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Changement de système colorimétrique

Pour transformer les composantes, coordonnées ou fonctions colorimétriques d'un espace colorimétrique 1 à un espace colorimétrique 2, il est seulement nécessaire de connaître les coordonnées des trois primaires et du blanc de référence du système colorimétrique 2 dans le système colorimétrique 1, ainsi que la luminance relative choisie pour le blanc de référence dans le système colorimétrique 2.

Exemple : transformation CIE 1931 XYZ / TVUHD (UIT-R BT.2020)

La recommandation UIT-R BT.2020^[1] est la recommandation de l'union internationale des télécommunications qui définit les « valeurs de paramètres des systèmes de télévision à ultra haute définition pour la production et l'échange international de programmes ».


Couleur	$x$	$y$	$z$	$X$	$Y$	$Z$	$r$	$g$	$b$	$R$	$G$	$B$
Rouge [R₂₀₂₀]	0,708	0,292		$X_{R}$	$Y_{R}$	$Z_{R}$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
Vert [B₂₀₂₀]	0,170	0,797		$X_{G}$	$Y_{G}$	$Z_{G}$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
Bleu [B₂₀₂₀]	0,131	0,046		$X_{B}$	$Y_{B}$	$Z_{B}$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
Blanc D65 [D65]	0,3127	0,3290		$X_{D 65}$	$1$	$Z_{D 65}$	$1 / 3$	$1 / 3$	$1 / 3$	$1$	$1$	$1$
[X]	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
[Y]	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
[Z]	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
Blanc d'égale énergétique [E]	$1 / 3$	$1 / 3$	$1 / 3$	$1$	$1$	$1$

Pour une couleur $[C]$ quelconque, les composantes $X$ , $Y$ et $Z$ , normalisées à 1, sont toutes comprises entre 0 et 1, tout comme les composantes $R$ , $G$ et $B$ .

$[C] \equiv X [X] + Y [Y] + Z [Z]$ et $[C] \equiv R [R] + G [G] + G [G]$ .

$X = R X_{R} + G X_{G} + B X_{B}$

$Y = R Y_{R} + G Y_{G} + B Y_{B}$

$Z = R Z_{R} + G Z_{G} + B Z_{B}$

D'après la définition des coordonnées, il vient :

$X + Y + Z = \frac{Y}{y} = \frac{X}{x} = \frac{Z}{z}$ d'où $X = \frac{x}{y} Y$ et $Z = \frac{z}{y} Y$ .

Pour égaliser le blanc de référence par addition des trois primaires, selon les lois de Grassmann, les composantes du blanc sont la somme des composantes des trois primaires.

${\begin{matrix} X_{R} + X_{G} + X_{B} = X_{D 65} \\ Y_{R} + Y_{G} + Y_{B} = Y_{D 65} \\ Z_{R} + Z_{G} + Z_{B} = Z_{D 65} \end{matrix} \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix}$

La relation $(1)$ peut s'écrire $\frac{x_{R}}{y_{R}} Y_{R} + \frac{x_{G}}{y_{G}} Y_{G} + \frac{x_{B}}{y_{B}} Y_{B} = \frac{x_{D 65}}{y_{D 65}} Y_{D 65}$ .

En ajoutant membre à membre les relations $(1)$ , $(2)$ et $(3)$ , on obtient $\frac{1}{y_{R}} Y_{R} + \frac{1}{y_{G}} Y_{G} + \frac{1}{y_{G}} Y_{B} = \frac{1}{y_{D 65}} Y_{D 65} (4)$ .

En appliquant $Y_{D 65} = 1$ et en réorganisant les relation dans l'ordre $(2)$ , $(4)$ , $(1)$ , on obtient :

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{y_{R}} & \frac{1}{y_{G}} & \frac{1}{y_{B}} \\ \frac{x_{R}}{y_{R}} & \frac{x_{G}}{y_{G}} & \frac{x_{B}}{y_{B}} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} Y_{R} \\ Y_{G} \\ Y_{B} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{y_{D 65}} \\ \frac{x_{D 65}}{y_{D 65}} \end{matrix})$ ,

qui permet de calculer les coefficients de luminance :

$(\begin{matrix} Y_{R} \\ Y_{G} \\ Y_{B} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{y_{R}} & \frac{1}{y_{G}} & \frac{1}{y_{B}} \\ \frac{x_{R}}{y_{R}} & \frac{x_{G}}{y_{G}} & \frac{x_{B}}{y_{B}} \end{matrix})}^{- 1} \times (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{y_{D 65}} \\ \frac{x_{D 65}}{y_{D 65}} \end{matrix})$ .

Ne reste plus qu'à trouver les valeurs $X_{R}$ , $X_{G}$ , $X_{B}$ et $Z_{R}$ , $Z_{G}$ , $Z_{B}$ .

↑ « BT.2020 : Parameter values for ultra-high definition television systems for production and international programme exchange », sur www.itu.int (consulté le 1^er février 2024)

[1] « BT.2020 : Parameter values for ultra-high definition television systems for production and international programme exchange », sur www.itu.int (consulté le 1^er février 2024)

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