Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arctan

Exercice 2-1

Soit $a$ un réel fixé.

1. Étudier les variations de la fonction :

   $f:x\mapsto \arctan {\frac {a+x}{1-ax}}-\arctan x$.

2. En déduire que pour tout réel $b$ tel que $ab<1$,

   $\arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}$.

3. Que dire si $ab\geq 1$ ?

Solution

Le cas $a=0$ étant immédiat, supposons désormais $a\neq 0$.

1. La fonction $f$ est définie sur $D=\left]-\infty ,1/a\right[\cup \left]1/a,+\infty \right[$, et dérivable :

   ${\begin{aligned}f'(x)&=\left({\frac {\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)'}{1+\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)^{2}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&=\left({\frac {\frac {1-ax-(a+x)(-a)}{(1-ax)^{2}}}{\frac {(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}{(1-ax)^{2}}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {1+a^{2}}{(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}}-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&=0.\end{aligned}}$

   La fonction $f$ est donc constante sur chacune des deux demi-droites ($ax<1$, $ax>1$) dont $D$ est la réunion.

2. On en déduit que pour tout $b$ tel que $ab<1$, $f(b)=f(0)=\arctan a$, ce qui prouve l'égalité annoncée.
3. Par passage à la limite quand $x$ tend vers l'une des deux bornes (au choix) de la demi-droite $ax<1$, on en déduit également :

   $\arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a<0.\end{cases}}$

   Puis, lorsque $ab>1$, on obtient de même (en calculant, en l'une des deux extrémités au choix, la valeur constante de $f$ sur l'autre demi-droite, $ax>1$) :

   $\arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}+{\begin{cases}+\pi &{\text{si }}a>0\\-\pi &{\text{si }}a<0.\end{cases}}$

Remarque

Les formules pour $ab\neq 1$ ont été démontrées en cours par une méthode bien plus directe, qui permet aussi de démontrer la formule pour $ab=1$.

 

Exercice 2-2

On se propose d'établir, par deux méthodes différentes : $\forall t>0\quad \arctan t>{\frac {t}{1+t^{2}}}$.

1. Étudier les variations sur $\mathbb {R} _{+}$ de la fonction $f(t)=\arctan t-{\frac {t}{1+t^{2}}}$ et en déduire le résultat.
2. Montrer que la fonction $\arctan$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur $[0,t]$ et en déduire le même résultat.

Solution

1. $f'(t)={2t^{2} \over (1+t^{2})^{2}}>0$ et $f(0)=0$ donc $f>0$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
2. $\exists s\in \left]0,t\right[\quad {\frac {\arctan t}{t}}={\frac {1}{1+s^{2}}}>{\frac {1}{1+t^{2}}}$.