Aller au contenu

Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

Leçons de niveau 13
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Image logo représentative de la faculté
Exercices no33
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
Exo suiv. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soit k un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins k éléments, soit x un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par Gx le stabilisateur de x dans G. Pour tout élément g de Gx et tout élément y de X-{x}, gy appartient à X-{x}, de sorte que le groupe Gx opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où gy correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et l'action de Gx sur X-{x} est (k-1)-transitive.

Remarque. L'énoncé de ce problème revient à dire que si k est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins k éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément x de X, Gx désigne le stabilisateur de x dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et pour tout élément x de X, l'action de Gx sur X - {x} est (k-1)-transitive;
3° l'action de G sur X est transitive et il existe un élément x de X tel que l'action de Gx sur X - {x} soit (k-1)-transitive.