Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles

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Équations différentielles
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Exercices no5
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Produit de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Produit de convolution
Exo suiv. :Transformée de Fourier
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Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles
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Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la distribution de Dirac est une solution de l'équation différentielle :

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

TH étant la distribution régulière associée à la fonction de Heaviside.


Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

a - Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

b - En déduire les solutions de l'équation :

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit a, un nombre réel positif.

On se propose de résoudre l'équation :

a - Montrer que cette équation admet pour solution particulière une fonction nulle pour x < 0.

b - En déduire la forme générale des distributions, solutions de l'équation à résoudre.

c - Existe-t-il une solution particulière de l'équation à résoudre qui soit sommable de -∞ à +∞.

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur dans le circuit suivant :

RC switch.PNG

(avant de fermer l'interrupteur, le condensateur était déchargé)

Après avoir établi l'équation différentielle régissant le circuit, en déduire l'évolution de la tension Vc en fonction du temps.

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

soit l'équation différentielle :

Supposons que cette équation admette la solution :

Quelles relations doit vérifier la fonction f pour que l'équation admette aussi la solution :

(H étant la distribution de Heaviside)