Leçons de niveau 15

Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions

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Suites de fonctions
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Exercices no1
Leçon : Suites et séries de fonctions
Chapitre du cours : Suites de fonctions

Ces exercices sont de niveau 15.

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Exo suiv. :Séries de fonctions
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Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de définie sur par :

si et .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Construction de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (version rectifiée et rédigée de celle du 15/01/2010 dans la leçon « Fonction exponentielle »).

Pour tout et tout , on pose

.
  1. Démontrer que si et , alors .
  2. En déduire que la suite est simplement convergente.
  3. Notons sa limite. Vérifier que .
  4. Montrer que si , alors
  5. En déduire que est dérivable et égale à sa dérivée.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction vérifiant les hypothèses suivantes :

  •  ;
  •  ;
  • l'intégrale impropre converge vers une valeur non nulle.
  1. Montrer qu'il existe de telles fonctions.
  2. Montrer que la suite définie sur par est simplement convergente.
  3. Cette convergence est-elle uniforme au voisinage de  ?