« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 2-1 : +1 : densité de GLn |
|||
Ligne 15 : | Ligne 15 : | ||
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}== |
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}== |
||
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni |
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense. |
||
{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
||
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>. |
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>. |
Version du 22 juillet 2017 à 20:45
Exercice 2-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Solution
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 2-2 : densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Solution
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .