Leçons de niveau 14

Mécanique des milieux continus/Description de l’évolution du milieu continu

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Description de l’évolution du milieu continu
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique des milieux continus
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Choix des coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

 : Espace affine (espace des points)
E : Espace vectoriel associé (espace des vecteurs)

Milieu continu à deux instant t0 et t1


On définit le domaine occupé par le milieu continu à l’instant 0 avec une répartition continue de matière à l’intérieur.
Bord de  : surface
Bort de  : surface
Dans l’espace des points , on peut choisir une origine O. Les points de sont déterminés par les composantes , et du vecteur dans la base , et choisie orthonormée en général.
À l’instant t, le point de est devenu un point M de déterminé par les composantes , et du vecteur .


Connaître le mouvement d’un milieu continu, c’est d’être capable d’exprimer la position du point M en fonction de sa position initiale et du temps t.



Connaître le mouvement, c’est connaître la fonction qui permet de faire la transformation entre les deux états étudiés ( et ).


Connaître le mouvement peut se regarder d’une deuxième façon : c’est d’être capable de dire où se trouvait à l’instant 0 la particule qui se trouve en x à l’instant t.
Les 4 variables (, , , t) sont dites variables de Lagrange. C’est le choix de variable que l’on fait quand on exprime le mouvement de .
Les 4 variables (, , , t) sont dites variables d'Euler. C’est le choix de variable que l’ont fait quand on veut exprimer le mouvement de
.
Exemple : La vitesse d’un point M peut être exprimée en fonction de et de t (variables de Lagrange) ou en fonction de M et de t (variables d’Euler).
Un solide rigide est un milieu continu particulier. Il garde toujours la même forme. Son champ des vitesses s’exprime facilement en variables d’Euler.
Rappel : avec (Pour un solide indéformable).
et  : ne dépendent que du temps.
 : Position actuelle à l’instant t.
Notation :

coordonnée du centre d’inertie
composantes du vecteur rotation instantané
composantes de la vitesse de G


La vitesse du point M a pour composantes :


Ou encore


Comme on prend toujours le même repère , on ne le précise pas mais on précise bien les 4 variables , , et t.

Vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La vitesse d’un point, c’est la dérivée de sa position par rapport au temps.

Expression de la vitesse en variable Lagrange[modifier | modifier le wikicode]

En dérivant la position par rapport au temps on obtient un vecteur dépendant de et de t.
Ce n’est pas très pratique d’exprimer la vitesse en fonction de la position initiale et du temps. En effet quand on souhaite connaître une vitesse, c’est celle d’un point qu’on observe et non d’un point dont sa position initiale était .

Expression de la vitesse en variable d’Euler[modifier | modifier le wikicode]

Le vecteur peut être ré exprimé en varaiable d’Euler puisque . En faisant le remplacement de par on obtient :

Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dérivée partiellement par rapport au temps la position . On obtient un vecteur .
  2. Inverser en .
  3. Remplacer par dans .



Accélération[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

L’accélération, c’est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.

Calcul des composantes de l’accélération[modifier | modifier le wikicode]

On recherche les composantes , et du vecteur accélération en dérivant par rapport au temps les composantes de la vitesse.
Par exemple s’obtient en dérivant par rapport au temps en n’oubliant pas que , et dépendent du temps (). On dit que x dépend implicitement du temps si on dérive par rapport au temps.

Dérivée particulaire d’une fonction[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction de la position actuelle et du temps t, on appelle dérivée particulaire de la fonction h la fonction obtenue en dérivant par rapport au temps l’expression de la fonction h sans oublier que la position x dépend du temps ( ; on dit que dépend du temps de façon implicite).

Remarque : La dérivée partielle ne tient compte que de la dépendance explicite par rapport au temps. Cela signifie qu’elle ne prendrait pas compte que dépend implicitement du temps t.

Notation : La dérivée particulaire sera notée . C’est la dérivée partielle + la contribution de la dépendance implicite de , et par rapport au temps.

Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction[modifier | modifier le wikicode]

D’après le théorème de la dérivée d’une fonction composée, on peut écrire :

Dérivée particulaire d’un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Composantes de [modifier | modifier le wikicode]

La différenciation du vecteur se fait, selon les coordonnées choisies :

En divisant par , on trouve :

Soit :

Première expression de l’accélération[modifier | modifier le wikicode]

Deuxième expression de l’accélération, une expression complètement vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Ligne de courant et trajectoires[modifier | modifier le wikicode]

Un mouvement de milieu continu est donné.

Si l’on fixe une particule , la trajectoire au sens de la cinématique est exactement la trajectoire vue comme trajectoire du champ eulérien des vitesses au sens des systèmes dynamiques, le paramètre étant ici le temps .

Si l’on fixe un instant , la position de à cet instant est . La trajectoire de au sens des systèmes dynamiques, pour le champ eulérien des vitesses à l’instant , est une courbe qui peut être sans rapport avec le mouvement de

C’est ainsi qu’apparait la notion de ligne de courant (on devrait préciser : à l’instant ). Pour ces courbes, étant fixé, le paramètre n’a aucun rapport avec le temps. Voici un exemple (le détail des calculs n’a pas d’importance pour l’instant).

est un carré du plan, le mouvement est défini pour  par

De la relation on déduit le champ des vitesses

La figure suivante représente les pour à avec un pas . Pour , on obtient le carré initial (en bas), et l’on suit le mouvement d’un réseau de 36 points, où sont représentés les vecteurs . Les lignes de courant à un instant fixé sont les courbes d’équation

La figure suivante représente des lignes de courant à l’instant . Le mouvement n’est pas stationnaire, les trajectoires sont distinctes des lignes de courant. Elles sont rectilignes.

Dans le cas où le champ des vitesses à  fixé n’admet pas de solution exacte facilement exprimable, ou si le champ n’est pas défini analytiquement mais en des points donnés d’un maillage numérique ou expérimental, il faut procéder à une résolution numérique et donc commencer par discrétiser les équations... Dans ce cas, le résultat n’est généralement pas une expression analytique ou paramétrique des lignes de courant, mais juste leur tracé comme sur la figure ci-dessous qui représente quelques lignes de courant (les courbes en rouge) du champ de vitesse à un instant  d’un jet plan en impact sur une plaque perpendiculaire au jet (les vecteurs vitesses - un peu flous - sont colorées en fonction de leur norme).


Définition de la trajectoire d’une particule qui était en à l’instant t=0[modifier | modifier le wikicode]

Ligne de courant à l’instant t fixé passant par un point [modifier | modifier le wikicode]

Notation pour les dérivées[modifier | modifier le wikicode]