Discussion:Théorie des groupes/Groupes diédraux

Preuve du $txt=x^{-1}$ pour $x$ dans $A$ et $t$ dans $G-A$

Bonjour,

Dans la preuve de ce théorème :

Début d’un théorème

Théorème

Soit G un groupe diédral d'ordre 2n, soit A un sous-groupe cyclique d'ordre n de G (on sait qu’il en existe au moins un). Soient t et s deux éléments de G - A. Alors st appartient à A, t est d'ordre 2 et pour tout élément x de A, txt = x^-1. Si n ≥ 3, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre n.

Fin du théorème

il est dit la chose suivante :

On sait qu’il existe un sous-groupe cyclique A₀ d'ordre n de G et un élément b d'ordre 2 de G - A₀ satisfaisant à la condition : pour tout élément x de A₀, bxb = x^-1.

J'ai peut-être raté quelque chose, mais je n'ai vu le $bxb=x^{-1}$ pour tout $x$ du sous-groupe cyclique d'ordre $n$ (unique dès que $n\geq 3$) que dans certaines preuves précédentes, pas dans les énoncés de théorèmes ni dans les remarques. À moins que vous ne jugiez cela trop facile pour mériter des indications, peut-être pourrait-on ajouter une parenthèse disant quelque chose comme « utiliser le corollaire précédent et l'automorphisme $u\mapsto bub^{-1}=bub$ de $G$ ». On peut d'ailleurs d'ores et déjà affirmer que $A_{0}$ est normal dans $G$ puisqu'il est d'indice 2, donc que l'automorphisme en question induit un automorphisme sur $A_{0}$, mais cela ne me paraît pas utile pour ce raisonnement, on a juste besoin de savoir qu'il y a un générateur $a$ de $A_{0}$ tel que $bab^{-1}=a^{-1}$ et que $u\mapsto bub^{-1}$ est un morphisme défini au moins sur $A_{0}$.

Après, si ce petit raisonnement est jugé trop facile ou s'il y a une façon plus simple que je n'ai pas vue de justifier la relation $bxb=x^{-1}$, le texte peut rester tel quel, pas de problème pour moi. ;-)

Autre chose : dans l'énoncé du théorème, $s$ et $t$ sont définis par rapport à $A$ alors que ce que l'on montre les concernant nécessite de les savoir dans $G-A_{0}$ (on n'a pas encore montré que nécessairement, $A=A_{0}$ dès que $n\geq 3$, et il y aurait un cercle vicieux si on mettait la preuve de l'unicité du sous-groupe cyclique d'ordre n telle quelle au début de la démo). Je ne conteste pas la validité du raisonnement, ça marche. Mais peut-être gagnerait-on un peu en clarté en redéfinissant $s$ et $t$ dans la première partie de la démo (« Soient $s$ et $t$ dans $G-A_{0}$ » ajouté juste après le « pour tout élément $x$ de $A_{0}$, $bxb=x^{-1}$ »). En fin de démo, on sait que ça marche pour les $s$ et $t$ de l'énoncé puisque $A=A_{0}$ dès que $n\geq 3$, et le cas $n<3$ est traité à part. En fait, je subodore que vous avez songé utiliser des $s_{0}$ et $t_{0}$ dans la première partie de la démo, mais trouvé les notations trop lourdes... Merci ! --Flo R. (discussion) 21 août 2018 à 18:03 (UTC)

Bonjour Flo R.. Pour la première de vos objections, je pense qu'il suffirait de renvoyer à la définition du groupe diédral à l'aide d'un produit semi-direct (externe) qui a été donnée au début du chapitre (voyez l'automorphisme d'ordre 2, qui agit par inversion). On pourrait peut-être dire : « D'après la façon dont on a défini le groupe diédral à l'aide d'un produit semi-direct externe au début du chapitre, il existe un sous-groupe cyclique A₀ d'ordre n de G et un élément b d'ordre 2 de G - A₀ satisfaisant à la condition : pour tout élément x de A₀, bxb = x^-1. »

Dans votre deuxième remarque, il me semble que vous avez bel et bien repéré quelque chose qui cloche. Je propose la rédaction suivante (j'ai remanié une forme antérieure que j'ai retrouvée dans mes fichiers personnels) :

Théorème. Soit G un groupe diédral d'ordre 2n, soit A un sous-groupe cyclique d'ordre n de G (on sait qu’il en existe au moins un). Soit t un élément de G - A. Alors t est d'ordre 2 et pour tout élément x de A, txt = x^-1. Si n ≥ 3, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre n.

Démonstration. Si n = 1, le théorème est banal. Si n = 2, on le déduit facilement du fait que G est alors un groupe de Klein. Supposons donc n ≥ 3. D'après la façon dont on a défini le groupe diédral à l'aide d'un produit semi-direct externe au début du chapitre, il existe un sous-groupe cyclique A₀ d'ordre n de G et un élément b d'ordre 2 de G - A₀ satisfaisant à la condition : pour tout élément x de A₀, bxb = x^-1. Commençons par démontrer l'énoncé dans le cas où A est égal à A₀. Les éléments de la forme ab, où a parcourt A₀, n'appartiennent pas à A₀ et sont en quantité n, donc ils constituent G - A₀ tout entier. Donc t est de la forme ab pour un certain élément a de A₀. Prouvons que t est d'ordre 2. Puisque t n'appartient pas à A₀ et est donc distinct de 1, il suffit de prouver que t² = 1. Cela revient à prouver que, pour tout a dans A₀, (ab)² = 1. Or (ab)² = abab = a(bab) = aa^-1 = 1, donc t est bien d'ordre 2. En outre, si x est un élément de A₀, nous avons txt = (ab)x(ab) = ab(xa)b. Comme xa appartient à A₀, nous pouvons remplacer b(xa)b par (xa)^-1 = a^-1x^-1, d'où txt = aa^-1x^-1 = x^-1. Montrons maintenant que (dans notre hypothèse n ≥ 3) A₀ est le seul sous-groupe cyclique d'ordre n de G. Un sous-groupe cyclique A d'ordre n de G est engendré par un élément c d'ordre n > 2. Nous avons vu que tout élément de G - A₀ est d'ordre 2, donc c doit appartenir à A₀, donc A est contenu dans A₀. Puisque A et A₀ ont le même ordre fini n, ils doivent être égaux. Ainsi, G n'a qu'un sous-groupe cyclique d'ordre n, ce qui prouve la dernière assertion de l'énoncé. Il en résulte aussi que ce que nous avons démontré pour A₀ est vrai pour « tout » sous-groupe cyclique d'ordre n de G, ce qui achève la démonstration.

Qu'en pensez-vous ? En tout cas, grand merci de vos lectures attentives ! Marvoir (discussion) 22 août 2018 à 08:25 (UTC)

Pour le premier point (montrer que $bxb=x^{-1}$ pour tout $x$ du sous-groupe cyclique d'ordre $n$), vous avez raison, bien-sûr. J'avais bien pensé au produit semi-direct externe et à son morphisme « inversion », mais n'ayant pas assez réfléchi à cette approche, je ne voyais pas bien comment rattacher proprement ce produit semi-direct externe à $G$ (je croyais qu'il allait falloir utiliser un des théorèmes sur les morphismes entre groupes et produits semi-directs... qui ne sont pas très simples, ou bien le théorème « Homomorphismes partant d'un groupe diédral » ; bref, ça m'avait l'air un peu compliqué à faire proprement et comme j'avais l'autre preuve bien en tête, je n'avais pas creusé celle-ci sérieusement). En fait, je crois qu'on peut dire ceci :

$G$ est isomorphe à un produit semi-direct externe $A\times _{\tau }B$ avec $A=\langle a\rangle$ cyclique d'ordre $n$, $B=\langle b\rangle$ d'ordre 2 (donc $b\neq 1$). Les sous-groupes $A'=\langle \,(a,1)\,\rangle$ et $B'=\langle \,(1,b)\,\rangle$ de $A\times _{\tau }B$ ont les propriétés souhaitées, notamment $(1,b)\notin \langle \,(a,1)\,\rangle$ car $b\neq 1$ et $(1,b)\,x\,(1,b)^{-1}=x^{-1}$ pour tout $x$ dans $A'$ du fait de la fameuse formule du produit semi-direct externe qui implique que pour tout $k$ dans $\{0,\dotsc ,n-1\}$, on a $(1,b)(a^{k},1)(1,b)^{-1}=(\tau _{b}(a^{k}),1)=(a^{-k},1)=(a^{k},1)^{-1}$. Ensuite, on utilise l'isomorphisme $G\simeq A\times _{\tau }B$ dans l'autre sens pour obtenir les images de $A'$ et $B'$ dans $G$ ayant les propriétés souhaitées.

Concernant votre preuve modifiée, c'est en effet plus clair et je n'y décèle aucun problème. Je remarque juste que vous avez retiré la propriété sur le produit de deux éléments n'appartenant pas à $A$ (le $A$ du théorème, pas celui de mon paragraphe précédent...) — je suppose que vous la considérez comme secondaire.

Merci pour vos retours !

--Flo R. (discussion) 22 août 2018 à 12:37 (UTC)

Pour le second passage, j'ai mis dans l'article la correction que j'avais proposée (et avec laquelle vous êtes d'accord). Pour le premier passage, je me demande si on ne peut pas abréger votre justification en utilisant la dernière assertion du « Théorème (Produit semi-direct externe comme produit semi-direct interne) » dans le chapitre Produit semi-direct. (La conjugaison par (1, b) dans $A\times \{1\}$ "reflète" l'effet de l'isomorphisme $\tau (b)$ sur A.) Je n'aurai plus le temps de penser à cela aujourd'hui, mais j'y reviendrai demain. Marvoir (discussion) 22 août 2018 à 13:11 (UTC)

Mmmm... c'est précisément cette assertion que j'ai utilisée ci-dessus, là où je parle de « la fameuse formule du produit semi-direct externe ». :-)

--Flo R. (discussion) 22 août 2018 à 16:10 (UTC)

C'est vrai, Flo R., désolé de vous avoir lu trop vite. Vous pouvez peut-être mettre votre justification détaillée dans le chapitre théorique, en nommant de façon plus précise la "fameuse" formule ? Marvoir (discussion) 23 août 2018 à 08:22 (UTC)

D'accord, pas de problème. Je me demande si la meilleure façon ne serait pas de mettre ce résultat sous forme de lemme juste avant le théorème, pour ne pas trop alourdir la preuve du théorème et éviter d'avoir à utiliser des notations alambiquées. Ci-dessus, j'ai utilisé des groupes nommés $A$, $B$, $A'$ et $B'$, mais je ne peux pas utiliser $A$ de cette façon dans le théorème, le nom est déjà pris. On pourrait certes utiliser $H$, $K$, $H'$ et $K'$, mais est-ce la meilleure idée ($H$ et $K$ formeraient le produit semi-direct externe $H\times _{\tau }K$ isomorphe à $G$, $H'$ et $K'$ seraient les sous-groupes $H\times \{1\}$ et $\{1\}\times K$ de ce produit) ?..

--Flo R. (discussion) 23 août 2018 à 09:10 (UTC)

Bonjour Flo R.. J'éviterais de multiplier les énoncés (et donc d'ajouter un lemme), parce qu'il y a déjà beaucoup d'énoncés assez voisins les uns des autres, ce qui ne rend pas le chapitre très agréable à lire. D'autre part, même s'il m'est arrivé à mes débuts d'employer la notation G' pour désigner un groupe quelconque, je l'évite maintenant, parce que la notation G' est souvent utilisée pour désigner le dérivé d'un groupe G. Je viens de remanier la démonstration du théorème en question, en donnant deux justifications. Qu'en pensez-vous ?

Bonjour Marvoir,

Merci, votre ajout m'a l'air très bien. Concernant la forme, je propose deux petits changements : remplacer le \to par un \mapsto (vous connaissez, bien-sûr) et le < a > par un \langle a \rangle (l'espacement me semble meilleur, notamment avec le signe = qui précède : avec < et >, ça donne $A_{0}=<a>$ alors qu'avec \langle et \rangle, on obtient $A_{0}=\langle a\rangle$. Le symbole < est une relation binaire pour TeX en mode maths, ça joue sur l'espacement avec ce qui précède et ce qui suit ; quand il y a des choses « plus grosses que a » entre les deux symboles $\langle$ et $\rangle$, je rajoute aussi un petit espace avec \, après le $\langle$ et avant le $\rangle$, mais cela ne semble pas souhaitable ici).

Je prends bonne note concernant la notation des groupes avec un « prime ». Merci, bonne journée !

--Flo R. (discussion) 24 août 2018 à 09:36 (UTC)

D'accord pour le LaTex. Je ne sais pas comment il se fait que je me suis mis un jour dans la tête que \to était un alias de \mapsto. Pour les chevrons, ce que vous proposez est en effet meilleur. Je vous laisse faire les corrections pour ne pas usurper votre place dans l'historique et ne pas grossir mon compteur d'edits aux dépens du vôtre. Marvoir (discussion) 24 août 2018 à 11:16 (UTC)

Noble motivation, mais je n'attends pas la gloire en retour de si petits changements. ;-) Mais ils sont faits. Bonne journée !

--Flo R. (discussion) 24 août 2018 à 12:44 (UTC)

Notation du produit semi-direct externe

Dans le chapitre sur les groupes diédraux, le produit semi-direct externe est noté avec une simple croix comportant en indice le nom du morphisme associé. Ce n'est pas la notation utilisée dans le chapitre sur les produits semi-directs, est-ce intentionnel ? Merci d'avance. --Flo R. (discussion) 22 août 2018 à 08:14 (UTC)

La notation $A\times _{\tau }B$ est utilisée par Bourbaki. Quand j'ai rédigé le chapitre sur les groupes diédraux, je croyais les notations de Bourbaki plus couramment adoptées qu'elles ne le sont en réalité. Je suppose (je ne me souviens plus bien) qu'à une certaine époque, j'ai fini par penser que la notation $A\rtimes _{\tau }B$ était préférable, notamment pour distinguer entre le produit semi-direct relatif à une opération à gauche de B sur A ($A\rtimes _{\tau }B$) et le produit semi-direct relatif à une opération à droite de B sur A ($B\ltimes _{\tau }A$). J'ai sans doute alors fait la modification dans le chapitre sur le produit semi-direct et n'ai pas pensé à la faire dans le chapitre sur les groupes diédraux. J'ai maintenant signalé dans le chapitre sur le produit semi-direct qu'on trouve aussi la notation $A\times _{\tau }B$ (pour le produit semi-direct correspondant à une opération à gauche). Cela me semble suffisant, mais si vous préférez remplacer partout $\times _{\tau }$ par $\rtimes _{\tau }$ dans le chapitre sur les groupes diédraux, n'hésitez pas. Merci d'avoir signalé cette incohérence dans les notations. Marvoir (discussion) 22 août 2018 à 09:05 (UTC)

Merci de votre réponse, pas de problème à ce que les notations restent ainsi. Déjà, je n'ai pas assez d'expérience avec la littérature mathématique pour dire si l'une supplante la ou les autres, et puis il y a toujours plein de notations ou appellations différentes pour les mêmes choses (notations des divers types de produit dans les groupes, notation exponentielle (${}^{g}x$), avec point (g.x) ou sans point (gx) pour les actions de groupes, appellation morphisme canonique/surjection canonique/application canonique/projection canonique/épimorphisme canonique pour les groupes quotients...). Une notation, tant qu'elle n'est pas contre-productive, ce n'est pas grand-chose, en général on s'habitue assez vite (quoique les coefficients binomiaux...). Le problème des termes ayant différentes définitions non-équivalentes et toutes usitées est plus embêtant. ;-)

Merci, bonne journée !

--Flo R. (discussion) 22 août 2018 à 12:52 (UTC)