Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

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Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Exercices no32
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
Exo suiv. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit k un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins k éléments, soit x un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par Gx le stabilisateur de x dans G. Pour tout élément g de Gx et tout élément y de X-{x}, gy appartient à X-{x}, de sorte que le groupe Gx opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où gy correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et l'action de Gx sur X-{x} est (k-1)-transitive.

Remarque. L'énoncé de ce problème revient à dire que si k est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins k éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément x de X, Gx désigne le stabilisateur de x dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et pour tout élément x de X, l'action de Gx sur X - {x} est (k-1)-transitive;
3° l'action de G sur X est transitive et il existe un élément x de X tel que l'action de Gx sur X - {x} soit (k-1)-transitive.