Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Espaces fondamentaux

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Espaces fondamentaux
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie physique des distributions
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Chap. suiv. :Introduction des distributions

Exercices :

Espaces de base
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Théorie physique des distributions/Espaces fondamentaux
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La théorie des distributions établie par Laurent Schwartz entre 1945 et 1950 généralise le concept de fonctions pour permettre notamment de résoudre une plus grande classe d'équations différentielles. La théorie complète considère la totalité des fonctions d'une variable réelle, ce qui nécessite l’introduction d’outils mathématiques plus élaborés comme la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Ce chapitre définit un sous-ensemble de l’ensemble des fonctions d'une variable réelle qui, tout en étant un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions, sera suffisant pour décrire la plupart des phénomènes physiques. Nous définirons ensuite quelques ensembles de fonctions qui nous seront utiles dans les chapitres suivants. Nous définirons ces ensembles dans un ordre tel que le suivant sera un sous-espace vectoriel du précédent. Tous ces ensembles de fonctions sont définis sur ℝ pour des raisons de simplification. Dans une théorie des distributions plus élaborée, on considère des espaces aux propriétés similaires décris sur un ensemble de définition différent.

Espace des fonctions physiques[modifier | modifier le wikicode]

Nous donnerons une première définition :




Par exemple, la fonction de Heaviside H définie par :

est continue à droite en 0. En effet :

.




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Exemple

  • Nous voyons, par exemple, que la fonction de Heaviside est une fonction physique.
  • La fonction f définie par f(x) = 1/x n'est pas une fonction physique (bien qu'étant continue à droite en tout point de son ensemble de définition) car elle n'est pas définie en 0.
  • La fonction définie par :

    n'est pas une fonction physique (bien qu'étant définie et continue à droite en tout point) car elle n'est pas intégrable sur [–1, 1] par exemple.

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Remarque

Les fonctions physiques seront, dans notre leçon, des fonctions d'une variable réelle, mais son ensemble d'arrivée ne sera pas nécessairement l’ensemble des nombres réels. Il se peut que ce soit l’ensemble des nombres complexes. Ce sera le cas, par exemple, lorsque nous étudierons la transformée de Fourier.


Début d’un théorème


Fin du théorème



Pourquoi avoir introduit l’ensemble ℘ ?

Cet ensemble, comme son nom l'indique, représente bien l’ensemble des fonctions rencontrées dans le monde physique. Si l’on considère, par exemple, l'électronique, les tensions aux bornes des composants ou les intensités traversant les composants sont des fonctions qui, la plupart du temps, sont continues, mais peuvent avoir des points de discontinuité. L'intensité peut avoir des points de discontinuité dans un condensateur et la tension peut avoir des points de discontinuité aux bornes d'une bobine. Lorsque l’on ferme un interrupteur à l'instant t, on fait apparaître brusquement aux bornes d'un circuit une tension non nulle à cet instant. La tension, qui était nulle avant l'instant t, devient non nulle à partir de cet instant. Nous voyons alors que cette tension peut se représenter par une fonction qui présente un point de discontinuité en t, tout en étant continue à droite en t.

On considérera que les phénomènes commencent à un instant t et se poursuivent dans le futur, ce qui signifie qu'en tout point de discontinuité la fonction considérée sera continue à droite.

La continuité à droite traduit donc l'écoulement du temps pour les fonctions du temps (flèche du temps).


Une autre raison d'avoir introduit les fonctions physiques est de simplifier considérablement la théorie des distributions. La plupart des tracasseries que l'on rencontre en considérant la totalité de l'ensemble des fonctions réelles n'existent plus et le lecteur peut ainsi disposer d'une théorie des distributions bien suffisante dans la plupart des applications en physique. L'entrainement acquis avec cette théorie simplifiée lui permettra d'aborder plus sereinement une théorie des distributions plus complète si le besoin se fait sentir.

Espace des fonctions indéfiniment dérivables sur ℝ[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème

L'espace vectoriel nous permettra de définir, par dualité, l’espace des distributions à support compact.


Espace de Schwartz[modifier | modifier le wikicode]

Avant de définir l'espace de Schwartz, nous définirons un autre espace utile à cette définition :

Espace des fonctions à décroissance rapide[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème

Définition de l'espace de Schwartz[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème

Espace des fonctions sommables[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème

Toute fonction physique à décroissance rapide — en particulier toute fonction de Schwartz — est évidemment absolument sommable.

Espace des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact[modifier | modifier le wikicode]






Début d’un théorème


Fin du théorème

Nous montrerons en exercice que cet espace vectoriel n'est pas réduit à la fonction nulle.