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Utilisateur:Ellande/Brouillon5

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Dans certains domaines d'étude, et notamment en optique ou en traitement d'image, il est souvent fait appel à la transformée de Fourier en plusieurs dimensions.

Dans ce chapitre, nous présenterons le cas de l'étude de la diffraction de la lumière lors de son passage par une ouverture de taille réduite. Cette étude montre que, dans des conditions détaillées plus loin, l'image formée présente une répartition de l'éclairement qui correspond à la transformée de Fourier de la forme de l'ouverture.

Onde incidente[modifier | modifier le wikicode]

Une ouverture plane est atteinte par une onde électromagnétique monochromatique de fréquence se propageant à la vitesse . est un point de cette ouverture, identifié par ses coordonnées cartésiennes et . On suppose que le champ électrique est le même sur toute la surface d'ouverture quelles que soient les coordonnées et du point . L 'onde est en phase sur l’ensemble des points de la surface , on choisit une phase à l'origine nulle ce qui permet d'écrire :

.

La densité surfacique de puissance rayonnée ou éclairement énergétique (W·m-2) correspondante s'exprime dans le vide :

.

On rappelle que : et .

Coefficient de transmission[modifier | modifier le wikicode]

Notations utilisées.

Le coefficient de transmission au point définit la forme de la surface d'ouverture. sur la surface d'ouverture et sur le reste de la surface. Il est cependant possible d'affecter des valeurs intermédiaires pour prendre en compte un éventuel filtrage optique.

Le champ électrique transmis s'exprime :

.

Principe de Huygens-Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point de la surface d'ouverture se comporte comme une source ponctuelle uniforme. L'expression du champ électrique élémentaire au point en provenance de est donnée par :

.

est le facteur d'inclinaison qui permet de considérer que les ondes diffractées émettent préférentiellement dans une direction donnée. Ce facteur qui n'apporte des changements importants que lorsque l'on considère des angles importants. Il sera considéré à l'unité dans la suite.

L'onde arrive au point , éloigné d'une distance , avec un retard . Le déphasage entre l'onde au point et l'onde au point peut s'exprimer de diverses manières parmi lesquelles : .

L'expression du champ électrique élémentaire au point devient :

.
.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées cartésiennes, la distance peut s'exprimer sous la forme :

.

.Le champ électrique résultant au point est la somme des champs électriques élémentaires en provenance des points constituant la surface  :

.

Coordonnées polaires[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées polaires, la distance peut s'exprimer sous la forme :

.

.Le champ électrique résultant au point est la somme des champs électriques élémentaires en provenance des points constituant la surface  :

.

Diffraction de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

L'approximation de Fresnel consiste à

L'expression du champ électrique élémentaire au point en provenance de donne :

,

Le champ électrique résultant au point est la somme des champs électriques élémentaires en provenance des points constituant la surface  :

.

réponse impulsionnelle en amplitude  :

.

Diffraction de Fraunhofer[modifier | modifier le wikicode]

L'approximation de Fraunhofer est utilisée pour l'observation des figures de diffraction en champ lointain ou dans le plan focal d'un système optique convergent. Pour simplifier le calcul intégral, on effectue une linéarisation (développement limité d'ordre 1) de la distance . On suppose d’une part que , ce qui donne par linéarisation :

,

et d’autre part que et en coordonnées cartésiennes ou en coordonnées polaires.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

Cette dernière hypothèse permet les approximations suivantes :

 ;
.

On obtient ainsi :

 ;
 ;
.

Le champ électrique élémentaire au point en provenance de s'exprime :

.

L'expression du champ électrique élémentaire au point en provenance de donne :

,
,

Toujours en supposant et en admettant que pour le terme d'atténuation de l'onde, ce qui revient à négliger l'influence de la différence de distance sur l'intensité mais pas sur la phase.

,

soit :

,
,

avec en V·m-1·m-2 :

.

Coordonnées polaires[modifier | modifier le wikicode]

 ;

Transformée de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

Pour retrouver exactement l’expression de la transformée de Fourier, il faut effectuer les changements de variables suivant qui permettent de définir les coordonnées réduites :

et .

Le champ électrique élémentaire au point B en provenance du point A devient :

.

Par intégration sur la surface d'ouverture on obtient le champ résultant au point B :

,
.
.

La densité surfacique de puissance (ou éclairement énergétique) en W·m-2 est donnée par la relation : .

Ainsi l'éclairement reçu au point B est obtenu de la façon suivante :

,

et en posant

,

et

,

on peut écrire que :

.

Dans le cas de l'étude de l'objectif parfait, c'est à dire dénué d'aberration, cette distribution est la fonction d'étalement du point ou réponse impulsionnelle spatiale.

Cas d'une ouverture rectangulaire[modifier | modifier le wikicode]

Le coefficient de transmission d'une ouverture rectangulaire vaut 1 sur toute l'ouverture et 0 ailleurs :

,

la répartition du champ électrique sera décrite par un sinus cardinal, transformée de Fourier d'une porte :

.

La densité surfacique de puissance reçu s'exprime :

.

La puissance totale reçue dans le plan image est :

,

où l'on reconnait l'intégrale de Dirichlet, ce qui amène :

.

Coordonnées polaires[modifier | modifier le wikicode]

Dans de cas d'une symétrie évidente autour d'un axe, il est pratique d'utiliser les coordonnées polaires dans le plan.

Comme en coordonnées cartésiennes, on effectue un changement de variable :

.

Compte tenu de la symétrie de révolution autour de l'axe optique on ne s'intéressera qu'à la direction . De plus, si l'ouverture présente une symétrie circulaire, le coefficient de transmission est indépendant de la direction  : .

La transformée de Fourier à 2 dimensions équivaut ici à une transformée de Hankel d'ordre 0 sur un espace à 2 dimensions.
----- A REVOIR -----

Par intégration sur la surface d'ouverture on obtient le champ résultant au point B :

,
.

Cas d'une ouverture circulaire[modifier | modifier le wikicode]

Le coefficient de transmission d'une ouverture circulaire vaut 1 sur toute l'ouverture et 0 ailleurs :

,

la répartition du champ électrique sera décrite par une fonction de Bessel d'ordre 1 d'un disque :

.

Calcul de la fonction de transfert de modulation (FTM ou MTF)[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer la fonction de transfert de modulation, il faut effectuer la transformée de Fourier de la fonction qui définit l'éclairement du plan image.

Il est alors plus pratique d'effectuer un changement de variable plus simple :

et ,

de sorte que

,
,

L'éclairement est proportionnel à la densité surfacique de puissance rayonnée :

,
.

La fonction de transfert optique est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle spatiale. Attention il faut retomber sur 1 au maximum pour normaliser la fonction.

Cas d'une ouverture rectangulaire[modifier | modifier le wikicode]

La réponse impulsionnelle correspond à un rectangle ce qui est l'analogue d'une fonction porte en deux dimensions. La fonction de transfert optique est l'autoconvolution de la porte ce qui correspond à l'aire de l'intersection de deux rectangles.

---------- Plus compliqué analytiquement ---------

,

  • Si ou si ou si

  • Si

Cas d'une ouverture circulaire[modifier | modifier le wikicode]

L’auto-convolution de la réponse impulsionnelle spatiale peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques.

Au maximum, l'aire vaut

et

En divisant par pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :

.

Calculs en cours[modifier | modifier le wikicode]

La puissance totale qui traverse la surface est :

.

La puissance totale qui atteint le plan image

---

En supposant sur toute la surface de la pupille :

--- Poubelle ! ---

La densité surfacique de puissance émise au point A s'exprime en fonction du champ électrique efficace comme suit :

.

La puissance rayonnée émise par l'élément de surface au point A :

.

L'onde étant supposée sphérique, la densité surfacique de puissance à une distance en provenance de l'élément de surface au point A :

.

La densité surfacique de puissance au point B en provenance de l’ensemble de la surface S :

.

On peut ainsi mettre en lien les champs électriques efficaces aux points A et B :

,

Calcul en cours[modifier | modifier le wikicode]

La figure de diffraction pour une impulsion est donnée par la transformée de Fourier de la forme de l'ouverture.

Ouverture rectangulaire

La figure de diffraction de correspondante est donnée par :

l'éclairement résultant (toujours dans le cas d'une impulsion)

L'OTF est donnée par la transformée de Fourier de l'éclairement.

Calcul en cours[modifier | modifier le wikicode]

L'image de la mire qui se forme est le produit de convolution d'un sinus par une porte ou inversement.

nt