Utilisateur:EclairEnZ

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« J’ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. »

(Pierre de Fermat, vers 1646)

L'énigme de Fermat passée au crible[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Ces deux formulations concernent le même théorème

Début d’un théorème


Fin du théorème

Il existe au moins 3 éditions différentes de lʼArithmetica de 1670, où la célèbre note énonçant le grand théorème de Fermat se présente sous trois aspects différents, placés ici par ordre de singularité décroissante. C'est grâce à Roland Franquart, qui en 2009 me fit part de sa découverte d'une singularité (le t ) dans la note présente sur l'Arithmetica de Lyon, puis de ses précieuses recherches, que ma passion pour cette énigme (dont le traitement qu'on en faisait avait de quoi choquer) fut encore accrue. Et ce n'est qu'en 2017 je crois que je découvris (en la cherchant mais sans y croire) une deuxième singularité (le ṡ ) dans une autre version. J'en fus encore plus surpris et complètement chamboulé. Après avoir tâtonné ce n'est que vers le 5 février que j'ai enfin trouvé la signification de cette deuxième singularité. Sans volonté délibérée de ma part, il se trouve que cette explication correspond exactement à celle que donnait M. Fanquart en 2009. CM, le 9 février 2019 à 19:09

Arithmetica de l'Université de Rome
Arithmetica de l'Université de Rome



Un caractère étrange dans le detexi de la a note de Fermat, à Rome
→ Le i transformé en un s avec son point suscrit.




Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon


Arithmetica de la Bibliothèque de Zurich




1) En haut les deux images. Sur l'exemplaire consultable à l'Université de Rome, on observe que l'élément précédant le point final, étrangement n'est ni un i pur, ni un s pur, mais ce caractère étrange , un 'i' tordu qui devient un 's' avec son point suscrit, les deux caractères étant confondus. Puisque ce caractère est incongru développons-le : i+sisdetexis (tisser complètement, conjugué au présent de l'indicatif actif, à la 2ème personne du singulier).


2 ) En bas à gauche. Sur l'exemplaire consultable à la Bibliothèque de Lyon, un t surchargé qui ressemble davantage à une tache qu'on aurait faite avec soin. Ce t initie texi, signifiant "j'ai caché".
• Le point final est surchargé lui aussi, peut-être pour forcer encore l'attention sur detexi et texi (respectivement 'j'ai découvert' et 'j'ai caché'), mais surtout pour insister sur ce t (explication à venir).


3) En bas à droite. Sur l'exemplaire consultable à la Bibliothèque de Zurich, le mot est correctement écrit, seul le point final semble surchargé, comme sur les autres éditions.

Arguments logiques, arguments historiques[modifier | modifier le wikicode]


...en faveur d'une preuve du théorème de Fermat par lui-même. En regard, leur note d’importance, considérant aussi la quantité d’indices découverts afin de démonter une légende urbaine.

1) Une traduction littérale et fidèle de la deuxième OBSERVATIO de Fermat est : « […] ce dont j'ai entièrement mis au jour l'explication surprenante », et non « [... ] une démonstration vraiment merveilleuse » où l'adverbe n'est pas à sa place : "sane" est la forme masculine du vocatif, il ne s’applique pas à "demonstrationem" qui est féminin, mais à l’auteur. Note d’importance : 5/5
2) De ses 48 Observations, le seul titre qui soit écrit en toutes lettres, OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT est celui de la plus mystérieuse. Les autres sont abrégées en OBSERVATIO D.P.F. Note : 5/5
3) Le mot detexi (‘’j'ai mis au jour’’) a été transformé une fois (Rome) en detexṡ (i et s confondus) → detexis, du verbe detexo, conjugué au présent de l'indicatif actif, deuxième personne du singulier, et signifiant tisser complètement. Note : 5/5
4) Et une autre fois (Lyon) en detexi. Je pense comme Monsieur Franquart qui a fait cette découverte (ne pas visiter son site en ce moment, il s'y trouve un "cheval de Troie") et avait analysé cette note en 2009, que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l'observation de Fermat, non caperet (ne l'eût pas contenu) (ce t). En outre R.F était déjà parvenu, dans son décryptage détaillé de la note "Lyon", à trouver "tisser complètement". Ces codages et décodages peuvent paraître tirés par les cheveux mais si l'on veut bien se souvenir que Fermat aimait jouer, avec ses correspondants, avec nous, avec les mots – ne parlons même pas des nombres –, ça fait beaucoup de coïncidences. À l'instar d'autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il était le fervent lecteur), il était expérimenté en matière de cryptage. Ici c'était osé, mais il a dû bien y travailler – avant justement de devoir "oser" trafiquer deux lettres différentes dans le même mot, dans respectivement deux versions différentes de la note. Note : 5/5.
5) Il aurait écrit toutes (!) ses observations dans la marge… (certaines sont très longues). Note : 4/5.
6) Son exemplaire personnel de l'Arithmetica, d’une très grande valeur historique, a disparu, personne ne s’en est jamais ému. Est-ce vraiment sur cet ouvrage qu'étaient écrits tous ces commentaires ? S'il a donné des instructions précises à son fils dans la manière de les écrire (en particulier pour cette fameuse note), ces consignes justifieraient elles aussi la disparition de l'ouvrage, une destruction par son fils. Note : 4/5
7) Il a soumis sa conjecture (qu’il savait sûrement fausse mais qu'il assurait être vraie) sur les nombres de la forme 22n + 1, à tous ses correspondants... sur une période de 19 ans... en leur demandant de bien vouloir l'aider à la prouver Smiley souriant
Or en utilisant les nombres premiers de la forme 74k+1, Fermat trouve que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. Peut-on réellement croire qu’avec même méthode, en utilisant les diviseurs de la forme 64k+1, il n’ait pas trouvé que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), et donc qu’il n’est pas premier ? Note : 4, ou plus vraisemblablement 5/5
8) Des historiens et mathématiciens ont prétendu avec des appréciations personnelles ou parfois des arguments fallacieux que Fermat n’a jamais possédé une preuve → smoke and mirrors ! Cette rumeur, qui pouvait être réconfortante pour certains, s'est propagée et a grossi au cours des siècles, parfois par naïveté, parfois par conflit d'intérêt, parfois les deux à la fois, ajoutant sans cesse du mystère au mystère. Note : 5/5
9) Il n’a pas hésité (supra) à se rabaisser et à paraître un amateur aux yeux des « suiveurs des suiveurs » tout en laissant de nombreux indices à l'intention de ses propres suiveurs. Note : 5/5
10) La cinquième et dernière formulation de cette conjecture est ambigüe, il la commence ainsi : « J’ay ensuite considéré certaines questions », puis vers la fin : « Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l’unité sont nombres premiers [... ]. » On pouvait comprendre, et des mathématiciens ou historiens ont en effet voulu lire plus tard : « j’ai ensuite prouvé que ». C'est ce dernier ballon d'essai qu’il adressa à un jeune mathématicien et physicien de 30 ans (Huygens), le seul qui aurait pu encore le suivre. Il est possible (?) que Fermat espérait, avec cette formulation équivoque, que ce jeune homme en effet, comprenant « j’ai ensuite prouvé que », et découvrant que c'était faux, en soit excité et entre en contact avec lui. Alors Fermat aurait trouvé un mathématicien – et un jeune, très prometteur – qui le suivrait sur ses terres. Mais Huygens suivait d'autre voies, et il ne répondit pas. Finalement c'est cette formulation ambigüe qui deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur ces nombres (''nombres de Fermat). Notons avec intérêt que cette conjecture est absente de ses OBSERVATIONES, dont toutes, théorèmes et conjectures, ont par la suite été validées. Note : 5/5.
11) Si Fermat n'a jamais évoqué ailleurs le théorème général (le grand théorème, ou ''dernier théorème''), on sait qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme en détenir une preuve, pourtant il ne veut pas la dévoiler de son vivant, préférant que l'existence-même de ce théorème (conjecture) ne soit connue qu’après sa mort. Note : 5/5
12) Dans cette affaire du théorème digne d'un roman policier il a fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, tantôt brouillant les pistes, tantôt laissant des indices (clairement affichés ou subtilement cachés), parfois les deux à la fois. Note : 5/5
13+) Twist ending. Si l'on prend en compte ne serait-ce que quelques uns de ces arguments, on se doute qu'il a dû laisser pour ses suiveurs la piste d'un calcul (en l'occurence R.F. a retrouvé le tissage de couples de lettres, où Fermat suggère de prendre comme support le triangle arithmétique de Pascal).


THE END

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

• On rencontre parfois des traductions où l'adverbe choisi pour traduire sane est correctement placé, comme ici :

À la (re)découverte des dix livres de l'arithmétique de Diophante (Serge Coquerand) ou encore ici :

Bertrand Hauchecorne, qui l’exprime sur France Culture ici : Pierre de Fermat l’énigmatique, à 19’ 25’’.

Mais la traduction « Et j’en ai assurément ‘’trouvé’’ l'admirable démonstration », est erronée. Si en effet Fermat avait voulu dire ‘’j'ai trouvé’’ il aurait écrit ‘’inveni’’, comme il le fait souvent. Le latin, langue des savants et des lettrés, est une langue très subtile, délicate à manier. Rappelons que detexi se traduit par ‘’j'ai mis au jour’’, ‘’j'ai mis à découvert’’, ‘’j'ai dévoilé’’.


• On peut se demander si Fermat n'avait pas envisagé qu'après sa mort, un mathématicien en possession d'un exemplaire de l'édition 'detexi' ('2'), ou surtout detexs ('1'), perplexe, écrive à un collègue en lui faisant part de cette curiosité. Si ce collègue, souhaitant vérifier de visu l’information, avait pu consulter une édition correcte, similaire à la ('3'), ces deux personnes se seraient interrogées et mises à la tâche certainement plus confiantes et assidues. Seraient-elles parvenues (elles ou d'autres), à leurs fins ? Il semble en tout cas qu'une telle rencontre ne se soit jamais produite. La confrontation entre les deux plus singulières éditions ('1' et '2') aurait été encore plus stimulante.


Anagrammes étonnantes[modifier | modifier le wikicode]

Petri de Fermat, permettra défi
Pierre de Fermat, préféra méditer
Dernier théorème, étreindre Homère
En modifiant l'ordre des termes, Petri de Fermat permettra défi dernier théorème, Pierre de Fermat préféra méditer, étreindre Homère.

En vrac[modifier | modifier le wikicode]

Recherches actuelles (juste qques citations, et amusements arithmétiques)