Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives

Problème 1

Soit k un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins k éléments, soit x un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de x dans G. Pour tout élément g de G_x et tout élément y de X-{x}, gy appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où gy correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive.

Solution

Supposons 1° et prouvons 2°.
Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.
Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément g de G_x tel que

ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1.

Cela revient à prouver qu’il existe un élément g de G tel que

ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x.

Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont k différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi k différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°.

Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.
Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément g de G tel que

(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k.

D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément h de G tel que

(2) ha₁ = x.

De même, il existe un élément h' de G tel que

(3) h'b₁ = x.

Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de x. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.
De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.
Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément f de G_x tel que

fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k,

ce qui peut s'écire

h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k.

Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons

(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k.

De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2),

g a₁ = h'^-1 f x.

Comme f appartient à G_x, cela revient à

g a₁ = h'^-1 x,

ou encore, d’après (3), à

ga₁ = b₁.

Joint à (4), cela prouve la thèse (1).

 

Remarque. L'énoncé de ce problème revient à dire que si k est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins k éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément x de X, G_x désigne le stabilisateur de x dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'action de G sur X est k-transitive;
2° l'action de G sur X est transitive et pour tout élément x de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;
3° l'action de G sur X est transitive et il existe un élément x de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.