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Bac à sable

Conventions US

Utilisateur:Sharayanan/Conventions Les conventions mathématiques qui suivent sont celles généralement suivies dans les publications en langue anglaise, notamment internationales.

Quantités :

• x - (italique minuscule) : nombre réel ou complexe, scalaire ;
• x - (gras minuscule) : vecteur réel ou complexe ;
• M - (gras majuscule) : matrice, tenseur ;

Opérations :

• Le produit scalaire est noté par un point central (\cdot) : · ou $\cdot$ ;
• Le produit vectoriel est noté par une croix (\times) : × ou × ;
• La transposée d'une matrice est notée par un petit t situé après la matrice : $\mathbf {M} ^{t}$ ;

Définitions :

• Le polynôme caractéristique d'une matrice M est défini comme le déterminant de (X I_n - M).

Conventions françaises

Les conventions mathématiques qui suivent sont celles généralement suivies dans les publications en langue française.

Quantités :

• x - (italique minuscule) : nombre réel ou complexe, scalaire ;
• ${\overrightarrow {x}}$ - (italique fléché) : vecteur réel ou complexe ;
• M - (gras majuscule) : matrice, tenseur ;

Opérations :

• Le produit scalaire est noté par un point ou un point central : . ou · ;
• Le produit vectoriel est noté par une pointe (\wedge) : $\wedge$ ;
• La transposée d'une matrice est notée par un petit t situé avant la matrice : $^{t}\mathbf {M}$ ;

Définitions :

• Le polynôme caractéristique d'une matrice M est défini comme le déterminant de (M - X I_n).

Méca flu

Conservation QDM

$-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}}={\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}$

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {\partial } t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\cdot (\rho {\overrightarrow {v}})$

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\mathrm {\partial } t}}\\{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\mathrm {\partial } t}}\\{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\mathrm {\partial } t}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{x})}{\mathrm {\partial } y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{x})}{\mathrm {\partial } z}}\\{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\mathrm {\partial } x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{y})}{\mathrm {\partial } z}}\\{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\mathrm {\partial } x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\mathrm {\partial } y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\end{pmatrix}}$

Conservation M

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho {\overrightarrow {v}})=0$

${\overrightarrow {v}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho {\overrightarrow {v}})\right)={\overrightarrow {v}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\right)={\overrightarrow {0}}$

${\begin{pmatrix}v_{x}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\\v_{y}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\\v_{z}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{x}{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+v_{x}{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+v_{x}{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\\v_{y}{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+v_{y}{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+v_{y}{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\\v_{z}{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+v_{z}{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+v_{z}{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\end{pmatrix}}={\overrightarrow {0}}$

Apparaît Euler

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\\\rho {\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}\\\rho {\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\rho v_{x}{\frac {\partial (v_{x})}{\mathrm {\partial } x}}+\rho v_{y}{\frac {\partial (v_{x})}{\mathrm {\partial } y}}+\rho v_{z}{\frac {\partial (v_{x})}{\mathrm {\partial } z}}\\\rho v_{x}{\frac {\partial (v_{y})}{\mathrm {\partial } x}}+\rho v_{y}{\frac {\partial (v_{y})}{\mathrm {\partial } y}}+\rho v_{z}{\frac {\partial (v_{y})}{\mathrm {\partial } z}}\\\rho v_{x}{\frac {\partial (v_{z})}{\mathrm {\partial } x}}+\rho v_{y}{\frac {\partial (v_{z})}{\mathrm {\partial } y}}+\rho v_{z}{\frac {\partial (v_{z})}{\mathrm {\partial } z}}\end{pmatrix}}$

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}=\rho {\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+\rho ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {v}}=\rho {\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}$

 

 Changement de primaires XYZ vers RGB709

Pour de multiples applications, on peut être amené à changer complètement les primaires utilisées. Dans le cas étudié ici, on connaît les composantes (à un facteur près) qui permettent d'égaliser les nouvelles primaires. On conservera les mêmes composantes pour le blanc de référence dans les deux systèmes, en général, on prend A = 1.

Système de couleurs 3	Couleurs 3	Rouge $\{X'\}$	Vert $\{Y\}$	Bleu $\{Z\}$	Blanc $\{D_{65}\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	$A$	$A$	$A$	1
Système de couleurs 4	Couleurs 4	Rouge $\{R_{709}\}$	Vert $\{G_{709}\}$	Bleu $\{B_{709}\}$	Blanc $\{D_{65}\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	$A$	$A$	$A$	1

L'égalisation des nouvelles primaires peut alors être mesurée à un facteur près, ce qui impose :

$\{R_{709}\}\equiv k_{r}\cdot \left(X'_{R_{709}}\cdot \{X'\}+Y'_{R_{709}}\cdot \{Y'\}+Z'_{R_{709}}\cdot \{Z'\}\right)\,;$

$\{G_{709}\}\equiv k_{g}\cdot \left(X'_{G_{709}}\cdot \{X'\}+Y'_{G_{709}}\cdot \{Y'\}+Z'_{G_{709}}\cdot \{Z'\}\right)\,;$

$\{B_{709}\}\equiv k_{b}\cdot \left(X'_{B_{709}}\cdot \{X'\}+Y'_{B_{709}}\cdot \{Y'\}+Z'_{B_{709}}\cdot \{Z'\}\right)\,;$

On peut également écrire ces trois relations sous forme matricielle :

${\begin{pmatrix}\{R_{709}\}\\\{G_{709}\}\\\{B_{709}\}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}k_{r}&0&0\\0&k_{g}&0\\0&0&k_{b}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}X'_{R_{709}}&Y'_{R_{709}}&Z'_{R_{709}}\\X'_{G_{709}}&Y'_{G_{709}}&Z'_{G_{709}}\\X'_{B_{709}}&Y'_{B_{709}}&Z'_{B_{709}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{X'\}\\\{Y'\}\\\{Z'\}\end{pmatrix}}=\mathbf {D_{k}} \times \mathbf {N} \times {\begin{pmatrix}\{X'\}\\\{Y'\}\\\{Z'\}\end{pmatrix}}.$

Il faut tout d’abord déterminer les coefficients k inconnus.

${\begin{pmatrix}k_{r}\\k_{g}\\k_{b}\end{pmatrix}}={}^{t}\mathbf {N} ^{-1}\times {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}.$

On obtient les nouvelles composantes à partir des anciennes :

${\begin{pmatrix}R_{709}\\G_{709}\\B_{709}\end{pmatrix}}=\mathbf {D_{k}} ^{-1}\times {}^{t}\mathbf {N} ^{-1}\times {\begin{pmatrix}X'\\Y'\\Z'\end{pmatrix}}.$

Passage d'un système RVB aux systèmes CIE XYZ 1931 ou 1964

Soit un système RVB quelconque, il est défini parla chrominance les trois primaires et du blanc de référence.

$\textstyle \{R\}$	$\textstyle \{V\}$	$\textstyle \{B\}$	$\textstyle \{W\}$
$\textstyle (x_{R};y_{R})$	$\textstyle (x_{V};y_{V})$	$\textstyle (x_{B};y_{B})$	$\textstyle (x_{W};y_{W})$

Le blanc de référence, pour une luminance $L_{W}=Y_{W}=1\,cd.m^{-2}$ et pour composantes $R=1,\,V=1,\,B=1$

On peut retrouver les luminances nécessaires $Y_{R},\,Y_{V},\,Y_{B}$ pour les trois primaires.

${\begin{cases}Y_{W}=Y_{R}+Y_{V}+Y_{B}\\X_{W}+Y_{W}+Z_{W}=X_{R}+Y_{R}+Z_{R}+X_{V}+Y_{V}+Z_{V}+X_{B}+Y_{B}+Z_{B}\\X_{W}=X_{R}+X_{V}+X_{B}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}Y_{W}=Y_{R}+Y_{V}+Y_{B}\\{\dfrac {Y_{W}}{y_{W}}}={\dfrac {Y_{R}}{y_{R}}}+{\dfrac {Y_{V}}{y_{V}}}+{\dfrac {Y_{B}}{y_{B}}}\\x_{W}\cdot {\dfrac {Y_{W}}{y_{W}}}=x_{R}\cdot {\dfrac {Y_{R}}{y_{R}}}+x_{V}\cdot {\dfrac {Y_{V}}{y_{V}}}+x_{B}\cdot {\dfrac {Y_{B}}{y_{B}}}\end{cases}}$ ${\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{y_{W}}}\\{\frac {x_{W}}{y_{W}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\{\frac {1}{y_{R}}}&{\frac {1}{y_{V}}}&{\frac {1}{y_{B}}}\\{\frac {x_{R}}{y_{R}}}&{\frac {x_{V}}{y_{V}}}&{\frac {x_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Y_{R}\\Y_{V}\\Y_{B}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}Y_{R}\\Y_{V}\\Y_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\{\frac {1}{y_{R}}}&{\frac {1}{y_{V}}}&{\frac {1}{y_{B}}}\\{\frac {x_{R}}{y_{R}}}&{\frac {x_{V}}{y_{V}}}&{\frac {x_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{y_{W}}}\\{\frac {x_{W}}{y_{W}}}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}X_{R}\\X_{V}\\X_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{R}\cdot {\frac {Y_{R}}{y_{R}}}\\x_{V}\cdot {\frac {Y_{V}}{y_{V}}}\\x_{B}\cdot {\frac {Y_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}Z_{R}\\Z_{V}\\Z_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{R}\cdot {\frac {Y_{R}}{y_{R}}}\\z_{V}\cdot {\frac {Y_{V}}{y_{V}}}\\z_{B}\cdot {\frac {Y_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}$

On peut alors déterminer la matrice de transformation pour n'importe quelle couleur.

${\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{R}\cdot {\frac {Y_{R}}{y_{R}}}&x_{V}\cdot {\frac {Y_{V}}{y_{V}}}&x_{B}\cdot {\frac {Y_{B}}{y_{B}}}\\Y_{R}&Y_{V}&Y_{B}\\z_{R}\cdot {\frac {Y_{R}}{y_{R}}}&z_{V}\cdot {\frac {Y_{V}}{y_{V}}}&z_{B}\cdot {\frac {Y_{B}}{y_{B}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R\\V\\B\end{pmatrix}}$

CIE RGB

$L=K.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}S(\lambda )\cdot {\big (}\overbrace {1\cdot {\overline {r}}(\lambda )+4,5907\cdot {\overline {v}}(\lambda )+0,0601\cdot {\overline {b}}(\lambda )} ^{{\overline {y}}(\lambda )=V(\lambda )}{\big )}\cdot \mathrm {d} \lambda ~.$

Remarque

Nous allons employer une approche théorique simplifiée pour tenter de comprendre l'obtention expérimentale des valeurs des fonctions colorimétriques. Dans la pratique les travaux de Guild et de Wright se sont déroulés bien différemment : les couleurs quasi-monochromatiques ne sont pas faciles à produire et le blanc d'égale énergie est purement théorique. Les résultats rassemblés sous le nom de CIE 1931 ont donc, en pratique, été obtenus par correction des résultats de Guild et de Wright.

De plus, nous utiliserons les luminances (visuelle et/ou énergétique) comme grandeurs caractéristiques de la couleur et nous tâcherons de mettre en cohérence les formules de colorimétrie et les formules de photométrie.

Valeurs tabulées des fonctions colorimétriques : observateur de référence CIE 1931

$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$	$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$
380	0,001368	0,000039	0,006450	580	0,916300	0,870000	0,001650
385	0,002236	0,000064	0,010550	585	0,978600	0,816300	0,001400
390	0,004243	0,000120	0,020050	590	1,026300	0,757000	0,001100
395	0,007650	0,000217	0,036210	595	1,056700	0,694900	0,001000
400	0,014310	0,000396	0,067850	600	1,062200	0,631000	0,000800
405	0,023190	0,000640	0,110200	605	1,045600	0,566800	0,000600
410	0,043510	0,001210	0,207400	610	1,002600	0,503000	0,000340
415	0,077630	0,002180	0,371300	615	0,938400	0,441200	0,000240
420	0,134380	0,004000	0,645600	620	0,854450	0,381000	0,000190
425	0,214770	0,007300	1,039050	625	0,751400	0,321000	0,000100
430	0,283900	0,011600	1,385600	630	0,642400	0,265000	0,000050
435	0,328500	0,016840	1,622960	635	0,541900	0,217000	0,000030
440	0,348280	0,023000	1,747060	640	0,447900	0,175000	0,000020
445	0,348060	0,029800	1,782600	645	0,360800	0,138200	0,000010
450	0,336200	0,038000	1,772110	650	0,283500	0,107000	0,000000
455	0,318700	0,048000	1,744100	655	0,218700	0,081600	0,000000
460	0,290800	0,060000	1,669200	660	0,164900	0,061000	0,000000
465	0,251100	0,073900	1,528100	665	0,121200	0,044580	0,000000
470	0,195360	0,090980	1,287640	670	0,087400	0,032000	0,000000
475	0,142100	0,112600	1,041900	675	0,063600	0,023200	0,000000
480	0,095640	0,139020	0,812950	680	0,046770	0,017000	0,000000
485	0,057950	0,169300	0,616200	685	0,032900	0,011920	0,000000
490	0,032010	0,208020	0,465180	690	0,022700	0,008210	0,000000
495	0,014700	0,258600	0,353300	695	0,015840	0,005723	0,000000
500	0,004900	0,323000	0,272000	700	0,011359	0,004102	0,000000
505	0,002400	0,407300	0,212300	705	0,008111	0,002929	0,000000
510	0,009300	0,503000	0,158200	710	0,005790	0,002091	0,000000
515	0,029100	0,608200	0,111700	715	0,004109	0,001484	0,000000
520	0,063270	0,710000	0,078250	720	0,002899	0,001047	0,000000
525	0,109600	0,793200	0,057250	725	0,002049	0,000740	0,000000
530	0,165500	0,862000	0,042160	730	0,001440	0,000520	0,000000
535	0,225750	0,914850	0,029840	735	0,001000	0,000361	0,000000
540	0,290400	0,954000	0,020300	740	0,000690	0,000249	0,000000
545	0,359700	0,980300	0,013400	745	0,000476	0,000172	0,000000
550	0,433450	0,994950	0,008750	750	0,000332	0,000120	0,000000
555	0,512050	1,000000	0,005750	755	0,000235	0,000085	0,000000
560	0,594500	0,995000	0,003900	760	0,000166	0,000060	0,000000
565	0,678400	0,978600	0,002750	765	0,000117	0,000042	0,000000
570	0,762100	0,952000	0,002100	770	0,000083	0,000030	0,000000
575	0,842500	0,915400	0,001800	775	0,000059	0,000021	0,000000
				780	0,000042	0,000015	0,000000

 

cohérence colorimétrie photométrie

Composantes

Pour mettre en cohérence les formules de photométrie et celles de colorimétrie, on pose :

$\left\{{\begin{matrix}R=K\cdot \int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {r}}(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\G=K\cdot \int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {g}}(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\B=K\cdot \int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {b}}(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{matrix}}\right.$.

Luminance du blanc

La valeur de la constante K = 683 lm.W^-1 permet d'obtenir les coordonnées $\scriptstyle R_{\{E\}}=G_{\{E\}}=B_{\{E\}}=1$ pour un blanc d'égale énergie $\scriptstyle \{E\}$ de luminance :

$L_{\{E\}}=1.L_{\{R\}}+1.L_{\{G\}}+1.L_{\{B\}}=5,6508~\mathrm {cd.m^{-2}}$.

D'après la définition photométrique de la luminance :

$L_{\{E\}}=K\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }V(\lambda )\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda =K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }V(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda$.

Le spectre du blanc $\scriptstyle \{E\}$ est découpé en tranches juxtaposées de largeur ∆λ, chacune correspondant à une couleur quasi-monochromatique, centrées sur la longueur d'onde λ. La luminance énergétique sur chacune de ces bandes vaut : $\scriptstyle \Delta L'_{\{E\}}=S_{\{E\}}(\lambda ).\Delta \lambda$.

$L'_{E}=\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda =S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }\mathrm {d} \lambda$.

Luminance d'une tranche du spectre

Les primaires L'égalisation de la sensation colorée d'une tranche ∆λ, est assurée par les composantes trichromatiques $\scriptstyle (\Delta {\overline {R}},\ \Delta {\overline {G}},\ \Delta {\overline {B}})$ qui peuvent être mesurées.

$\Delta L_{\{E\}}=\Delta {\overline {R}}.L_{\{R\}}+\Delta {\overline {G}}.L_{\{G\}}+\Delta {\overline {B}}.L_{\{B\}}$

$\mathrm {d} {\overline {R}}=K.{\overline {r}}.S_{\{E\}}.V(\lambda ).\mathrm {d} \lambda$

$\Delta L_{\{E\}}=K.S_{\{E\}}.\mathrm {d} \lambda .({\overline {r}}.L_{\{R\}}+{\overline {g}}.L_{\{G\}}+{\overline {b}}.L_{\{B\}})$

Ainsi, on impose d’une part que :

$V(\lambda )={\overline {r}}.L_{\{R\}}+{\overline {g}}.L_{\{G\}}+{\overline {b}}.L_{\{B\}}$

On peut écrire d’autre part :

$\mathrm {d} {\overline {R}}=K.S_{\{E\}}.\mathrm {d} \lambda .{\overline {r}}$,

d'où

${\overline {r}}={\frac {\mathrm {d} {\overline {R}}}{K.S_{\{E\}}.\mathrm {d} \lambda }}$

Retour sur la luminance du blanc

$L_{\{E\}}=K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }({\overline {r}}.L_{\{R\}}+{\overline {g}}.L_{\{G\}}+{\overline {b}}.L_{\{B\}})\cdot \mathrm {d} \lambda$.

$L_{\{E\}}=K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \left(L_{\{R\}}.\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {r}}\cdot \mathrm {d} \lambda +L_{\{G\}}.\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {g}}\cdot \mathrm {d} \lambda +L_{\{B\}}.\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {b}}\cdot \mathrm {d} \lambda \right)$.

Ce qui impose : $K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {r}}\cdot \mathrm {d} \lambda =K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {g}}\cdot \mathrm {d} \lambda =K\cdot S_{\{E\}}(\lambda )\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {b}}\cdot \mathrm {d} \lambda =1$

On choisit souvent K de façon à ce que : $\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {r}}\cdot \mathrm {d} \lambda =\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {g}}\cdot \mathrm {d} \lambda =\int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }{\overline {b}}\cdot \mathrm {d} \lambda =1$

 

Valeurs tabulées des fonctions colorimétriques calculées à partir des valeurs normalisées des fonctions colorimétriques $\scriptstyle {\overline {x}}$, $\scriptstyle {\overline {y}}$ et $\scriptstyle {\overline {z}}$ qui sont les références.

$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {r}}$	$\scriptstyle {\overline {g}}$	$\scriptstyle {\overline {b}}$	$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {r}}$	$\scriptstyle {\overline {g}}$	$\scriptstyle {\overline {b}}$
380	0,000032	-0,000014	0,001153	580	0,245263	0,136100	-0,001080
385	0,000052	-0,000022	0,001886	585	0,279873	0,116861	-0,000930
390	0,000096	-0,000042	0,003584	590	0,309267	0,097539	-0,000789
395	0,000167	-0,000074	0,006473	595	0,331849	0,079090	-0,000620
400	0,000305	-0,000139	0,012130	600	0,344305	0,062456	-0,000488
405	0,000474	-0,000222	0,019701	605	0,347561	0,047760	-0,000375
410	0,000835	-0,000404	0,037078	610	0,339711	0,035572	-0,000299
415	0,001383	-0,000695	0,066378	615	0,322660	0,025823	-0,000218
420	0,002129	-0,001103	0,115415	620	0,297065	0,018284	-0,000151
425	0,002654	-0,001419	0,185757	625	0,263491	0,012527	-0,000109
430	0,002186	-0,001191	0,247693	630	0,226768	0,008328	-0,000075
435	0,000353	-0,000205	0,290119	635	0,192330	0,005374	-0,000049
440	-0,002618	0,001494	0,312285	640	0,159660	0,003341	-0,000030
445	-0,006722	0,003786	0,318608	645	0,129052	0,001992	-0,000018
450	-0,012132	0,006776	0,316701	650	0,101656	0,001164	-0,000012
455	-0,018723	0,010456	0,311659	655	0,078570	0,000660	-0,000007
460	-0,026097	0,014852	0,298226	660	0,059325	0,000365	-0,000004
465	-0,033228	0,019764	0,272954	665	0,043644	0,000204	-0,000002
470	-0,039324	0,025376	0,229907	670	0,031496	0,000110	-0,000001
475	-0,044706	0,031833	0,185922	675	0,022933	0,000058	-0,000001
480	-0,049375	0,039138	0,144931	680	0,016874	0,000027	0,000000
485	-0,053653	0,047131	0,109672	685	0,011876	0,000010	0,000000
490	-0,058140	0,056893	0,082581	690	0,008196	0,000003	0,000000
495	-0,064142	0,069486	0,062452	695	0,005720	0,000001	0,000000
500	-0,071726	0,085359	0,047759	700	0,004103	0,000000	0,000000
505	-0,081202	0,105929	0,036879	705	0,002929	0,000000	0,000000
510	-0,089017	0,128607	0,026980	710	0,002091	0,000000	0,000000
515	-0,093571	0,152627	0,018425	715	0,001484	0,000000	0,000000
520	-0,092652	0,174683	0,012223	720	0,001047	0,000000	0,000000
525	-0,084726	0,191132	0,008303	725	0,000740	0,000000	0,000000
530	-0,071000	0,203165	0,005484	730	0,000520	0,000000	0,000000
535	-0,053182	0,210837	0,003204	735	0,000361	0,000000	0,000000
540	-0,031521	0,214658	0,001460	740	0,000249	0,000000	0,000000
545	-0,006123	0,214871	0,000225	745	0,000172	0,000000	0,000000
550	0,022770	0,211790	-0,000575	750	0,000120	0,000000	0,000000
555	0,055158	0,205830	-0,001051	755	0,000085	0,000000	0,000000
560	0,090585	0,197026	-0,001293	760	0,000060	0,000000	0,000000
565	0,128391	0,185220	-0,001379	765	0,000042	0,000000	0,000000
570	0,167690	0,170864	-0,001351	770	0,000030	0,000000	0,000000
575	0,207165	0,154291	-0,001237	775	0,000021	0,000000	0,000000
				780	0,000015	0,000000	0,000000

 

Analyse vectorielle

Notation classique	Notation avec l'opérateur nabla
$\mathbf {grad} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {grad} )\mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {rot} \ \mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \mathbf {grad} )\mathbf {A} +\mathbf {B} \wedge \mathbf {rot} \ \mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge (\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {B} )+(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {B} \wedge (\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} )$
$\mathbf {grad} (\mathbf {A^{2}} )=2.(\mathbf {A} \cdot \mathbf {grad} )\mathbf {A} +2.\mathbf {A} \wedge \mathbf {rot} \ \mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } (\mathbf {A^{2}} )=2.(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +2.\mathbf {A} \wedge (\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} )$
$\mathrm {div} (\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} )=-\mathbf {A} \cdot \mathbf {rot} \ \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {rot} \ \mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} )=-\mathbf {A} \cdot (\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {B} )+\mathbf {B} \cdot (\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} )$
$\mathbf {rot} (\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} )=\mathbf {A} .\mathrm {div} \ \mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {grad} )\mathbf {B} -\mathbf {B} .\mathrm {div} \ \mathbf {A} +(\mathbf {B} \cdot \mathbf {grad} )\mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } \wedge (\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} )=\mathbf {A} .(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} -\mathbf {B} .(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A}$
$\mathbf {grad} (U.V)=U.\mathbf {grad} \ V+V.\mathbf {grad} \ U$ (symétrique en U et V)	$\mathbf {\nabla } (U.V)=U.\mathbf {\nabla } V+V.\mathbf {\nabla } U$
$\mathrm {div} (M.\mathbf {A} )=M.\mathrm {div} \ \mathbf {A} +\mathbf {grad} \ M.\mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } \cdot (M.\mathbf {A} )=M.(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {\nabla } M.\mathbf {A}$
$\mathbf {rot} (M.\mathbf {A} )=M.\mathbf {rot} \ \mathbf {A} +\mathbf {grad} \ M\wedge \mathbf {A}$	$\mathbf {\nabla } \wedge (M.\mathbf {A} )=M.(\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} )+\mathbf {\nabla } M\wedge \mathbf {A}$
$\Delta (U\cdot V)=U.\Delta V+2.\mathbf {grad} \ U\cdot \mathbf {grad} \ V+V.\Delta U$	$\Delta (U\cdot V)=U.\Delta V+2.\mathbf {\nabla } U\cdot \mathbf {\nabla } V+V.\Delta U$
$\mathrm {div} (U.\mathbf {grad} \ V-V.\mathbf {grad} \ U)=U.\Delta V-V.\Delta U$	$\mathbf {\nabla } \cdot (U.\mathbf {\nabla } V-V.\mathbf {\nabla } U)=U.\Delta V-V.\Delta U$

{{BD fin}}