Discussion:Théorie des groupes/Sous-groupe distingué et groupe quotient

Orientation des triangles

Bonjour,

C'est peut-être une question bête, m'enfin... Après la définition de sous-groupe distingué, on lit :

« Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H ⊳ G ou encore H ⊴ G. »

Le premier symbole n'est pas dans le sens que je connais ; est-ce bien... normal ? :) Merci.

--Flo R. (discussion) 7 septembre 2016 à 12:11 (UTC)

Ça colle avec Normal_subgroup#Definitions sur Wikipédia (en (en)) . JackPotte ($♠) 7 septembre 2016 à 12:34 (UTC)

Sur la version française, je vois :

VF

alors que sur la version anglaise, j'ai :

VA

Clairement, les triangles ne sont pas orientés de la même façon (\triangleleft vs. \triangleright). Avez-vous un rendu différent ?

--Flo R. (discussion) 7 septembre 2016 à 15:46 (UTC)

Flo R. : normal, on a affaire à deux symboles contraires (comme < et >) : ⊲ et ⊳. JackPotte ($♠) 7 septembre 2016 à 17:52 (UTC)

Je veux bien, mais dans la phrase en français que j'ai citée ci-dessus, les rôles de G et H ne sont pas interchangeables. Peut-être faudrait-il mettre G ⊳ H au lieu de H ⊳ G, puisque c'est censé correspondre à « H est sous-groupe normal de G » ? --Flo R. (discussion) 7 septembre 2016 à 18:04 (UTC)

C'est possible mais qu'en pense Marvoir (d · c · b · s) ? JackPotte ($♠) 7 septembre 2016 à 19:42 (UTC)

Je ne comprends pas bien le problème. Chez moi, la phrase « « Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H ⊳ G ou encore H ⊴ G. » s'affiche avec deux triangles dont la pointe est à gauche, aussi bien dans le chapitre du cours que ci-dessus. Flo R. obtient-il un affichage différent ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 06:30 (UTC)

Oui, cf. la capture d'écran "VF" que j'ai mise sous forme de lien ci-dessus. C'est pour cela que j'ai demandé si JackPotte a un rendu différent. Dans mon cas, le premier triangle pointe vers la droite, ce qui est cohérent avec ceci : U+22B3 CONTAINS AS NORMAL SUBGROUP (identification du caractère après copier/coller de wikiversity.org vers gucharmap). J'ai lu qu'il y a différentes méthodes de rendu des maths sur wikiversity.org suivant les outils dispo sur le client et, il me semble, les préférences utilisateur pour wikiversity.org. Il doit y avoir un bug par là (je n'ose imaginer un problème dans la police de caractères utilisée de votre côté...). --Flo R. (discussion) 8 septembre 2016 à 07:00 (UTC)

Chez moi, en tout cas, tout est cohérent. Ne connaissant rien aux questions techniques, je laisse la parole à JackPotte. Je précise que le bon affichage est, pour les deux symboles, un triangle pointant ver la gauche et je répète que chez moi, l'affichage est correct. Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 07:06 (UTC)

Moi je vois la même chose que Flo R. sur mes Firefox 48.0.2, il faudrait donc certainement changer le cours... JackPotte ($♠) 8 septembre 2016 à 07:57 (UTC)

D'après cette page internet et celle-ci, le triangle simple pointant vers la gauche a pour numéro Unicode U+22B2 et en html décimal 8882 , ce qui produit l'affichage ⊲ . Le triangle souligné pointant vers la gauche a pour numéro Unicode U+22B4 et en html décimal 8884 , ce qui produit l'affichage ⊴ . Chez moi, l'affichage du premier symbole par le code html est incorrect et l'affichage du second est correct. Et chez vous ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 08:48 (UTC)

Apparemment, il y a chez moi une mauvaise liaison ente le code html et l'apparence (fonte). J'imagine que le responsable n'est pas mon navigateur (Firefox 48 0.2), mais peut-être mon vieux Windows XP. Je crains qu'il soit impossible de trouver une solution "caractère" qui fonctionne chez tout le monde. Ou bien on utilise le code html (ce que je pourrais faire) et les malheureux qui ont la même configuration que moi reçoivent un mauvais affichage; ou bien un d'entre vous met la fonte "triangle pointant vers la gauche" comme caractère dans le fichier texte sous-jacent (par exemple par copier-coller), mais le problème subsistera sûrement pour ceux qui ont la même configuration que moi; ou bien on utilise LaTex. Qu'en pensez-vous ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 09:06 (UTC)

Chez moi, le modèle {{wt|⊳}} produit l'affichage ⊳ : aussi bien l'affichage du modèle lui-même que l'affichage de son résultat comporte un triangle pointant vers la gauche. On pourrait peut-être utiliser ce modèle ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 10:12 (UTC)

Hélas, cela est toujours représenté dans le wiki avec U+22B3 CONTAINS AS NORMAL SUBGROUP, et le résultat est comme attendu un triangle pointant vers la droite.

Les deux symboles que vous avez écrits dans le message daté du 8 septembre 2016 à 08:48 (UTC) pointent correctement vers la gauche chez moi (Firefox 48.0). J'ai essayé avec plusieurs polices (DejaVu Sans Mono, EB Garamond, Verdana, STIX...). Il me semble que votre police de caractères est peut-être bugguée sur ce point. Pouvez-vous :

1. vérifier qu'il s'agit bien d'un caractère chez vous et non d'une image (on doit pouvoir le sélectionner et copier/coller dans Notepad par ex., et un clic droit dessus ne doit pas proposer Save Image As...) ;
2. essayer avec une autre police dans Firefox (Edit → Preferences → Content) ?

Je ne connais pas assez le fonctionnement de wikiversity.org pour prédire si la méthode « avec LaTeX » fonctionnera dans tous les cas. Si ça sort toujours une image, cela devrait marcher (mais être un peu plus lourd à charger). Si ça se rabat sur MathML, j'ai peur que l'on retombe dans le même problème.

Au fait, a priori on peut utiliser une syntaxe du type &#x22B2 (hexadécimal) en HTML pour avoir l'identification immédiate avec U+22B2. Cela dit, de nos jours je pense qu'il vaut mieux mettre directement le caractère Unicode : ⊲ (qui, je tiens à le préciser, pointe vers la gauche :-).

Au cas où, mes préférences wikiversity.org.

--Flo R. (discussion) 8 septembre 2016 à 10:39 (UTC)

Je n'ai utilisé que des caractères, pas d'images. Il y a sûrement un bug chez moi et il ne tient sûrement pas à mon navigateur, puisque c'est le même navigateur que chez vous (Firefox 48.0.2). Le bug tient donc sans doute à Windows XP. Comme je suis bogué, il n'est peut-être pas très utile que j'essaie moi-même de modifier le fichier source du cours. Voici ce qui se passe quand j'utilise le code LaTex vartriangleleft : $\vartriangleleft$. Chez moi, cela affiche bien un triangle pointant vers la gauche. Et chez vous ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 11:00 (UTC)

Vers la gauche aussi. JackPotte ($♠) 8 septembre 2016 à 11:34 (UTC)

La solution LaTex ne serait-elle donc pas la meilleure ? Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 11:47 (UTC)

Le triangle pointe bien vers la gauche, et il est inclus sous la forme d'une image. Cette solution est sans doute assez bonne, mais si vous préférez, je peux mettre le caractère Unicode directement (auquel cas il s'affichera dans le mauvais sens chez vous...). Cela m'étonnerait un peu que le bug soit vraiment dans XP (i.e., dans la gestion des polices et d'Unicode), mais il pourrait bien être dans une police livrée avec XP. Avez-vous essayé de changer la police ? (en espérant que Firefox n'aille pas chercher les caractères manquants dans d'autres polices que celle choisie dans les préférences, ce qui serait bien possible et fausserait le test, sauf à choisir explicitement une police dont on sait qu'elle contient les caractères souhaités, ici U+22B2). --Flo R. (discussion) 8 septembre 2016 à 11:51 (UTC)

Si en changeant de police, je risque d'autres problèmes, cela en vaut-il la peine ? Le caractère en question n'apparaît pas souvent dans le chapitre du cours, me semble-t-il, donc l'usage du LaTex ne peut pas alourdir beaucoup le chargement de la page. Comme je ne suis peut-être pas le seul au monde à avoir ce problème, la solution LaTex rendra peut-être service à plusieurs utilisateurs. Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 12:36 (UTC)

Je ne vois pas trop ce que vous risquez à essayer une autre police, cela dit vos arguments en faveur de la solution LaTeX me semblent tenir la route. Les principaux désavantages sont à mon avis :

1. que l'on ne pourra pas copier/coller une phrase contenant ce symbole dans un champ ou document texte ;
2. que cela va plus ou moins exclure les navigateurs en mode texte du genre lynx ou links, mais je pense que leur utilisation, en particulier pour consulter ce genre de page web, doit être très, très marginale.

Donc en ce qui me concerne, pas d'objection notable pour la solution LaTeX. Bonne journée. :-) --Flo R. (discussion) 8 septembre 2016 à 14:44 (UTC)

En regrettant un peu qu'il y ait du pour et du contre des deux côtés, mais compte tenu que vous trouvez que mes arguments tiennent la route, je vais utiliser LaTex. En tout cas, merci d'avoir signalé le problème ! Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 15:19 (UTC)

Y'a pas de quoi, c'est moi qui vous remercie pour votre travail. En fait, même avec la solution LaTeX, le copier/coller pourrait marcher. Si je fais un copier/coller de votre test ci-dessus vers Emacs, voici ce que j'obtiens. Le caractère U+22B2 NORMAL SUBGROUP OF est là, comme il faut, mais suivi de {\displaystyle \vartriangleleft } {\displaystyle \vartriangleleft }. Bon... --Flo R. (discussion) 8 septembre 2016 à 15:46 (UTC)

Emacs est fantastique... Marvoir (discussion) 8 septembre 2016 à 16:54 (UTC)

Certes, il est bel et bon, mais dans ce cas précis, le copier/coller devrait marchotter (comme décrit ci-dessus) avec n'importe quel logiciel pouvant coller du texte brut, je pense, y compris le bloc-notes de Windows (et, selon la police utilisée dans Notepad, vous aurez le triangle orienté dans le bon sens ou non). À part ça, votre correction du symbole faite hier fonctionne bien, merci ! --Flo R. (discussion) 9 septembre 2016 à 10:17 (UTC)

À propos de la démonstration de $(G/H):(K/H)=(G:K)$

Bonsoir,

J'ai eu un petit peu de mal avec la phrase suivante (obligé de recourir à l'arme papier + crayon ;-) :

La relation d'équivalence (en $X$ et $Y$ dans $G/H$) « $h(X)=h(Y)$ » équivaut à ce que $X$ et $Y$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$.

Cette phrase se trouve dans la deuxième remarque suivant le troisième théorème d'isomorphisme, là où l'on ne suppose plus que le sous-groupe $K$ de $G$ est normal dans $G$. Voici comment il me semble pouvoir justifier cette assertion :

Notons $p$ la projection canonique de $G$ dans $G/H$. Pour tous $x$ et $y$ dans $G$, on a :

${\begin{aligned}xK=yK&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ x=yk\\&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ xH=ykH&&{\text{car }}H\subseteq K\\&\Leftrightarrow \ \exists k\in K:\ xH=yH.kH&&{\text{car }}p{\text{ est un morphisme}}\\&\Leftrightarrow \ \exists \alpha \in K/H:\ xH=yH.\alpha &&{\text{car }}\{kH,\ k\in K\}=p(K)=K/H\end{aligned}}$

Donc $xK=yK$ équivaut à ce que les éléments $xH$ et $yH$ de $G/H$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$. Ceci prouve bien l'assertion, puisque si $X=xH$ et $Y=yH$ sont des éléments de $G/H$, alors $h(X)=xK$ et $h(Y)=yK$.

Ma question est : avez-vous une méthode plus simple pour voir cela ?

À part ça, un petit détail qui m'a interpellé : la phrase suivante de la leçon dit :

L'application déduite de $h$ par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de $(G/H)/(K/H)$ sur l’ensemble $G/K$.

Vu qu'on n'a pas supposé, cette fois-ci, que $K$ est normal dans $G$, il me semble qu'on ne peut pas espérer montrer, en vertu du théorème de correspondance, que $K/H$ est normal dans $G/H$. La notation $(G/H)/(K/H)$ est donc un chouilla abusive, n'est-ce pas ? Comme le $G/K$ que vous avez explicitement défini au-dessus, pour la même raison ? Bref, ce n'est certainement pas un reproche ; simplement, si j'ai bien compris, peut-être pourrait-on mettre une note de bas de page au sujet de ce $(G/H)/(K/H)$ pour dire que l'on désigne ici, par cette notation, l'ensemble des classes à gauche de $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$ ?

Merci !

--Flo R. (discussion) 10 septembre 2016 à 19:17 (UTC)

J'ai fait l'équivalent de ce que vous proposez dans votre seconde remarque. Je l'ai fait sous forme de parenthèses dans le texte. Il est vrai qu'il n'est pas usuel de désigner l'ensemble des classes à gauche de G suivant K par G/K quand le sous-groupe K de G n'est pas normal, mais les auteurs semblent éviter de choisir une notation pour cet ensemble. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, 1984, p. 73, utilise une barre de fraction horizontale, met G au-dessus et K en dessous, met des parenthèses autour du tout et ajoute encore un indice g en dessous à droite. Cela me semble lourd. Si vous trouvez une meilleure notation que la mienne dans un livre, on pourra peut-être l'adopter.

Quant à votre question sur la meilleure justification possible de la phrase « La relation d'équivalence (en $X$ et $Y$ dans $G/H$) « $h(X)=h(Y)$ » équivaut à ce que $X$ et $Y$ appartiennent à la même classe à gauche du groupe $G/H$ suivant son sous-groupe $K/H$. », je vais y réfléchir. Si nous tombons d'accord sur la meilleure justification possible, on pourra en faire un exercice. Je n'aurai plus le temps de m'occuper de cela aujourd'hui, ce sera normalement pour demain matin. Marvoir (discussion) 11 septembre 2016 à 09:03 (UTC)

Merci pour votre réponse. En ce qui concerne la notation, je suis plutôt en situation d'élève sur le sujet, élève qui essaie de s'assurer qu'il ne se met pas en tête des idées fausses. Votre précision dissipe donc mon doute. La notation de Josette Calais que vous mentionnez me semble assez intuitive, mais vu le peu de fois où ce concept est utilisé dans la page, il n'est peut-être pas très utile, en effet, de l'introduire ici. Je n'ai pas de meilleure proposition à faire, la façon dont les choses sont présentées me convient. Pour le reste, merci d'avance et aucun problème pour les délais : je ne peux de mon côté travailler qu'au compte-goutte, alors ceci pourra bien attendre quelques jours. :-)

Encore merci et bonne fin de week-end ! --Flo R. (discussion) 11 septembre 2016 à 13:28 (UTC)

Je viens de lire la justification que vous avez donnée de l'assertion en question. Votre justification est correcte et je ne vois pas de meilleure justification possible. Peut-être pourriez-vous en faire un exercice ? Marvoir (discussion) 12 septembre 2016 à 06:21 (UTC)

P.S. Est-il usuel de dire que p est une projection ? Bourbaki l'appelle l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Marvoir (discussion) 12 septembre 2016 à 06:24 (UTC)

Merci pour votre commentaire sur ma petite démo. La mettre en exercice me semble être une bonne idée, je vais voir ça.

Concernant le terme « projection canonique » et ses variantes, voici ce que j'ai trouvé dans mes livres (listes de pages non exhaustives) :

* homomorphisme canonique : [Gras] pp. 44, 46

* morphisme canonique : [Prépa] pp. 36, 38, 55

* application canonique : [Gras] p. 47, [Prépa] pp. 31, 34

* projection canonique : [Prépa] pp. 33, 54, [TT1L2] partout (pp. 12, 15-17...), [Perrin] p. 41 (pour un anneau quotient), [Escofier] partout (pp. 402, 403, 405-406, 420...), [Colmez] p. 38

* surjection canonique : [Perrin] p. 42 (pour un anneau quotient), [Prépa] p. 34.

Dans [Perrin], au sujet des groupes quotients sans structure d'anneau a priori, on lit p. 11 :

« si on a $H\triangleleft G$, le quotient $G/H$, ensemble des classes à gauche (ou à droite) est muni d'une structure de groupe et on a un homomorphisme surjectif $p:G\to G/H$, de noyau $H$. »

(Le symbole utilisé n'est pas exactement $\triangleleft$, mais correspond plutôt à \ltrivb du package stix [qui ne passe pas ici], c.-à.-d. $\triangleleft$ avec une petite barre verticale rajoutée à droite.) Je n'ai pas trouvé de formulation plus précise dans ce livre, à part quand il est question d'anneaux quotients.

On y lit également p. 9, concernant la notation « abusive » dont on a discuté ci-dessus :

« Les classes à gauche forment une partition de $G$. Leur ensemble est noté $G/H$. Ce n'est pas un groupe en général. Le cardinal de $G/H$ est appelé l'indice de $H$ dans $G$ et noté $(G:H)$. »

Cette notation se retrouve plus loin, notamment p. 17 ; donc, pour Daniel Perrin, elle ne pose visiblement aucun problème même si $H$ n'est pas distingué dans $G$. Du moment que c'est clairement défini, rappelé au fil du texte, et vu que ce n'est qu'une extension de la notation « habituelle », le risque de confusion est assez faible. Voili-voilou...

Références

[Gras] Georges et Marie-Nicole Gras (2004), Algèbre fondamentale — Arithmétique, Ellipses.

[Perrin] Daniel Perrin (1996), Cours d'algèbre, Ellipses.

[Colmez] Pierre Colmez (2012), Éléments d'analyse et d'algèbre, Les éditions de l'École polytechnique.

[Escofier] Jean-Pierre Escofier (2016), Toute l'algèbre de la licence, Dunod.

[TT1L2] Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al. (2007), Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2, Dunod.

[Prépa] Claude Deschamps, André Warusfel et al. (2001), Mathématiques 2e année, Dunod.

--Flo R. (discussion) 12 septembre 2016 à 21:56 (UTC)

Merci pour les compléments terminologiques (« projection » etc.) Je n'ai pas les livres auxquels vous renvoyez, donc je ne vais pas ajouter moi-même les variantes terminologiques en question, mais si vous souhaitez le faire, n'hésitez pas. (Et si le cœur vous dit de donner des références, ce sera encore mieux.) Marvoir (discussion) 13 septembre 2016 à 06:46 (UTC)

Bonsoir,

C'est fait pour l'exercice. N'hésitez pas à corriger ce qui ne vous convient pas ou à déplacer l'exercice par rapport aux autres. Pour les précisions terminologiques, je vais voir ce que je peux faire. --Flo R. (discussion) 13 septembre 2016 à 18:45 (UTC)

Merci. J'ai jeté un rapide coup d'œil et ça m'a l'air très bien. Marvoir (discussion) 14 septembre 2016 à 08:01 (UTC)

Ah, merci. C'est peut-être perfectible au moins sur la forme (numérotation des questions avec la syntaxe du wiki...). J'ai aussi mis une petite parenthèse dans le cours mentionnant les autres termes que j'ai rencontrés pour « homomorphisme canonique ». Voilà. :-) --Flo R. (discussion) 14 septembre 2016 à 13:00 (UTC)

Groupes nilpotents

Re… Juste pour dire que les démos du chapitre groupes nilpotents sont ultra lourdingues… Déjà dans la rédaction. Sinon parfois la démo serait réglée en 1 ligne et demie mais on passe au quotient ou on écrit un truc simple en 5 lignes… --Fabrej0 (discussion) 12 octobre 2016 à 20:13 (UTC)

Pourriez-vous donner un exemple précis et le donner sur la page de discussion du chapitre sur les groupes nilpotents ? Marvoir (discussion) 13 octobre 2016 à 14:21 (UTC)

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dans w:Sous-groupe normal et w:Théorèmes d'isomorphisme. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. Anne, 23/1/2022