Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation

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Dérivation
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Exercices no3
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Dérivation

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Espaces des distributions
Exo suiv. :Produit de convolution
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Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit f la fonction définie par :

a - Calculer la dérivée de f en tant que distribution.


b - Calculer ensuite la dérivée seconde de f en tant que distribution.


Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction physique r définie par :

a - Montrer que r n'admet pas de dérivée physique.

b - Calculer la dérivée de r en tant que distribution.


Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Montrez qu'une distribution ayant une dérivée nulle est une distribution régulière associée à une fonction constante.

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)


Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit φ0 une fonction test de vérifiant :

Soit T, une distribution. Montrer que T admet une primitive S telle que :

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)


Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit la suite de fonctions (Sn)n∈ℕ définie par :

a - Étudier la convergence de cette suite au sens des distributions.

b - Ce résultat reste-t-il vrai au sens de la convergence simple des fonctions.

c - Calculer :


Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout x réel, que peut-on dire de l’expression :


Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

a) Trouver toutes les distributions T qui vérifie la relation :

b) Calculer l'expression :

c) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

d) Calculer l'expression :

e) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :


Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit φ0 une fonction test de .

a) Montrer que :

b) La réciproque est-elle vraie ?