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Bac à sable

formulaire p.14 (30)

p.72 (88)

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Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point $M$ causée par une source ponctuelle en un point $S$ émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soient négligeable devant les distances de propagation :

$U(M)=-{\frac {i\,u_{0}}{\lambda }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}K(\theta ){\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(r+s)}}{rs}}\mathrm {d} S$.

Diffraction de Fresnel entre deux plans

On néglige l'effet du facteur d'oblicité  : $K(\theta )=1$. Si le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface alors :

$U_{i}(x,y)=-{\frac {i}{\lambda }}\,\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{S_{l}}\!\!U_{l}^{'}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k\delta }}{\delta }}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$.

L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points $(X,Y)$ et $(x,y)$

$\delta \simeq D+{\frac {\left(x-X\right)^{2}}{2D}}+{\frac {\left(y-Y\right)^{2}}{2D}}$,

Ce qui amène l'expression

$U_{i}(x,y)=-{\frac {i}{\lambda }}\ \!\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{l}^{'}\ {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD}}{D}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}}{2D}}}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$,

$U_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{l}^{'}(X,Y)\,h(x-X,y-Y)\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$,

dans laquelle on identifie la réponse impulsionnelle en amplitude et sa transformée de Fourier

$h(x,y)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD}}{\mathrm {i} \,\lambda D}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.{\frac {x^{2}+y^{2}}{2.D}}}$,

${\hat {h}}(x,y)={\mathcal {F}}\left\{{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD}}{\mathrm {i} \,\lambda D}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi {\frac {x^{2}+y^{2}}{\lambda D}}}\right\}$

${\hat {h}}(x,y)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\pi \lambda \left(\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}\right)}$

On peut observer qu'en décomposant la somme quadratique, on peut faire apparaître une transformée de Fourier :

$U_{i}(x,y)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} .k.D}}{\mathrm {i} \,\lambda D}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D}}(x^{2}+y^{2})}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }\left(U_{l}^{'}(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D}}(X^{2}+Y^{2})}\right)\mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,k}{D}}(xY+yY)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$.

Objectif sans aberration

Réponse impulsionnelle

La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée

$U_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{o}(a,b)\,h(x,y,a,b)\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b$.

Entre l'objet et la lentille

Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est  :

$U_{l}(X,Y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \!\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{o}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$.

Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ $U_{o}$ se ramène à un pic de Dirac $\delta$ centré sur $(a,b)$ et le champ $U_{l}$ devient :

$U_{l}(X,Y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}$.

Au niveau de la lentille

p.97

L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position $(X,Y)$:

$\Delta =\Delta _{0}-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$,

qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k(n-1){\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$,

où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}$.

Après le passage de la lentille, on trouve :

$U_{l}^{'}(X,Y)=t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}U_{l}(X,Y)$.

Entre la lentille et l'image

Ce qui amène l'expression

$U_{i}(x,y)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }U_{l}^{'}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left[(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$,

Entre le plan objet et le plan image

En combinant les trois résultats précédents :

$U_{i}(x,y,a,b)=h(x,y,a,b)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{i}}}\ {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}}{\mathrm {i} \,\lambda D_{o}}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \,k}{2f}}\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left[(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}\right]}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left[(x-Y)^{2}+(y-Y)^{2}\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$

$h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2}}\left({\frac {1}{D_{i}}}+{\frac {1}{D_{o}}}-{\frac {1}{f}}\right)\left(X^{2}+Y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {a}{D_{o}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {b}{D_{o}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$

D'une part, la relation de conjugaison apporte ${\frac {1}{D_{i}}}+{\frac {1}{D_{o}}}-{\frac {1}{f}}=0$, et la formule du grandissement indique $\gamma _{t}=-{\frac {D_{i}}{D_{o}}}$.

D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points $(a,b)$qui ont une contribution significative pour le facteur ${\frac {k}{2D_{o}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)$ sont tous à proximité du point $\left({\frac {x}{\gamma _{t}}},{\frac {y}{\gamma _{t}}}\right)$qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle $a\simeq {\frac {x}{\gamma _{t}}}$ et $b\simeq {\frac {y}{\gamma _{t}}}$ pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :

$h(x,y,a,b)=-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{i}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kD_{o}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,kn\Delta _{0}}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{i}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\ \mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} \,k}{2D_{o}}}{\frac {x^{2}+y^{2}}{\gamma _{t}^{2}}}}}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,k\left[\left({\frac {-\gamma _{t}a}{D_{i}}}+{\frac {x}{D_{i}}}\right)X+\left({\frac {-\gamma _{t}b}{D_{i}}}+{\frac {y}{D_{i}}}\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$

Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :

$h(x-\gamma _{t}a\,,\,y-\gamma _{t}b)=-{\frac {1}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,k}{D_{i}}}\left[\left(x-\gamma _{t}a\right)X+\left(y-\gamma _{t}b\right)Y\right]}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$,

$h(x,y)=-{\frac {1}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,2\pi }{\lambda D_{i}}}\left(xX+yY\right)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y$.

Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.

Fonction de transfert en amplitude

En introduisant les variable réduites $X'={\frac {-X}{\lambda D_{i}}}$ et $Y'={\frac {-Y}{\lambda D_{i}}}$, alors $\mathrm {d} X=-\lambda D_{i}X'$ il vient :

$h(x,y)=\gamma _{t}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t\left(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y'\right)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,2\pi \left(xX'+yY'\right)}\ \mathrm {d} X'\ \mathrm {d} Y'$,

$h(x,y)=\gamma _{t}\ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{t(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y')\right\}$

La fonction de transfert en amplitude ${\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}$

${\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }h\left(x,y\right)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,2\pi \left(x\nu _{x}+y\nu _{y}\right)}\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y$,

${\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\gamma _{t}\ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{t(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y')\right\}\right\}$,

${\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}\ t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})$

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

${\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}\ t(\lambda D_{i}\nu _{x},\lambda D_{i}\nu _{y})$.

Fonction de transfert optique

$I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,{\mathcal {H}}(x,y,a,b)\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b$

$I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,|h(x,y,a,b)|^{2}\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b$

$I_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }I_{o}(a,b)\,|h(x-\gamma _{t}a,y-\gamma _{t}b)|^{2}\ \mathrm {d} a\ \mathrm {d} b$

La fonction de transfert optique est :

${\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}*{\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}={\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})*{\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})$

${\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}^{2}\ t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})*t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})$

La fonction de transfert optique normalisée est :

${\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu _{x},\nu _{y})={\frac {{\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}}{\int \!\int _{-\infty }^{\infty }|h(x,y)|^{2}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}$

Exemples

Ouverture circulaire

$t(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\leq {\frac {d}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}$

On observe que la fonction de transfert sera nulle si ${\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\leq \nu _{c}={\frac {d}{\lambda f}}={\frac {1}{\lambda N}}$. Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.

Autoconvolution d'un disque

L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons ${\frac {\nu _{c}}{2}}={\frac {d}{\lambda f}}={\frac {1}{2\lambda N}}$. $\nu _{c}$ est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.

$A=2\left({\frac {\theta \nu _{c}^{2}}{2}}-\nu _{c}\cos \theta \,\nu _{c}\sin \theta \right)$

$A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin 2\theta }{2}}\right)$

$A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\cos \theta \sin \theta }\right)$

Au maximum, l'aire vaut $A_{\mathrm {max} }=\pi \,\nu _{c}^{2}$.

${\frac {\nu }{\nu _{c}}}=\cos \theta$ et $\sin ^{2}\theta =1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}$

$A=2\,\nu _{c}^{2}\left({\frac {\arccos(\nu /\nu _{c})}{2}}-{{\frac {\nu }{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)$

En divisant par $A_{\mathrm {max} }$ pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient  :

${\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu )={\frac {2}{\pi }}\left({\frac {\arccos(|\nu |/\nu _{c})}{2}}-{{\frac {|\nu |}{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)$.

Ouverture rectangulaire

$t(X,Y)=\Pi _{{L}/2,H/2}(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}-{\frac {L}{2}}\leq X\leq {\frac {L}{2}}{\text{ et si }}-{\frac {H}{2}}\leq Y\leq {\frac {H}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}$