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Utilisateur:Ellande/Brouillon6

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formulaire p.14 (30)

p.72 (88)

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Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[modifier | modifier le wikicode]

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[1] fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point causée par une source ponctuelle en un point émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soient négligeable devant les distances de propagation :

.

Diffraction de Fresnel entre deux plans[modifier | modifier le wikicode]

On néglige l'effet du facteur d'oblicité : . Si le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface alors :

.

L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points et

,

Ce qui amène l'expression

,
,

dans laquelle on identifie la réponse impulsionnelle en amplitude et sa transformée de Fourier

,

On peut observer qu'en décomposant la somme quadratique, on peut faire apparaître une transformée de Fourier :

.

Objectif sans aberration[modifier | modifier le wikicode]

Réponse impulsionnelle[modifier | modifier le wikicode]

La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée

.

Entre l'objet et la lentille[modifier | modifier le wikicode]

Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :

.

Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ se ramène à un pic de Dirac centré sur et le champ devient :

.

Au niveau de la lentille[modifier | modifier le wikicode]

p.97

L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position :

,

qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :

,

où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :

.

Après le passage de la lentille, on trouve :

.

Entre la lentille et l'image[modifier | modifier le wikicode]

Ce qui amène l'expression

,

Entre le plan objet et le plan image[modifier | modifier le wikicode]

En combinant les trois résultats précédents :

D'une part, la relation de conjugaison apporte , et la formule du grandissement indique .

D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points qui ont une contribution significative pour le facteur sont tous à proximité du point qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle et pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :

Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :

,
.

Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.

Fonction de transfert en amplitude[modifier | modifier le wikicode]

En introduisant les variable réduites et , alors il vient :

,

La fonction de transfert en amplitude

,
,

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

.

Fonction de transfert optique[modifier | modifier le wikicode]

La fonction de transfert optique est :

La fonction de transfert optique normalisée est :

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Ouverture circulaire[modifier | modifier le wikicode]

On observe que la fonction de transfert sera nulle si . Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.

Autoconvolution d'un disque

L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons . est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.

Au maximum, l'aire vaut .

et

En divisant par pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :

.

Ouverture rectangulaire[modifier | modifier le wikicode]

Formulaire[modifier | modifier le wikicode]

  1. Eugène Hecht 2005, p. 528