












En ajoutant les forces orientées dans la même direction, la résultante de l'ensemble des forces sur une surface élémentaire d'orientation quelconque s'exprime :
.
Force exercée sur un élément de volume
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Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume
sont modélisées par le tenseur des contraintes. L'illustration ci-contre permet de comprendre comment se décomposent ces forces.
Sur chaque face, par convention, le vecteur surface est orienté vers l'extérieur du volume. Par exemple, la face la plus proche de nous sur l'illustration a un vecteur surface
. La force qui s'exerce sur cette face peut être décomposée en 3 forces :
- une force normale à la surface
;
- deux forces dans le plan de la surface :
dans la direction de l'axe
;
dans la direction de l'axe
.
Les indices associés à chaque contrainte indique, dans l'ordre, la direction de la force et la face sur laquelle la force s'applique. Les contraintes situées sur la diagonale correspondent à des forces de pression ce qui justifie que l'on leur affecte un nom différent. Les autres correspondent à des contraintes de cisaillement dues à la viscosité dans le cas de la mécanique des fluides.
La résultante des forces qui s'exerce sur l'élément de volume peut s'écrire :
,
: viscosité dynamique
: coefficient de seconde viscosité
tenseur de contraintes
eq de l'énergie ; Tenseur des contraintes
Produit matriciel ; Matrice transposée
Travail des forces de surface
forces dont la direction est selon l'axe y
En utilisant la dérivée particulaire :
.
On ne tient compte que des deux premiers termes qui correspondent à la variation de quantité de mouvement par accélération locale
et par variation de masse locale
. Les termes convectifs sont négligés.
- La variation par accélération convective
est négligeable.
- La variation par variation de masse convective
est négligeable.
La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :
