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Bac à sable

Dans ce chapitre, on amène à la formulation d'une approximation, appelée hypothèse acoustique ou approximation acoustique, dans laquelle l'étude de la propagation des ondes est relativement simple.

La nécessité d'une approximation

La mécanique des fluides est une discipline intrinsèquement non-linéaire : on ne sait, dans la très grande majorité des cas, pas donner de solution à ses problèmes. En revanche, si on est capable de « linéariser » les équations de la mécanique des fluides (c'est-à-dire les mettre sous la forme de relations linéaires), alors on dispose de nombreux outils théoriques et pratiques pour les résoudre.

Seulement, dans presque tous les cas, linéariser revient à faire une approximation. On peut justifier physiquement ces approximations dans les hypothèses de départ. Dans l'essentiel des situations réelles, elles sont bien vérifiées — on gardera cependant à l'esprit qu’elles peuvent être violées, et le cas échéant nos résultats également.

L'hypothèse des petits mouvements

Les grandeurs fondamentales en acoustique sont

• la pression $P_{\text{tot}}$ du fluide peut être écrite $P_{\text{tot}}=P_{0}+p$ où $P_{0}$ est la pression à l'équilibre et $p$ la pression acoustique ;
• la masse volumique $\rho _{\text{tot}}$ du fluide peut être écrite $\rho _{\text{tot}}=\rho _{0}+\rho$ où $\rho _{0}$ est la masse volumique à l'équilibre ;
• la vitesse (grandeur vectorielle) du fluide (qui n'est donc plus nulle) sera notée $\mathbf {v}$ et nommée vitesse acoustique.

Nous allons faire l'hypothèse la plus grossière que l’on puisse tenter : tout est constant. Au moins, on sait résoudre un tel cas : c’est la statique des fluides. Seulement... rien ne bouge, donc a fortiori aucune onde, donc... pas d'acoustique. Cette approximation « à l’ordre 0 » est trop sévère.

Prenons donc en compte les termes « d'ordre 1 » autrement dit, supposons que les phénomènes sont linéaires. On suppose pour cela que les variations de pression et de masse volumiques sont « faibles », notion sur laquelle nous reviendrons. On a : $p\ll P_{0}$ et $\rho \ll \rho _{0}$. Dans l'ensemble, on est donc très proche de l'équilibre statique, mais des variations locales sont permises, tant qu’elles sont faibles. Cette hypothèse, permet les calculs dans la limite de l'acoustique linéaire. Elle permettra une simplification des calculs qui suivent et nous reviendrons sur la validité d'une telle hypothèse par la suite.

Équations de la thermodynamique

Comme nous le comprendrons plus tard, il est nécessaire de mettre en lien la masse volumique et la pression. Pour ce faire, nous faisons appel aux relations thermodynamique et tout particulièrement celle qui lie pression, masse volumique et entropie :

$\mathrm {d} P_{\mathrm {tot} }=\left({\frac {\partial P_{\mathrm {tot} }}{\partial S}}\right)_{\!\rho _{\mathrm {tot} }}\mathrm {d} S+\left({\frac {\partial P_{\mathrm {tot} }}{\partial \rho _{\mathrm {tot} }}}\right)_{\!S}\,\mathrm {d} \rho _{\mathrm {tot} }$.

Dans le cadre de l'acoustique linéaire et de l'hypothèse des petits mouvements, on considère que le fluide qui subit une perturbation acoustique est le siège d'une transformation (alternance de compressions et de détentes) isentropique, c'est-à-dire adiabatique (la chaleur créée n'a pas le temps de se propager car le phénomène alterne de façon suffisamment rapide), et réversible (phénomène suffisamment lent, supposé quasi-statique). Dans ce cas la pression ne dépend plus que de la masse volumique. Le développement limité d'une fonction permet l'approximation de celle-ci par une somme polynomiale. Par exemple, pour la pression $P_{\text{tot}}$ en un point donné qui est une fonction de la masse volumique $\rho _{\text{tot}}$ au voisinage de $\rho _{0}$ :

$P_{\text{tot}}(\rho _{\text{tot}})=P_{\text{tot}}(\rho _{0})+{\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}(\rho _{0})\ (\rho _{\text{tot}}-\rho _{0})+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}^{2}}}(\rho _{0})\ (\rho _{\text{tot}}-\rho _{0})^{2}+\,...$

L'approximation du premier ordre mène à la linéarisation des variations entre elles, c'est-à-dire à un développement limité d'ordre 1. Par exemple, toujours pour la pression est liée et la masse volumique :

$P_{\text{tot}}\simeq P_{0}+{\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}(\rho _{0})\,\left(\rho _{\text{tot}}-\rho _{0}\right)$ ;

$p\simeq {\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}(\rho _{0})\ \rho .\qquad (1)$

On peut alors utiliser un coefficient thermoélastique appelé « compressibilité isentropique », défini par :

$\chi _{S}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}$

où $V={\frac {m}{\rho _{\text{tot}}}}$ est le volume, ici, le volume de la particule fluide de masse $m$ constante : $\mathrm {d} m=0=V\,\mathrm {d} \rho _{\text{tot}}+\rho _{\text{tot}}\,\mathrm {d} V$. Il est immédiat que :

$\chi _{s}=+{\frac {1}{\rho _{\text{tot}}}}\left({\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial P_{\text{tot}}}}\right)_{S}$.

$\left({\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}(\rho _{0})\right)_{S}={\frac {1}{\rho _{0}\,\chi _{S0}}}$

Ce qui donne, au premier ordre, en utilisant le résultat de la relation $(1)$ :

$p\simeq {\frac {1}{\rho _{0}\,\chi _{S0}}}\ \rho$ soit $\rho =\rho _{0}\,\chi _{S0}\,p.\qquad (2)$.

Équations de la mécanique des fluide

Équation de conservation de la masse

On considère une particule fluide de masse constante que l'on suit dans son déplacement : on choisit une description lagrangienne. Cette description est pratique puisque les particules font des aller-retours lors de la propagation de l'onde acoustique : il n'est pas difficile de suivre la particule. L'équation de continuité exprime la conservation de la masse en tout point :

${\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho _{\text{tot}}\cdot \mathbf {v} \right)=0.$

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

${\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial ^{2}t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial (\rho _{\text{tot}}\cdot \mathbf {v} )}{\partial t}}\right)=0.$

${\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial ^{2}t}}+\nabla \cdot \left(\underbrace {\rho _{\text{tot}}\ {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}} _{(a)}+\underbrace {{\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial t}}\ \mathbf {v} } _{(c)}\right)=0.$

La partie $(a)$ représente la variation de quantité de mouvement par accélération locale. La partie $(c)$ représente la variation de quantité de mouvement par variation de masse locale. le terme $(c)$ est négligeable devant le terme $(a)$. L'équation peut se simplifier ainsi :

${\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial ^{2}t}}+\nabla \cdot \left(\rho _{\text{tot}}\ {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\right)=0.\qquad (3)$

Équation de conservation de la quantité de mouvement

On suppose que la particule fluide ne subit que des forces de pression :

• pas de forces de frottement : le fluide est non-visqueux ;
• la force de pesanteur est négligeable.

L'équation du bilan de la quantité de mouvement, souvent nommée équation d'Euler dans le cadre de cette approximation, permet d'écrire :

$\rho _{\text{tot}}\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\nabla P_{\text{tot}}.$

$\underbrace {\rho _{\text{tot}}\,{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}} _{(a)}+\underbrace {\rho _{\text{tot}}\,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} } _{(b)}=-\nabla P_{\text{tot}}.$

La partie $(b)$ représente la variation de quantité de mouvement par accélération convective. La partie $(b)$ est négligeable devant la partie $(a)$.

$\rho _{\text{tot}}\,{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\nabla P_{\text{tot}}=0.$

En appliquant l'opérateur divergence, on obtient :

$\mathrm {\nabla } \cdot \left(\rho _{\text{tot}}\,{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\right)+\Delta P_{\text{tot}}=0.\qquad (4)$

Etablissement de l'équation d'onde

En combinant les équations $(3)$ et $(4)$, il vient :

$\Delta P_{\mathrm {tot} }-{\frac {\partial ^{2}\rho _{\mathrm {tot} }}{\partial t^{2}}}=0$.

qui peut également s'écrire :

$\Delta p-{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=0$.

En remplaçant $\rho$ par son expression trouvée en $(2)$, on obtient la relation suivante :

$\Delta p-\rho _{0}\chi _{s}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$.

Nous reviendrons sur cette relation qui est une équation d'onde au chapitre prochain. Écrite sous la forme suivante, elle permet d'exprimer la célérité de l'onde :

$\Delta p-{\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$.

Vérification des hypothèses

Pour la propagation dans l'air, on utilise couramment les valeurs qui suivent :

• $\rho _{0}=1,2\ \mathrm {kg\cdot m^{-3}}$ ;
• $c=340\ \mathrm {m\cdot s^{-3}}$ ;
• $\rho _{0}\,c=400\ \mathrm {kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}$ ;
• $\gamma =1,4$ ;
• $P_{0}=1,013\cdot 10^{5}\ \mathrm {Pa}$.

Les petits mouvements

On peut s'intéresser aux ordres de grandeur concernés par les phénomènes sonores, afin de jauger la pertinence des approximations faites.

Pour des niveaux acoustiques courants on peut évaluer, selon les hypothèses et approximations précédentes, la pression acoustique efficace $P$, la vitesse acoustique efficace ${\mathcal {V}}$ ou encore la variation de la masse volumique $\rho _{eff}$ correspondante. Pour des niveaux de pression raisonnables, les variations de pression et de masse volumique sont relativement faibles.

$L_{P}$	$P$	$P/P_{0}$	${\mathcal {V}}=P/400$	$\rho _{eff}={\frac {\rho _{0}}{\gamma \,P_{0}}}P$	$\rho _{eff}/\rho _{0}$
120 dB (seuil de douleur)	20 Pa	0,20 %	0,050 m·s-1	0,17·10-3 kg·m-3	0,14 %
140 dB	200 Pa	2,0 %	0,50 m·s-1	1,7·10-3 kg·m-3	1,4 %

Hypothèses concernant la variation de quantité de mouvement

La variation totale de la densité volumique de quantité de mouvement locale peut s'exprimer :

${\frac {\mathrm {d} (\rho \,\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial (\rho \,\mathbf {v} )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )(\rho \,\mathbf {v} )$

${\frac {\mathrm {d} (\rho \,\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=\rho \,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {v}$

${\frac {\mathrm {d} (\rho \,\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\rho \,{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}} _{(a)}+\underbrace {\rho \,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} } _{(b)}+\underbrace {{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathbf {v} } _{(c)}+\underbrace {\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {\rho } } _{(d)}$

$(a)$ : variation par accélération locale ;

$(b)$ : variation par accélération convective ;

$(c)$ : variation par variation de masse locale ;

$(d)$ : variation par variation de masse convective.

Nous allons vérifier dans quelles conditions les trois derniers termes sont négligeables devant le premier en étudiant une onde plane sinusoïdale telle qu'obtenue par la résolution de l'équation d'onde.

$p(x,t)=P{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi )=P{\sqrt {2}}\,\cos \theta$

L'équation d'Euler s'écrit :

$\rho _{0}\cdot {\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}$

$\rho _{0}\cdot {\frac {\partial v}{\partial t}}=-P{\sqrt {2}}\,k\sin \theta$

d'où

$v(x,t)=+{\frac {P{\sqrt {2}}\,k}{\rho \,\omega }}\cos \theta =+{\frac {P{\sqrt {2}}}{\rho \,c}}\cos \theta$

Par ailleurs :

$\rho (x,t)=\rho _{0}\,\chi _{s}\,p={\frac {1}{c^{2}}}\ p(x,t)$

On se place dans l'air en prenant les valeurs classiques : $c=340\ \mathrm {m\cdot s^{-1}}$ et $\rho _{0}\,c=400\ \mathrm {kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}$.

$(a)$ Variation de quantité de mouvement par accélération locale

En vue de comparer les grandeurs entre elles, on calcule la moyenne quadratique de cette variation. Elle correspond à une valeur efficace de la variation.

$\left(\rho _{0}\,{\frac {\partial v}{\partial t}}\right)^{2}=(P{\sqrt {2}}\,k)^{2}\sin ^{2}\theta$

$\langle \left(\rho _{0}\,{\frac {\partial v}{\partial t}}\right)^{2}\rangle =(P{\sqrt {2}}\,k)^{2}\,{\frac {1}{2}}=(P\,k)^{2}$

${\sqrt {\langle \left(\rho _{0}\,{\frac {\partial v}{\partial t}}\right)^{2}\rangle }}=P\,k\qquad (a)$

$(b)$ Variation de quantité de mouvement par l'accélération convective

$\rho _{0}\,v\,{\frac {\partial v}{\partial x}}=\rho _{0}\,{\frac {P{\sqrt {2}}}{\rho _{0}\,c}}\cos \theta \,{\frac {P{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}\,c}}\sin \theta =\rho _{0}\,{\frac {P^{2}}{\rho _{0}^{2}\,c^{2}}}\sin 2\theta$

$\left(\rho _{0}\,v\,{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}=\left({\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2}2\theta$

$\langle \left(\rho _{0}\,v\,{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}\rangle =\left({\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{2}}$

${\sqrt {\langle \left(\rho _{0}\,v\,{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}\rangle }}={\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}\,{\sqrt {2}}}}\qquad (b)$

Le rapport entre $(b)$ et $(a)$ vaut ${\frac {P}{\rho _{0}\,c^{2}}}\simeq {\frac {P}{400\times 340\times {\sqrt {2}}}}$

• Pour un niveau de pression acoustique $L_{P}=120\ \mathrm {dBSPL}$ correspondant au seuil de douleur, la pression efficace vaut $P=20\ \mathrm {Pa}$ : le rapport vaut $1,0\times 10^{-4}$.
• Le rapport vaut $1,0\times 10^{-3}$ pour $P=192\ \mathrm {Pa}$ soit un niveau de pression acoustique $L_{P}=140\ \mathrm {dBSPL}$.

L'accélération convective est donc négligeable dans des conditions de niveau de pression raisonnable. 

$(c)$ Variation de quantité de mouvement par variation de masse locale

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ v=-{\frac {1}{c^{2}}}\,P{\sqrt {2}}\,\omega \sin \theta \,{\frac {P{\sqrt {2}}}{\rho _{0}\,c}}\cos \theta =-{\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}}}\sin 2\theta$

$\langle \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ v\right)^{2}\rangle =\left({\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{2}}$

$\langle \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ v\right)^{2}\rangle ={\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}}}\,{\frac {1}{2}}$

${\sqrt {\langle \left(\rho _{0}\,v\,{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}\rangle }}={\frac {P^{2}\,k}{\rho _{0}\,c^{2}\,{\sqrt {2}}}}\qquad (c)$

Le résultat est exactement le même que pour le terme $(b)$. La variation de masse locale est donc négligeable dans le calcul de la variation de la quantité de mouvement, dans des conditions de niveau de pression raisonnable. 

$(d)$ Variation de quantité de mouvement par variation de masse convective

$v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {2P^{2}}{\rho _{0}^{2}\,c^{2}}}\cos ^{2}\theta \,{\frac {P{\sqrt {2}}\,k}{c^{2}}}\sin \theta ={\frac {2P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\cos ^{2}\theta \,\sin \theta$

$v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\cos \theta \,\sin 2\theta ={\frac {P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\left(\sin 3\theta +\sin \theta \right)$

$\left(v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\right)^{2}=\left({\frac {P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\right)^{2}\left(\sin 3\theta +\sin \theta \right)^{2}$

$\left(v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\right)^{2}=\left({\frac {P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\right)^{2}\left(\sin ^{2}3\theta +2\sin 3\theta \sin \theta +\sin ^{2}\theta \right)$

$\langle \left(v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\right)^{2}\rangle =\left({\frac {P^{3}{\sqrt {2}}\,k}{\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}\right)^{2}\left({\frac {1}{2}}+0+{\frac {1}{2}}\right)$

${\sqrt {\langle \left(v^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\right)^{2}\rangle }}={\frac {P^{3}\,k}{{\sqrt {2}}\,\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}$

Le rapport entre $(d)$ et $(a)$ vaut ${\frac {P^{2}}{{\sqrt {2}}\,\rho _{0}^{2}\,c^{4}}}={\frac {P^{2}}{{\sqrt {2}}\times 400^{2}\times 340^{2}}}$.

• Pour un niveau de pression acoustique $L_{P}=120\ \mathrm {dBSPL}$ correspondant au seuil de douleur, la pression efficace vaut $P=20\ \mathrm {Pa}$ : le rapport vaut $1,5\times 10^{-8}$.

La variation de masse convective est donc négligeable dans le calcul de la variation de la quantité de mouvement. 

En vrac

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En utilisant la description lagrangienne, les grandeurs décrivant la particule fluide, position vitesse pression masse volumique dépendent du temps de la position initiale de coordonnées constantes $\mathrm {d} x_{0}=\mathrm {d} y_{0}=\mathrm {d} z_{0}=0$.

${\mathrm {d} \mathbf {A} }={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\mathrm {d} t+\underbrace {{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial x_{0}}}\mathrm {d} x_{0}+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial y_{0}}}\mathrm {d} y_{0}+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial z_{0}}}\mathrm {d} z_{0}} _{=0}$

La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :

$\rho _{\text{tot}}\,{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=-\nabla P_{\text{tot}}.\qquad (3)$

En dérivant l'équation (2) par le temps puis substituant l'expression de l'équation (3) :

${\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial t^{2}}}+\mathbf {\nabla } \cdot {\frac {\partial (\rho _{\text{tot}}\mathbf {v} )}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial t^{2}}}-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\nabla } P_{\text{tot}}=0.$

${\frac {\partial ^{2}\rho _{\text{tot}}}{\partial t^{2}}}-\Delta P_{\text{tot}}=0.\qquad (4)$

Nous allons maintenant chercher à trouver un lien entre la masse volumique $\rho$ et la pression $p$.

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Pour un gaz parfait : $\chi _{S}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{\gamma \,P}}$

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Toujours en considérant que tout se passe au voisinage de $\rho _{0}$, ${\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}(\rho _{0})\simeq {\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}$, ce qui mène à :

$p\simeq {\frac {\partial P_{\text{tot}}}{\partial \rho _{\text{tot}}}}\,\rho ={\frac {\partial p}{\partial \rho }}\,\rho .\qquad (1)$

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On suppose de même l'absence de forces volumiques (gravité, champ magnétique...) et de désintégration (perte de masse).