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La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[1] fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point
causée par une source ponctuelle en un point
émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soient négligeable devant les distances de propagation :
.
On néglige l'effet du facteur d'oblicité :
. Si le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface alors :
.
L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points
et
,
Ce qui amène l'expression
,
,
dans laquelle on identifie la réponse impulsionnelle en amplitude et sa transformée de Fourier
,


On peut observer qu'en décomposant la somme quadratique, on peut faire apparaître une transformée de Fourier :
.
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
.
Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :
.
Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ
se ramène à un pic de Dirac
centré sur
et le champ
devient :
.
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L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position
:
,
qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :
,
où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :
.
Après le passage de la lentille, on trouve :
.
Ce qui amène l'expression
,
En combinant les trois résultats précédents :
![{\displaystyle U_{i}(x,y,a,b)=h(x,y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{i}}}\ {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left[(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e57a20ecfd71b8c5a01fb9a90c305415f7d21bc)
![{\displaystyle h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2}}\left({\frac {1}{D_{i}}}+{\frac {1}{D_{o}}}-{\frac {1}{f}}\right)\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {a}{D_{o}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {b}{D_{o}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba4f32446686519ba8f5974cb2163ed501525e8)
D'une part, la relation de conjugaison apporte
, et la formule du grandissement indique
.
D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points
qui ont une contribution significative pour le facteur
sont tous à proximité du point
qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle
et
pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :
![{\displaystyle h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}{\frac {x^{2}+y^{2}}{\gamma _{t}^{2}}}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {-\gamma _{t}a}{D_{i}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {-\gamma _{t}b}{D_{i}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1195da195e9f66345ee473d0d97bece2f64b9de7)
Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :
,
.
|
Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.
En introduisant les variable réduites
et
, alors
il vient :
,

La fonction de transfert en amplitude
,
,

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).
.
|
La fonction de transfert optique est :


La fonction de transfert optique normalisée est :

On observe que la fonction de transfert sera nulle si
. Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.
Autoconvolution d'un disque
L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons
.
est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.



Au maximum, l'aire vaut
.
et 

En divisant par
pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :
.
- ↑ Eugène Hecht 2005, p. 528