Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base

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Espaces de base
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Exercices no1
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Espaces fondamentaux

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
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Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de montrer que l’ensemble des fonctions test n’est pas vide.


Montrez que la fonction φ définie par :

Est une fonction test de .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit φ0 une fonction test de vérifiant :

Montrer que toute fonction test φ de s'écrit de manière unique sous la forme :

avec ψ ∈ et c ∈ ℝ

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit φ ∈ . On définit sur ℝ une fonction ψ par :

a - Montrer que ψ est dérivable en x = 0 en calculant directement ψ'(0)

b - Montrer que :

c - En déduire que ψ est indéfiniment dérivable, retrouver la valeur précédemment obtenue pour ψ'(0), et calculer ψ(n)(0).


Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit [a;b], un intervalle de ℝ. Donner un exemple de fonctions test de qui vaut 1 sur l'intervalle [a;b].