Mécanique des milieux continus/Description de l’évolution du milieu continu

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Choix des coordonnées

$\epsilon$ : Espace affine (espace des points)
E : Espace vectoriel associé (espace des vecteurs)

Milieu continu à deux instant t0 et t1

On définit le domaine $D_{0}$ occupé par le milieu continu à l’instant 0 avec une répartition continue de matière à l’intérieur.
Bord de $D_{0}$ : surface $\Sigma _{0}$
Bort de $D_{t}$ : surface $\Sigma _{t}$
Dans l’espace des points $\epsilon$, on peut choisir une origine O. Les points $M_{0}$ de $D_{0}$ sont déterminés par les composantes $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ du vecteur $\textstyle {{\vec {X}}={\overrightarrow {OM_{0}}}}$ dans la base ${\vec {e_{1}}}$, ${\vec {e_{2}}}$ et ${\vec {e_{3}}}$ choisie orthonormée en général.
À l’instant t, le point $M_{0}$ de $D_{0}$ est devenu un point M de $D_{t}$ déterminé par les composantes $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$ du vecteur $\textstyle {{\vec {x}}={\overrightarrow {OM}}}$.

${\vec {X}}=X_{1}{\vec {e_{1}}}+X_{2}{\vec {e_{2}}}+X_{3}{\vec {e_{3}}}\qquad ;\qquad {\vec {x}}=x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}}$

Connaître le mouvement d’un milieu continu, c’est d’être capable d’exprimer la position du point M en fonction de sa position initiale $M_{0}$ et du temps t.
$x_{1}=\phi _{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)$
$x_{2}=\phi _{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\,\qquad ou\qquad {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$
$x_{3}=\phi _{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)$
Connaître le mouvement, c’est connaître la fonction $\phi$ qui permet de faire la transformation entre les deux états étudiés ($D_{0}$ et $D_{t}$).

Hypothèses

• Un point M est issu d’un seul point $M_{0}$.

On appelle trajectoire la courbe suivie par le point $M_{0}$ au cours du temps.

• On suppose que les trajectoires ne se mélangent pas.
• On suppose que la fonction $\phi$ est continue et dérivable au moins 2 fois par rapport au temps. (→ permet d'introduire la vitesse et l'accélération en termes de fonction continu)
• On suppose que la fonction $\phi$ est inversible par rapport à X. À tout instant t, ${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$ peut s’inverser en ${\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$.

Connaître le mouvement peut se regarder d’une deuxième façon : c’est d’être capable de dire où se trouvait à l’instant 0 la particule qui se trouve en x à l’instant t.
Les 4 variables ($X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, t) sont dites variables de Lagrange. C’est le choix de variable que l’on fait quand on exprime le mouvement de ${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$.
Les 4 variables ($x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, t) sont dites variables d'Euler. C’est le choix de variable que l’ont fait quand on veut exprimer le mouvement de ${\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$
.
Exemple : La vitesse d’un point M peut être exprimée en fonction de $M_{0}$ et de t (variables de Lagrange) ou en fonction de M et de t (variables d’Euler).
Un solide rigide est un milieu continu particulier. Il garde toujours la même forme. Son champ des vitesses s’exprime facilement en variables d’Euler.
Rappel : ${\overrightarrow {V(M/T_{0})}}={\overrightarrow {V(G/T_{0})}}+{\overrightarrow {\Omega (S/T_{0})}}\wedge {\overrightarrow {GM}}$ avec $T_{0}=(O;{\vec {e}}_{1};{\vec {e}}_{2};{\vec {e}}_{3})$ (Pour un solide indéformable).
${\overrightarrow {V(G/T_{0})}}$ et ${\overrightarrow {\Omega (S/T_{0})}}$ : ne dépendent que du temps.
${\overrightarrow {GM}}$ : Position actuelle à l’instant t.
Notation :

$y_{1}(t)$	$y_{2}(t)$	$y_{3}(t)$	coordonnée du centre d’inertie
$\omega _{1}(t)$	$\omega _{2}(t)$	$\omega _{3}(t)$	composantes du vecteur rotation instantané
${\frac {dy_{1}(t)}{dt}}$	${\frac {dy_{2}(t)}{dt}}$	${\frac {dy_{3}(t)}{dt}}$	composantes de la vitesse de G

La vitesse du point M a pour composantes :

${\begin{matrix}V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{1}(t)}{dt}}+\omega _{2}(t)\left[x_{3}-y_{3}(t)\right]-\omega _{3}(t)\left[x_{2}-y_{2}(t)\right]\\V_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{2}(t)}{dt}}+\omega _{3}(t)\left[x_{1}-y_{1}(t)\right]-\omega _{1}(t)\left[x_{3}-y_{3}(t)\right]\\V_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{3}(t)}{dt}}+\omega _{1}(t)\left[x_{2}-y_{2}(t)\right]-\omega _{2}(t)\left[x_{1}-y_{1}(t)\right]\end{matrix}}$

Ou encore

${\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {d{\vec {y}}(t)}{dt}}+{\vec {\omega }}\wedge \left[{\vec {x}}-{\vec {y}}(t)\right]$

Comme on prend toujours le même repère $T_{0}$, on ne le précise pas mais on précise bien les 4 variables $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ et t.

Vitesse

Définition

La vitesse d’un point, c’est la dérivée de sa position par rapport au temps.

Expression de la vitesse en variable Lagrange

En dérivant la position ${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$ par rapport au temps on obtient un vecteur ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}$ dépendant de ${\vec {X}}$ et de t.
Ce n’est pas très pratique d’exprimer la vitesse en fonction de la position initiale et du temps. En effet quand on souhaite connaître une vitesse, c’est celle d’un point qu’on observe ${\vec {x}}$ et non d’un point dont sa position initiale était ${\vec {X}}$.

Expression de la vitesse en variable d’Euler

Le vecteur ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}$ peut être ré exprimé en varaiable d’Euler puisque ${\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$. En faisant le remplacement de ${\vec {X}}$ par ${\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$ on obtient :

${\vec {V}}({\vec {X}},t)={\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}\qquad ->\qquad {\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {\psi }}({\vec {x}},t),t)}{\partial t}}$

Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler

1. Dérivée partiellement par rapport au temps la position ${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$. On obtient un vecteur ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}$.
2. Inverser ${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$ en ${\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$.
3. Remplacer ${\vec {X}}$ par ${\vec {\psi }}({\vec {x}},t)$ dans ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}$.

Exemple - Dilatation d'une boule

Représentation d'une boule qui se dilate

Facteur de dilatation $\lambda (t)$ supposé dérivable et positif.
Le vecteur ${\vec {x}}$ est définit par ${\vec {x}}({\vec {X}},t)=\lambda (t){\vec {X}}$.
À l'instant t=0, ${\vec {x}}$ est en ${\vec {X}}$ (position initiale) ce qui implique que $\lambda (0)=1$.

1. ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\vec {X}}$
2. ${\vec {x}}({\vec {X}},t)={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)=\lambda (t){\vec {X}}\quad \to \quad {\vec {X}}={\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}$
3. ${\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\vec {X}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}$

La vitesse est donc égale à : ${\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}$ (vitesse colinéaire à ${\vec {x}}\to$ déformation radiale)

Accélération

Définition

L’accélération, c’est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.

Calcul des composantes de l’accélération

On recherche les composantes $\gamma ^{1}$, $\gamma ^{2}$ et $\gamma ^{3}$ du vecteur accélération ${\vec {\gamma }}$ en dérivant par rapport au temps les composantes de la vitesse.
Par exemple $\gamma ^{1}(x^{1},x^{2},x^{3},t)$ s’obtient en dérivant $V^{1}(x^{1},x^{2},x^{3},t)$ par rapport au temps en n’oubliant pas que $x^{1}$ ,$x^{2}$ et $x^{3}$ dépendent du temps (${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$). On dit que x dépend implicitement du temps si on dérive $V^{1}$ par rapport au temps.

Dérivée particulaire d’une fonction

Définition

Soit $h(x^{1},x^{2},x^{3},t)$ une fonction de la position actuelle ${\vec {x}}$ et du temps t, on appelle dérivée particulaire de la fonction h la fonction obtenue en dérivant par rapport au temps l’expression de la fonction h sans oublier que la position x dépend du temps (${\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)$ ; on dit que ${\vec {x}}$ dépend du temps de façon implicite).

Remarque : La dérivée partielle ${\frac {\partial h}{\partial t}}$ ne tient compte que de la dépendance explicite par rapport au temps. Cela signifie qu’elle ne prendrait pas compte que ${\vec {x}}$ dépend implicitement du temps t.

Notation : La dérivée particulaire sera notée ${\frac {dh}{dt}}$. C’est la dérivée partielle + la contribution de la dépendance implicite de $x^{1}$,$x^{2}$ et $x^{3}$ par rapport au temps.

Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction

D’après le théorème de la dérivée d’une fonction composée, on peut écrire :

$\underbrace {\frac {dh}{dt}} _{\text{derivee particulaire}}=\underbrace {\frac {\partial h}{\partial t}} _{\text{derivee partielle}}+\underbrace {{\frac {\partial h}{\partial x^{1}}}{\frac {\partial x^{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial x^{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{3}}}{\frac {\partial x^{3}}{\partial t}}} _{{\text{dependance implicite de}}\ x\ {\text{par rapport au temps}}}$

Dérivée particulaire d’un vecteur

Composantes de ${\frac {d{\vec {w}}}{dt}}$

La différenciation du vecteur ${\vec {w}}$ se fait, selon les coordonnées choisies :

$d{\vec {w}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{2}}}dx_{2}+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{3}}}dx_{3}$

En divisant par $dt$, on trouve :

${\frac {d{\vec {w}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{2}}}+{\frac {dx_{3}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{3}}}$

Soit :

${\frac {d{\vec {w}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\textrm {grad}}}){\vec {w}}$

Ligne de courant et trajectoires

Un mouvement de milieu continu est donné.

Si l’on fixe une particule , la trajectoire au sens de la cinématique est exactement la trajectoire vue comme trajectoire du champ eulérien des vitesses au sens des systèmes dynamiques, le paramètre étant ici le temps .

Si l’on fixe un instant , la position de à cet instant est . La trajectoire de au sens des systèmes dynamiques, pour le champ eulérien des vitesses à l’instant , est une courbe qui peut être sans rapport avec le mouvement de

C’est ainsi qu’apparait la notion de ligne de courant (on devrait préciser : à l’instant ). Pour ces courbes, étant fixé, le paramètre n’a aucun rapport avec le temps. Voici un exemple (le détail des calculs n’a pas d’importance pour l’instant).

est un carré du plan, le mouvement est défini pour  par

De la relation on déduit le champ des vitesses

La figure suivante représente les pour à avec un pas . Pour , on obtient le carré initial (en bas), et l’on suit le mouvement d’un réseau de 36 points, où sont représentés les vecteurs . Les lignes de courant à un instant fixé sont les courbes d’équation

La figure suivante représente des lignes de courant à l’instant . Le mouvement n’est pas stationnaire, les trajectoires sont distinctes des lignes de courant. Elles sont rectilignes.

Dans le cas où le champ des vitesses à  fixé n’admet pas de solution exacte facilement exprimable, ou si le champ n’est pas défini analytiquement mais en des points donnés d’un maillage numérique ou expérimental, il faut procéder à une résolution numérique et donc commencer par discrétiser les équations... Dans ce cas, le résultat n’est généralement pas une expression analytique ou paramétrique des lignes de courant, mais juste leur tracé comme sur la figure ci-dessous qui représente quelques lignes de courant (les courbes en rouge) du champ de vitesse à un instant  d’un jet plan en impact sur une plaque perpendiculaire au jet (les vecteurs vitesses - un peu flous - sont colorées en fonction de leur norme).