
. On pourra pour cela classer les applications
f
{\displaystyle f}
de
F
{\displaystyle F}
vers
E
{\displaystyle E}
suivant le cardinal de
f
(
F
)
{\displaystyle f(F)}
.
Mq
S
p
,
n
=
n
(
S
p
−
1
,
n
+
S
p
−
1
,
n
−
1
)
{\displaystyle S_{p,n}=n(S_{p-1,n}+S_{p-1,n-1})}
. On pourra pour cela choisir un élément a de
F
{\displaystyle F}
et étudier les images
f
(
a
)
et
f
(
F
∖
{
a
}
)
{\displaystyle f(a){\mbox{ et }}f(F\setminus \{a\})}
par
f
{\displaystyle f}
. En déduire la valeur de
S
n
+
1
,
n
et
S
n
+
2
,
n
{\displaystyle S_{n+1,n}{\mbox{ et }}S_{n+2,n}}
.
En utilisant la question 1.3, mq :
S
p
,
n
=
n
p
−
(
n
1
)
(
n
−
1
)
p
+
(
n
2
)
(
n
−
2
)
p
−
(
n
3
)
(
n
−
3
)
p
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
(
n
n
−
1
)
{\displaystyle S_{p,n}=n^{p}-{\binom {n}{1}}(n-1)^{p}+{\binom {n}{2}}(n-2)^{p}-{\binom {n}{3}}(n-3)^{p}+\dots +(-1)^{n-1}{\binom {n}{n-1}}}
.
Rédiger un programme Maple renvoyant
S
p
,
n
{\displaystyle S_{p,n}}
pour des valeurs données de n et p . Calculer
S
10
,
5
{\displaystyle S_{10,5}}
.
Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des
S
p
,
n
{\displaystyle S_{p,n}}
pour
0
≤
n
≤
p
≤
q
{\displaystyle 0\leq n\leq p\leq q}
où l'entier q est donné. Calculer la valeur de
S
p
,
n
{\displaystyle S_{p,n}}
pour
0
≤
n
≤
p
≤
5
{\displaystyle 0\leq n\leq p\leq 5}
. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.
Donner le nombre de n -uplets
(
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
)
{\displaystyle (A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}
de parties de
F
{\displaystyle F}
réalisant une partition de
F
{\displaystyle F}
en n parties.