Utilisateur:Ellande/Brouillon9

Ellande

Outils

Discussion

Brouillon 1

Brouillon 2

Brouillon 3

Brouillon 4

Brouillon 5

Brouillon 6

Brouillon 7

Brouillon 8

Brouillon 9

Bac à sable

On a vu au chapitre 1 une mise en équation locale du principe de conservation de l'énergie dans le cas d'une transformation isobare. L'équation de chaleur est une exploitation de ce résultat dans le cas particulier où il n'y a pas de source de d'énergie au sein du système et que le transfert thermique se fait par conduction uniquement (cas des solides).

Cas général

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\rho }c_{p}T\right)=\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\varphi }}+\rho \,{\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$

${\dot {e}}_{\mathrm {gen} }=0$

${\overrightarrow {\varphi }}=\lambda \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T$

$-\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\varphi }}=\mathrm {div} \left[\lambda (T)\,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right]$

$-\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\varphi }}=\lambda (T).\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\nabla }}T+{\overrightarrow {\nabla }}T.{\overrightarrow {\nabla }}\lambda$

$-\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\varphi }}=\lambda (T)\,\Delta T+{\frac {\partial \lambda }{\partial T}}\left({\overrightarrow {\nabla }}T\right)^{2}$

---

Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire $\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ en coordonnées cartésiennes, pour un intervalle de temps élémentaire $\mathrm {d} t$.

• Quantité d'énergie qui entre en dans le volume $\mathrm {d} V$ :

$\delta Q=\Phi \,\mathrm {d} t\$

• Sources internes (volumiques) $q$ (en W m^-3 )  :

$\delta Q_{\rm {prod}}=q_{\rm {prod}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=q_{\rm {prod}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$

• Chaleur stockée dans l'élément de volume à pression constante (sous forme d'élévation de température)  :

$\delta Q_{\rm {stock}}=\rho \,c_{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} T$

• Chaleur sortante  :

$Q(x_{0}+\mathrm {d} x)=\Phi \,\mathrm {d} t\$

Le premier principe de la thermodynamique impose la conservation du flux (aucune force extérieure n'est prise en compte) : $Q_{\rm {entrant}}+Q_{\rm {prod}}=Q_{\rm {stock}}+Q_{\rm {sorti}}\$

$(\Phi (x_{0})+\Phi (y_{0})+\Phi (y_{0}))\,\mathrm {d} t\ +q(\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z)\,\mathrm {d} t=\rho C_{p}(\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z)\mathrm {d} T+(\Phi (x_{0}+\mathrm {d} x)+\Phi (y_{0}+\mathrm {d} y)+\Phi (y_{0}+\mathrm {d} z))\mathrm {d} t$

Selon la loi de Fourier, en considérant la conductivité isotrope : $\Phi _{x_{0}}=-\lambda {\vec {\nabla }}T\,\cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {d\Sigma } }}$

---

Le système considéré, de volume $V$ et de surface externe $\Sigma$, est indéformable. Nous sommes dans un cas de conduction pure, aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière :

• pas de convection  ;
• $C_{v}=C(T)\$ chaleur massique en J/kg/K  ;
• masse volumique  : $\rho (T)$ .

Le taux de variation d'énergie interne U du système s'écrit ainsi : $\int _{V}\rho C{\frac {\partial T}{\partial t}}\mathrm {d} V\$
L'énergie reçue par le système à ses frontières est : $\int _{\Sigma }-{\vec {\varphi }}.{\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma \ =\int _{\Sigma }\varphi \mathrm {d} \Sigma$

(on convient du signe positif quand le système reçoit effectivement cette énergie)

Le système peut éventuellement avoir des sources internes d'énergie (effet Joule, réaction chimique, etc.) qui s'écrivent : $\int _{V}q\,\mathrm {d} V\$

Selon le premier principe de la thermodynamique :

$\int _{V}\rho C{\frac {\partial T}{\partial t}}\mathrm {d} V=\int _{\Sigma }-{\vec {\varphi }}.{\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma +\int _{V}q\,\mathrm {d} V\$

Le théorème de la divergence permet de ramener cette équation de bilan à une équation locale en chaque point :

Équation indéfinie de la chaleur

${\frac {\partial \rho CT}{\partial t}}+div{\vec {\varphi }}=q$

On rappelle que le milieu est indéformable : ${\vec {\varphi }}={\vec {\varphi }}^{cd}+{\vec {\varphi }}^{R}$
Si de plus le milieu est opaque, on a : ${\vec {\varphi }}^{R}=0$
Enfin, en milieu isotrope : ${\vec {\varphi }}={\vec {\varphi ^{cd}}}=-\lambda (T){\vec {\nabla }}T$

Dans le cas général, la conductivité du solide λ est dépendante de la température. Les grandeurs ρ et C sont également dépendantes de T, mais ne sont pas dérivées spatialement. On écrit donc :

$-div{\vec {\varphi }}=div\left[\lambda (T).{\vec {\nabla }}\;T\right]$

$-div{\vec {\varphi }}=\lambda (T).div{\vec {\nabla }}T+{\vec {\nabla }}T.{\vec {\nabla }}\lambda$

$-div{\vec {\varphi }}=\lambda (T)\Delta T+{\frac {\partial \lambda }{\partial T}}\left({\vec {\nabla }}T\right)^{2}$

L'équation de la chaleur devient :

$\rho \,C{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda (T)\Delta T+{\frac {\partial \lambda }{\partial T}}\left({\vec {\nabla }}T\right)^{2}+q$

Équation de la chaleur avec thermodépendance :

$\Delta T-{\frac {\rho \,C}{\lambda (T)}}{\frac {\partial T}{\partial t}}+{\frac {1}{\lambda (T)}}{\frac {\partial \lambda }{\partial T}}\left({\vec {\nabla }}T\right)^{2}=-{\frac {q}{\lambda (T)}}$

Sans la thermodépendance on a :

$\Delta T-{\frac {\rho \,C}{\lambda }}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{\lambda }}$

On pose : $a={\frac {\lambda }{\rho \,C}}$ (a diffusivité en $m^{2}.s^{-1})$

Équation linéaire de la chaleur sans thermodépendance :

$\Delta T-{\frac {1}{a}}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{\lambda }}$

---

---

Équation de la chaleur

$\Delta T-{\frac {1}{a}}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{k}}$ avec a diffusivité thermique

Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique