Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution

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Produit de convolution
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Exercices no4
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Produit de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Dérivation
Exo suiv. :Équations différentielles
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Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

On appelle fonction porte, la fonction Π définie par :

Calculer le produit de convolution de la fonction porte par elle-même.


Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

S étant une distribution fixée, à support positif (S ∈ ), on considérera l’application de dans qui, à toute distribution E de , associe la distribution R définie par :


a - Déterminer S sachant que, si E est la fonction de Heaviside H, alors R est la distribution régulière associée à la fonction uα définie par :

Il apparaît que S dépend de α; on écrira donc désormais Sα au lieu de S.


b - Pour E ∈ , montrer que :

est une distribution indépendante de E.


Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

a - Montrer que si la dérivée nième d'une distribution T est nulle, alors T est une distribution régulière associé à une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à n - 1.

b - En déduire que le produit de convolution d'une distribution à support compact par un polynôme de degré n, est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

c - En utilisant l'exercice 2-2, en déduire que toute distribution à support compact est limite d'au moins une suite de polynômes.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Pour les calculs suivants, on pourra utiliser l'exercice 2-3 :


a - Calculer :


b - Calculer :