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Bac à sable

formulaire p.14 (30)

p.72 (88)

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Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point $M$ causée par une source ponctuelle en un point $S$ émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soient négligeable devant les distances de propagation :

$U(M)=-\frac{i{u}_0}{\lambda }\int \subset \supset {\int }_{S}K(\theta )\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(r+s)}}{rs}\mathrm{d}S$.

Diffraction de Fresnel entre deux plans

On néglige l'effet du facteur d'oblicité : $K(\theta )=1$. Si le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface alors :

$U_i(x,y)=-\frac{i}{\lambda }\int {\int }_{S_l}{U}_l^{\text{'}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\delta }}{\delta }\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$.

L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points $(X,Y)$ et $(x,y)$

$\delta \simeq D+\frac{{(x-X)}^2}{2D}+\frac{{(y-Y)}^2}{2D}$,

Ce qui amène l'expression

$U_i(x,y)=-\frac{i}{\lambda }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_l^{\text{'}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kD}}{D}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}.k.\frac{(x-Y{)}^2+(y-Y{)}^2}{2D}}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$,

$U_i(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_l^{\text{'}}(X,Y)h(x-X,y-Y)\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$,

dans laquelle on identifie la réponse impulsionnelle en amplitude et sa transformée de Fourier

$h(x,y)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kD}}{\mathrm{i}\lambda D}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}$,

$\hat{h}(x,y)=ℱ\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kD}}{\mathrm{i}\lambda D}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi \frac{x^2+y^2}{\lambda D}}\right\}$

$\hat{h}(x,y)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kD}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi \lambda ({\nu }_x^2+{\nu }_y^2)}$

On peut observer qu'en décomposant la somme quadratique, on peut faire apparaître une transformée de Fourier :

$U_i(x,y)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}.k.D}}{\mathrm{i}\lambda D}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D}(x^2+y^2)}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(U_l^{\text{'}}(X,Y){\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D}(X^2+Y^2)}){\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{i}k}{D}(xY+yY)}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$.

Objectif sans aberration

Réponse impulsionnelle

La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée

$U_i(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_o(a,b)h(x,y,a,b)\mathrm{d}a\mathrm{d}b$.

Entre l'objet et la lentille

Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :

$U_l(X,Y,a,b)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_o}}{\mathrm{i}\lambda D_o}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_o{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_o}[(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$.

Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ $U_o$ se ramène à un pic de Dirac $\delta$ centré sur $(a,b)$ et le champ $U_l$ devient :

$U_l(X,Y,a,b)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_o}}{\mathrm{i}\lambda D_o}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_o}[(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2]}$.

Au niveau de la lentille

p.97

L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position $(X,Y)$:

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_0-\frac{X^2+Y^2}{2}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$,

qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k(n-1)\frac{X^2+Y^2}{2}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})}$,

où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}k}{2f}(X^2+Y^2)}$.

Après le passage de la lentille, on trouve :

$U_l^{\text{'}}(X,Y)=t(X,Y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}k}{2f}(X^2+Y^2)}{U}_l(X,Y)$.

Entre la lentille et l'image

Ce qui amène l'expression

$U_i(x,y)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_i}}{\mathrm{i}\lambda D_i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}_l^{\text{'}}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_i}[(x-Y{)}^2+(y-Y{)}^2]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$,

Entre le plan objet et le plan image

En combinant les trois résultats précédents :

$U_i(x,y,a,b)=h(x,y,a,b)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_i}}{\mathrm{i}\lambda D_i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_o}}{\mathrm{i}\lambda D_o}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(X,Y){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}k}{2f}(X^2+Y^2)}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_o}[(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2]}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_i}[(x-Y{)}^2+(y-Y{)}^2]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$

$h(x,y,a,b)=-\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_o}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}}{{\lambda }^2{D}_i{D}_o}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(X,Y){\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2}(\frac{1}{D_i}+\frac{1}{D_o}-\frac{1}{f})(X^2+Y^2)}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_i}(x^2+y^2)}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_o}(a^2+b^2)}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k[(\frac{a}{D_o}+\frac{x}{D_i})X+(\frac{b}{D_o}+\frac{y}{D_i})Y]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$

D'une part, la relation de conjugaison apporte $\frac{1}{D_i}+\frac{1}{D_o}-\frac{1}{f}=0$, et la formule du grandissement indique ${\gamma }_t=-\frac{D_i}{D_o}$.

D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points $(a,b)$qui ont une contribution significative pour le facteur $\frac{k}{2D_o}(a^2+b^2)$ sont tous à proximité du point $(\frac{x}{{\gamma }_t},\frac{y}{{\gamma }_t})$qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle $a\simeq \frac{x}{{\gamma }_t}$ et $b\simeq \frac{y}{{\gamma }_t}$ pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :

$h(x,y,a,b)=-\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k{D}_o}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kn{\mathrm{\Delta }}_0}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_i}(x^2+y^2)}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}k}{2D_o}\frac{x^2+y^2}{{\gamma }_t^2}}}{{\lambda }^2{D}_i{D}_o}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(X,Y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k[(\frac{-{\gamma }_{t}a}{D_i}+\frac{x}{D_i})X+(\frac{-{\gamma }_{t}b}{D_i}+\frac{y}{D_i})Y]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$

Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :

$h(x-{\gamma }_{t}a,y-{\gamma }_{t}b)=-\frac{1}{{\lambda }^2{D}_i{D}_o}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(X,Y){\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{i}k}{D_i}[(x-{\gamma }_{t}a)X+(y-{\gamma }_{t}b)Y]}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$,

$h(x,y)=-\frac{1}{{\lambda }^2{D}_i{D}_o}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(X,Y){\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{i}2\pi }{\lambda D_i}(xX+yY)}\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$.

Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.

Fonction de transfert en amplitude

En introduisant les variable réduites $X^{\prime }=\frac{-X}{\lambda D_i}$ et $Y^{\prime }=\frac{-Y}{\lambda D_i}$, alors $\mathrm{d}X=-\lambda D_i{X}^{\prime }$ il vient :

$h(x,y)={\gamma }_t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t(-\lambda D_i{X}^{\prime },-\lambda D_i{Y}^{\prime }){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi (x{X}^{\prime }+y{Y}^{\prime })}\mathrm{d}{X}^{\prime }\mathrm{d}{Y}^{\prime }$,

$h(x,y)={\gamma }_t{ℱ}^{-1}\{t(-\lambda D_i{X}^{\prime },-\lambda D_i{Y}^{\prime })\}$

La fonction de transfert en amplitude $\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)=ℱ\{h(x,y)\}$

$\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(x,y){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi (x{\nu }_x+y{\nu }_y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,

$\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)=ℱ\{h(x,y)\}=ℱ\left\{{\gamma }_t{ℱ}^{-1}\{t(-\lambda D_i{X}^{\prime },-\lambda D_i{Y}^{\prime })\}\right\}$,

$\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)={\gamma }_{t}t(-\lambda D_i{\nu }_x,-\lambda D_i{\nu }_y)$

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

$\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)={\gamma }_{t}t(\lambda D_i{\nu }_x,\lambda D_i{\nu }_y)$.

Fonction de transfert optique

$I_i(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{I}_o(a,b)\mathscr{H}(x,y,a,b)\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

$I_i(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{I}_o(a,b)|h(x,y,a,b){|}^2\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

$I_i(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{I}_o(a,b)|h(x-{\gamma }_{t}a,y-{\gamma }_{t}b){|}^2\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

La fonction de transfert optique est :

$\hat{\mathscr{H}}({\nu }_x,{\nu }_y)=ℱ\{|h(x,y){|}^2\}=ℱ\{h(x,y)\}\ast ℱ\{h(x,y)\}=\hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)\ast \hat{h}({\nu }_x,{\nu }_y)$

$\hat{\mathscr{H}}({\nu }_x,{\nu }_y)={\gamma }_t^{2}t(-\lambda D_i{\nu }_x,-\lambda D_i{\nu }_y)\ast t(-\lambda D_i{\nu }_x,-\lambda D_i{\nu }_y)$

La fonction de transfert optique normalisée est :

${\hat{\mathscr{H}}}_1({\nu }_x,{\nu }_y)=\frac{ℱ\{|h(x,y){|}^2\}}{\int {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h(x,y){|}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$

Exemples

Ouverture circulaire

$t(X,Y)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }\sqrt{X^2+Y^2}\le \frac{d}{2}\\ 0,& \text{sinon }\end{array}$

On observe que la fonction de transfert sera nulle si $\sqrt{{\nu }_x^2+{\nu }_y^2}\le {\nu }_c=\frac{d}{\lambda f}=\frac{1}{\lambda N}$. Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.

Autoconvolution d'un disque

L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons $\frac{{\nu }_c}{2}=\frac{d}{\lambda f}=\frac{1}{2\lambda N}$. ${\nu }_c$ est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.

$A=2(\frac{\theta {\nu }_c^2}{2}-{\nu }_c\cos \theta {\nu }_c\sin \theta )$

$A=2{\nu }_c^2(\frac{\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{2})$

$A=2{\nu }_c^2(\frac{\theta }{2}-\cos \theta \sin \theta )$

Au maximum, l'aire vaut $A_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\pi {\nu }_c^2$.

$\frac{\nu }{{\nu }_c}=\cos \theta$ et ${\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{\nu }{{\nu }_c}\right)}^2$

$A=2{\nu }_c^2(\frac{\arccos (\nu /{\nu }_c)}{2}-\frac{\nu }{{\nu }_c}\sqrt{1-{\left(\frac{\nu }{{\nu }_c}\right)}^2})$

En divisant par $A_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :

${\hat{\mathscr{H}}}_1(\nu )=\frac{2}{\pi }(\frac{\arccos (|\nu |/{\nu }_c)}{2}-\frac{|\nu |}{{\nu }_c}\sqrt{1-{\left(\frac{\nu }{{\nu }_c}\right)}^2})$.

Ouverture rectangulaire

$t(X,Y)={\mathrm{\Pi }}_{L/2,H/2}(X,Y)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }-\frac{L}{2}\le X\le \frac{L}{2}\text{ et si }-\frac{H}{2}\le Y\le \frac{H}{2}\\ 0,& \text{sinon }\end{array}$