Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Produit de convolution
Image logo représentative de la faculté
Exercices no4
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Produit de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Dérivation
Exo suiv. :Équations différentielles
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Produit de convolution
Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

On appelle fonction porte, la fonction Π définie par :

Calculer le produit de convolution de la fonction porte par elle-même.


Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

S étant une distribution fixée, à support positif (S ∈ ), on considérera l’application de dans qui, à toute distribution E de , associe la distribution R définie par :


a - Déterminer S sachant que, si E est la fonction de Heaviside H, alors R est la distribution régulière associée à la fonction uα définie par :

Il apparaît que S dépend de α; on écrira donc désormais Sα au lieu de S.


b - Pour E ∈ , montrer que :

est une distribution indépendante de E.


Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

a - Montrer que si la dérivée nième d'une distribution T est nulle, alors T est une distribution régulière associé à une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à n - 1.

b - En déduire que le produit de convolution d'une distribution à support compact par un polynôme de degré n, est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

c - En utilisant l'exercice 2-2, en déduire que toute distribution à support compact est limite d'au moins une suite de polynômes.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Pour les calculs suivants, on pourra utiliser l'exercice 2-3 :


a - Calculer :


b - Calculer :

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux fonctions continues par morceaux sur . On suppose que est bornée et que l'intégrale impropre converge.

  1. Montrer que est bien définie sur , c'est à dire que pour tout , l'intégrale converge.
  2. Montrer que si est Ck et si ses dérivées successives sont bornées, alors est au moins Ck.
  3. Dans le cas où la fonction indicatrice d'un segment (fonction porte) et (fonction triangulaire), calculer et tracer .
  4. On suppose continue et l'on considère une suite de fonctions positives telles que
    .
    Montrer que la suite de fonctions converge uniformément vers sur tout segment .
  5. Soit une fonction positive d'intégrale . On considère la suite de fonctions . Montrer que les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.