Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne

Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne

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Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne, version 1(39)

Résumé

Mes motivations sont de définir mathématiquement des concepts philosophiques bien choisis d'existence, d'essence et de puissance d'interaction.

Il se peut que la formalisation mathématique de certaines notions ou de certains concepts philosophiques ait peu d'intérêt sur le plan mathématique :

Cela ne veut pas, nécessairement, dire qu'il faille se tourner vers d'autres notions ou concepts, certes plus riches, mais polysémiques, fourre-tout ou plus flous (Par exemple comme le concept "amour" qui a plusieurs sens, qu'il conviendrait de distinguer).

Essence et existence d'un corps évoluant dans le temps ou de son processus, formalisées mathématiquement (la matière qui le compose pouvant toujours exister après sa destruction)

Introduction et notion de dimension

Remarques

Nous nous plaçons dans un cadre proche de celui de la mécanique newtonienne, où $Tout$ évolue dans le temps ou l'espace d'états $T=\mathbb {R}$ (Remarque : On aurait pu aussi définir l'espace $T$ comme une sous partie de $\mathbb {R}$, continue ou discontinue), une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de l'Histoire exhaustive de $Tout$ (Cf définition plus bas), $\displaystyle {{\cal {T}}=\bigsqcup _{t\in T}T(t)}$,

où $\forall t\in T,\,\,T(t)$ est $Tout$, à l'instant $t$, c'est-à-dire la tranche de ${\cal {T}}$ à l'instant $t$, avec $T(t)\neq \emptyset$ et ${card}_{Q}(\{T(t)|t\in T\})={card}_{Q}(T)$. (Cf. plus bas pour la notation).

On suppose de plus que $\forall t\in T,\exists n_{t}\in \mathbb {N} \,\,:\,\,T(t)\in {\mathcal {P}}{\Big (}\mathbb {R} ^{n_{t}}(t){\Big )}$ c'est-à-dire $\displaystyle {{\cal {T}}\in {\mathcal {P}}{\Big (}\bigsqcup _{t\in T}\mathbb {R} ^{n_{t}}(t){\Big )}}$.

Remarque : $\forall t\in T,T(t)\,\,{\mbox{peut être bornée}}$, même si on peut concevoir fictivement et sur le plan mathématique, un espace non borné $\mathbb {R} ^{n_{t}}(t)$, la contenant et allant au delà.

Remarque : $\displaystyle {\forall t\in T,\,\,A(t)\in {\cal {P}}{\Big (}T(t){\Big )},\emptyset (t)\subset A(t)\subset T(t)\,\,et\,\,\forall t_{1},t_{2}\in T,\,\,t_{1}\neq t_{2},\,\,\emptyset (t_{1})\neq \emptyset ,\,\,\emptyset (t_{2})\neq \emptyset ,}$

$\displaystyle {\emptyset (t_{1})\neq \emptyset (t_{2})\,\,{\mbox{et}}\,\,\emptyset (t_{1})\bigcap \emptyset (t_{2})=\emptyset }$.

Remarque importante : J'hésite à employer la notation $\forall t\in T,\,\,\emptyset (t)$ :

Par définition

et $\emptyset (t)={\{\}}_{T(t)}$,

$\forall t_{1},t_{2}\in T\colon t_{1}\neq t_{2},\,\,\emptyset (t_{1})={\{\}}_{T(t_{1})}\neq {\{\}}_{T(t_{2})}=\emptyset (t_{2})$ et $\forall t_{1},t_{2}\in T\colon t_{1}\neq t_{2},\,\,\emptyset (t_{1})\neq \emptyset ,\,\,\emptyset (t_{2})\neq \emptyset$

$\displaystyle {\emptyset (t_{1})\neq \emptyset (t_{2})\,\,{\mbox{et}}\,\,\emptyset (t_{1})\bigcap \emptyset (t_{2})=\emptyset }$

Dans cette optique $\forall t\in T\,\,\emptyset (t)\neq \emptyset$, bien que $\forall t\in T\,\,{card}_{Q\,\,ou\,\,E}{\Big (}\emptyset (t){\Big )}={card}_{Q\,\,ou\,\,E}(\emptyset )=0$.

Si cette notation pose vraiment problème, on la remplacera par et on reviendra à la notation $\emptyset$.

${\Big (}\mathbb {R} ''=-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$.

On a $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} '\subsetneq \mathbb {R} ''{\Big )}$

(Pour les notations nouvelles, se reporter à la version la plus récente du document : "La définition du cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} }^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$")

Soit ${\cal {A}}\subset {\cal {T}}$.

On se place dans un repère orthonormé direct ${\cal {R}}$.

On désigne par ${card}_{E}({\cal {A}})$ le cardinal équipotentiel ou de Cantor de la partie ${\cal {A}}$ et on désigne par ${card}_{Q}({\cal {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\cal {A}})$ le cardinal quantitatif de la partie ${\cal {A}}$ relatif au repère orthonormé direct ${\cal {R}}$, une notion encore à définir (dont j'ai parlé dans d'autres PDF : La version la plus récente du document : "La définition du cardinal quantitatif sur ${\mathbb {R} }^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$") qui se veut plus fine que celle de cardinal équipotentiel et qui se veut être la notion optimale de nombre d'éléments, dans le système $ZFC$.

Définition

$\displaystyle {{\cal {D}}\,\,{\mbox{dimension de}}\,\,{\cal {T}}\,\,\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,{\cal {D}}\in {\cal {P}}{\bigg (}{\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)\neq \emptyset (t)}T(t){\Big )}\bigsqcup {\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)=\emptyset (t)}\{\emptyset (t)\}{\Big )}{\bigg )}}$

Définition

${\cal {D}}_{0}$ dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de ${\cal {T}}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

${\cal {D}}_{0}$ dimension de ${\cal {T}}$

$\displaystyle {{\mbox{et}}\,\,\exists x\,\,:\,\,T\longrightarrow {\cal {T}}\bigsqcup {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,t\longmapsto x(t)\in \{\emptyset (t)\}\,\,{\mbox{si}}\,\,T(t)=\emptyset (t)\,\,{\mbox{et}}\,\,x(t)\in T(t)\bigsqcup \{\emptyset (t)\}\,\,{\mbox{si}}\,\,T(t)\neq \emptyset (t)}$

$\displaystyle {{\mbox{et}}\,\,{\cal {D}}_{0}=\bigsqcup _{t\in T}\{x(t)\}}=\{x(t)|t\in T\}$

et ${card}_{Q}(\{x(t)|t\in T\})={card}_{Q}(\{T(t)|t\in T\})[={card}_{Q}(T)]$

(En effet, la condition ${card}_{E}(\{x(t)|t\in T\})={card}_{E}(\{T(t)|t\in T\})[={card}_{E}(T)]$ ne suffit pas)

Remarque : La dernière ligne de cette définition est peut-être inutile, car elle peut être, implicitement, contenue dans les premières lignes de cette définition.

Définition

${\cal {D}}$ dimension temporelle (éternelle), représentative de ${\cal {T}}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

$\displaystyle {{\cal {D}}\,\,{\mbox{dimension de}}\,\,{\cal {T}}\,\,{\mbox{et}}\,\,\exists {\cal {D}}_{0}\,\,{\mbox{dimension temporelle (éternelle) minimale, représentative de}}\,\,{\cal {T}}\,\,:\,\,{\cal {D}}_{0}\,\,{\mbox{dimension de}}\,\,{\cal {D}}}$

Exemple

$\displaystyle {{\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)\neq \emptyset (t)}T(t){\Big )}\bigsqcup {\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)=\emptyset (t)}\{\emptyset (t)\}{\Big )}}$ et $\displaystyle {\bigsqcup _{t\in T}\{\emptyset (t)\}}$ sont des dimensions temporelles (éternelles), (représentative de ${\cal {T}})$, et $\displaystyle {{\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)\neq \emptyset (t)}T(t){\Big )}\bigsqcup {\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)=\emptyset (t)}\{\emptyset (t)\}{\Big )}}$ est même maximale (dans un sens facile à deviner que je préciserai plus tard) et $\displaystyle {\bigsqcup _{t\in T}\{\emptyset (t)\}}$ est même minimale.

Définition

$\displaystyle {{\mbox{Soit}}\,\,{\cal {D}}\,\,{\mbox{une dimension de}}\,\,{\cal {T}}\,\,:\,\,{\cal {D}}=\bigsqcup _{t\in T_{\cal {D}}}D(t)\,\,{\mbox{où}}\,\,\forall t\in T_{\cal {D}},\,\,D(t)\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,{\mbox{et}}\,\,T_{\cal {D}}\in {\cal {P}}(T)}$.

${\cal {D}}_{0}$ dimension temporelle minimale, représentative de ${\cal {D}}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

${\cal {D}}_{0}$ dimension de ${\cal {T}}$

$\displaystyle {{\mbox{et}}\,\,\exists x\,\,:\,\,T_{\cal {D}}\longrightarrow {\cal {T}}\bigsqcup {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,t\longmapsto x(t)\in \{\emptyset (t)\}\,\,{\mbox{si}}\,\,T(t)=\emptyset (t)\,\,{\mbox{et}}\,\,x(t)\in T(t)\bigsqcup \{\emptyset (t)\}\,\,{\mbox{si}}\,\,T(t)\neq \emptyset (t)}$

$\displaystyle {{\mbox{et}}\,\,{\cal {D}}_{0}=\bigsqcup _{t\in T_{\cal {D}}}\{x(t)\}}=\{x(t)|t\in T_{\cal {D}}\}$

$\displaystyle {{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(\{x(t)|t\in T_{\cal {D}}\})={card}_{Q}(\{D(t)|t\in T_{\cal {D}}\})[={card}_{Q}(T_{\cal {D}})]}$

Définition

On reprend les notations de la définition précédente.

$\displaystyle {{\mbox{Si, de plus,}}\,\,T_{\cal {D}}=]-\infty ,b_{0})\bigsqcup {\Big (}\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{n-1}^{*}}(a_{i},b_{i}){\Big )}\bigsqcup (a_{n},+\infty [\,\,{\mbox{avec}}\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,a_{i}\in T,\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n-1},\,\,b_{i}\in T,\,\,T=\mathbb {R} }$

alors ${\cal {D}}$ est une dimension temporelle éternelle par blocs et ${\cal {D}}_{0}$ est une dimension temporelle éternelle par blocs, minimale, représentative de ${\cal {D}}$.

Si, de plus $T_{\cal {D}}=\mathbb {R}$

alors ${\cal {D}}$ est une dimension temporelle éternelle et ${\cal {D}}_{0}$ est une dimension temporelle éternelle, minimale, représentative de ${\cal {D}}$.

Définition

${\cal {D}}_{1}$ dimension temporelle, représentative de ${\cal {D}}_{2}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

$\displaystyle {{\cal {D}}_{1}\,\,{\mbox{dimension de}}\,\,{\cal {D}}_{2}\,\,{\mbox{et}}\,\,\exists {\cal {D}}_{0}\,\,{\mbox{dimension temporelle minimale, représentative de}}\,\,{\cal {D}}_{2}\,\,:\,\,{\cal {D}}_{0}\,\,{\mbox{dimension de}}\,\,{\cal {D}}_{1}}$

Remarque : Si, de plus ${\cal {D}}_{0}$ est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), minimale, représentative de ${\cal {D}}_{2}$, alors ${\cal {D}}_{1}$ est une dimension temporelle éternelle (respectivement éternelle par blocs), représentative de ${\cal {D}}_{2}$.

Remarques

Au lieu de considérer un espace ${\cal {T}}\times T$ comme l'Histoire exhaustive de $Tout$ et $\forall t\in T$, l'espace ${\cal {T}}\times \{t\}$ :

Nous considérons $\forall t\in T$, l'espace $T(t)$, $\displaystyle {\bigsqcup _{t\in T}T(t)={\cal {T}}}$.

Remarque : On ne prend pas nécessairement ${\cal {T}}=E\times T$, ni $\forall t\in T,\,\,T(t)=E\times \{t\}$ : $\forall t\in T,\,\,T(t)\,\,{\mbox{est une tranche variable de}}\,\,{\cal {T}},$

en tout cas beaucoup plus variable qu'une tranche $E\times \{t\}$ de $E\times T$.

On peut d'ailleurs considérer que $\forall t\in T,\,\,T(t)$ est l'ensemble maximal pour l'inclusion, pour tous les corps existant à l'instant $t$.

On suppose donc $\displaystyle {\forall t_{1},t_{2}\in T,\,\,t_{1}\neq t_{2},\,\,T(t_{1})\bigcap T(t_{2})=\emptyset }$

On établit approximativement l'indépendance de certaines dimensions que localement :

Mais rien ne nous dit qu'à plus grande échelle cette propriété est vérifiée :

Il est fort probable que plus la partie de ${\cal {T}}$, que nous connaîtrons, sera grande, plus nous connaîtrons de dimensions et moins elles seront indépendantes, c'est pour cela que je préfère appeller dimension, toute partie de $\displaystyle {{\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)\neq \emptyset (t)}T(t){\Big )}\bigsqcup {\Big (}\bigsqcup _{t\in T|T(t)=\emptyset (t)}\{\emptyset (t)\}{\Big )}}$

${\Big (}$ et pas seulement et simplement toute partie de ${\cal {T}}$ :

En effet, $\displaystyle {{\cal {T}}=\bigsqcup _{t\in T}T(t)}$ et il se peut que $\exists t\in T,\,\,T(t)=\emptyset (t)$, or $\not \exists x_{t}\in \emptyset (t)$, or $\forall t\in T$, il existe pourtant bien une dimension représentative de $\emptyset (t)$ :

C'est le singleton constitué de l'élément $\emptyset (t)$, $\{\emptyset (t)\}$ ${\Big )}$.

Remarque : En fait, $Tout$ dont nous pressentons et connaissons, intuitivement, certaines propriétés, est un indéfinissable.

Remarque

Je pensais le contraire, mais je pense aujourd'hui que la question de l'existence de Dieu est un indécidable irréductible, du moins, dans l'état de nos connaissances actuelles.

Déjà, le monde microscopique quantique avec la logique qui lui est associée, est une réalité :

On pourrait aussi envisager que Tout corresponde à un enchevêtrement de mondes ayant chacun sa propre logique.

De fait, toute démonstration utilisant la logique classique, avec son principe du tiers exclus, est inappropriée lorsqu'on étudie Tout, et en particulier Dieu.

Bien que nous ayons une connaissance et une appréhension de certaines des propriétés de Tout :

Comme nous n'aurons toujours qu'une connaissance locale et relative de ce dernier, la logique qui lui est associée, nous sera à jamais inaccessible.

La logique quantique est différente de la logique classique, la notion d'inclusion quantique de parties quantiques, est différente de celle d'inclusion classique de parties classiques :

Dans le cadre de la mécanique quantique qui est différent et plus général que celui de la mécanique newtonienne, les parties considérées ne se ramènent pas nécessairement à une tribu de parties, classique :

En effet à l'échelle quantique, il peut y avoir superposition de 2 états (ou évènements) :

Et comme toute théorie physique est relative et révolutionnable et dépend de logiques plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et de notion d'inclusions plus ou moins complexes et abstraites, qui lui sont propres, et que Tout est un indéfinissable, malgré la connaissance que nous avons de certaines de ses propriétés :

Jamais nous n'atteindrons ou n'accèderont à des notions de logique, d'inclusion et même d'existence universelles :

Les notions de logique, d'inclusion et d'existence auxquelles nous aurons accès, dépendront, toujours, des cadres relatifs dans lesquels nous nous placerons, et celles du cadre universel, nous resteront, à jamais, inaccessibles :

La notion d'existence dont je vais parler dans la suite, n'est pas l'existence mathématique, mais une des existences philosophiques, qui se formalise mathématiquement :

Ce n'est nullement du galimacia à la Jean-Paul Sartre sur l'existence, là elle est dépouillée de toute ambiguïté :

Il ne s'agit pas du fait d'exister à travers soi et les autres, qui est plus relatif à la puissance de nos interactions avec soi et les autres, de plus, la notion de puissance, peut être subjective et relative, à chacun.

En utilisant et en faisant appel à la logique classique :

Il est fort probable qu'il n'existe pas d'état premier de Tout et que Tout soit incréé, et puis supposons que cet état premier ait existé, à cet état premier, Tout s'est réduit au pire à l'Ensemble vide, donc, dans ce cas, Tout existe, et existera toujours, et sinon Tout s'est réduit ou se réduira au pire à l'Ensemble vide, donc Tout a toujours existé, existe, et existera toujours, pas nécessairement par rapport à l'Espace-Temps, mais par rapport à quelque chose d'éternel, l'Ensemble vide, le complémentaire de Tout dans lui-même, qui peut s'identifier parfois à Tout, dans son état minimal.

Il est possible que Tout ne s'est jamais contracté et réduit à l'Ensemble vide :

De toute façon qu'il se soit réduit ou pas, qu'il se réduise un jour, ou ne se réduise jamais à l'Ensemble vide, Tout est Eternel.

Dieu, est une partie de Tout (pouvant se confondre avec Tout), s'il existe, et c'est, éventuellement, le créateur de Tout, et, c'est, éventuellement, un être sensible, pensant, conscient, s'il existe.

Existence

Soient $\displaystyle {{\cal {D}},{\cal {O}}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$.

Définition

L'application existence, pour les corps ou les processus, est définie par :

$\displaystyle {{existence}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\cal {T}})\longrightarrow {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,{\cal {O}}\,\,\longmapsto \,\,{existence}({\cal {O}})={\cal {O}}}$

En particulier, si ${\cal {O}}=O(t_{0})\in {\cal {P}}{\Big (}T(t_{0}){\Big )}$, avec $t_{0}\in T$, ${existence}{\Big (}O(t_{0}){\Big )}=O(t_{0})$

Remarque (A propos de l'existence mathématique) :

$\displaystyle {\exists x\in E'\,\,\Longleftrightarrow \,\,E'\neq \emptyset \,\,\Longleftrightarrow \,\,{card}_{E}(E')\geq 1\,\,\Longleftrightarrow \,\,{card}_{Q}(E')\geq 1}$

Définition

On définit l'application existence commune à tout corps et au corps ${\cal {D}}$

(ou dans un certain sens, l'application existence par rapport au corps ${\cal {D}}$), par :

$\displaystyle {{existence}(.|{\cal {D}})\,\,:\,\,{\cal {P}}({\cal {T}})\,\,\longrightarrow \,\,{\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,{\cal {O}}\,\,\longmapsto \,\,{existence}({\cal {O}}|{\cal {D}})={\cal {O}}\cap {\cal {D}}}$

et $existence({\cal {O}}|{\cal {D}})$ s'appelle l'existence commune au corps ${\cal {O}}$ et au corps ${\cal {D}}$

(ou dans un certain sens, l'existence du corps ${\cal {O}}$ par rapport au corps ${\cal {D}}$),

En particulier, si ${\cal {O}}=O(t_{0}),{\cal {D}}=D(t_{0})\in {\cal {P}}{\Big (}T(t_{0}){\Big )}$, avec $t_{0}\in T$

${existence}{\Big (}O(t_{0}){\Big |}D(t_{0}){\Big )}=O(t_{0})\cap D(t_{0})$

Propriétés

1) ${existence}({\cal {O}}|{\cal {D}})={\cal {O}}\cap {\cal {D}}={\cal {D}}\cap {\cal {O}}={existence}({\cal {D}}|{\cal {O}})$

2) ${existence}({\cal {D}}|{\cal {D}})={\cal {D}}\cap {\cal {D}}={\cal {D}}={existence}({\cal {D}})$

3) Si ${\cal {D}}\subset {\cal {O}}$, ${existence}({\cal {O}}|{\cal {D}})={\cal {O}}\cap {\cal {D}}={\cal {D}}={existence}({\cal {D}})$

Essence

Attention, ici, essence a le même sens que celui de nature.

Soient $\displaystyle {{\cal {O}},{\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$.

Définition

On pose $\displaystyle {{\cal {B}}ij({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2})={\Big \{}b\,\,:\,\,{\cal {O}}_{1}\longrightarrow {\cal {O}}_{2}{\Big |}b\,\,bijection{\Big \}}}$

Définition

Si $\exists b_{1,2}\in {\cal {B}}ij({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2})$

On dit que ${\cal {O}}_{2}$ est l'essence de ${\cal {O}}_{1}$ par rapport à la bijection $b_{1,2}$

et on note ${\cal {O}}_{2}={essence}{\Big (}{\cal {O}}_{1}{\Big |}b_{1,2}{\Big )}$

Proposition

Si l'on note $b_{2,1}={(b_{1,2})}^{-1}$ la bijection réciproque de $b_{1,2}$ :

On a ${\cal {O}}_{1}={essence}{\Big (}{\cal {O}}_{2}{\Big |}b_{2,1}{\Big )}$

On peut prendre ${\cal {O}}_{2}={\cal {O}}_{1}$

et dans ce cas, $\exists b_{1,1}\in {\cal {B}}ij({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{1})$ : par exemple l'identité dans ${\cal {O}}_{1}$, ${id}_{{\cal {O}}_{1}}\in {\cal {B}}ij({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{1})$

et ${existence}({\cal {O}}_{1})={\cal {O}}_{1}={essence}({\cal {O}}_{1}|b_{1,1})$

En particulier, on peut prendre

${\cal {O}}_{1}=O_{1}(t_{1})\in {\cal {P}}{\Big (}T(t_{1}){\Big )}\,\,et\,\,{\cal {O}}_{2}=O_{2}(t_{2})\in {\cal {P}}{\Big (}T(t_{2}){\Big )}$ avec $t_{1},t_{2}\in T$

Définition

On pose $\displaystyle {{\cal {B}}ij({\cal {O}},.)={\Big \{}b\,\,:\,\,{\cal {O}}\,\,\longrightarrow \,\,{\cal {D}}_{\cal {O}}{\Big |}{\cal {D}}_{\cal {O}}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,et\,\,b\,\,bijection{\Big \}}}$

Définition

L'application essence est définie par :

$\displaystyle {{essence}({\cal {O}})\,\,:\,\,{\cal {B}}ij({\cal {O}},.)\longrightarrow {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,b\,\,\longmapsto \,\,{essence}({\cal {O}}|b)}$,

En particulier, on peut prendre ${\cal {O}}=O(t_{0})\in {\cal {P}}{\Big (}T(t_{0}){\Big )}$ avec $t_{0}\in T$.

On confondra ${essence}({\cal {O}})$ et $\{{essence}({\cal {O}}|b)|b\in {\cal {B}}ij({\cal {O}},.)\}$.

Essence spinoziste

Définition

Soit $\displaystyle {{\cal {O}}_{2}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$

$t_{1},t_{2}\in T\,\,:\,\,t_{1}<t_{2}$

$O_{1,0}(t_{1})={essence\,\,spinoziste}{\Big (}O_{2}(t_{2}){\Big )}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

$\displaystyle {{\cal {O}}_{1,0}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,O_{1,0}(t_{1})\,\,\Longrightarrow \,\,O_{2}(t_{2})}$

et $\displaystyle {{\bigg (}{\cal {O}}_{1}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,O_{1}(t_{1})\,\,\Longrightarrow \,\,O_{2}(t_{2}){\bigg )}\,\,\Longrightarrow \,\,O_{1,0}(t_{1})\subset O_{1}(t_{1})}$

Notation

$\displaystyle {\forall {\cal {O}}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,{\cal {O}}=\bigsqcup _{t\in T}O(t)}$

On pose $\displaystyle {\forall T_{0}\in {\cal {P}}(T),\,\,{\cal {O}}_{|T_{0}}=\bigsqcup _{t\in T_{0}}O(t)}$

On pourrait donner une version généralisée de cette définition, avec interaction causale simultanée et non nécessairement entre 2 instants différents ou entre 2 durées différentes, l'une étant strictement antérieure à l'autre.

On pourrait pour faire preuve de plus d'abstraction, chercher des définitions qui ne s'appliquent pas, nécessairement, à notre monde, mais qui pourraient s'appliquer à d'autres.

Dans la suite, les cas $T_{1}\bigcap T_{2}\neq \emptyset$ ou $T_{1}>T_{2}$ étant délicats et/ou posant des problèmes, ont été exclus.

Définition

Soit $\displaystyle {{\cal {O}}_{2}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$

$T_{1},T_{2}\in {\cal {P}}(T)\,\,:\,\,T_{1}<T_{2}$

${{\cal {O}}_{1,0}}_{|T_{1}}={essence\,\,spinoziste}{\Big (}{{\cal {O}}_{2}}_{|T_{2}}{\Big )}$

$\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}$

$\displaystyle {{\cal {O}}_{1,0}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,{{\cal {O}}_{1,0}}_{|T_{1}}\,\,\Longrightarrow \,\,{{\cal {O}}_{2}}_{|T_{2}}}$

et $\displaystyle {{\bigg (}{\cal {O}}_{1}\in {\cal {P}}({\cal {T}})\,\,:\,\,{{\cal {O}}_{1}}_{|T_{1}}\,\,\Longrightarrow \,\,{{\cal {O}}_{2}}_{|T_{2}}{\bigg )}\,\,\Longrightarrow \,\,{{\cal {O}}_{1,0}}_{|T_{1}}\subset {{\cal {O}}_{1}}_{|T_{1}}}$

Ensemble de relations entre 2 corps

Définition

Soient $\displaystyle {{\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$

${relations}({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2})=_{d{\acute {e}}f}{\cal {P}}({\cal {O}}_{1}\times {\cal {O}}_{2})$

Remarque

Soient $\displaystyle {{\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2}\in {\cal {P}}({\cal {T}})}$

On peut avoir ${existence}({\cal {O}}_{1}|{\cal {O}}_{2})=\emptyset$,

mais si ${\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2}\neq \emptyset$, on a toujours ${relations}({\cal {O}}_{1},{\cal {O}}_{2})\neq \emptyset$

Puissance, puissance externe, puissance interne, d'un corps, formalisées mathématiquement

Préambule

Remarque :

Pour ce qui concerne la puissance d'interaction totale d'un corps principal :

Pour la puissance externe de ce corps :

Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, composée de ce corps principal et des autres (ou d'autres) corps, interagissant, avec lui $(1)$.

Pour la puissance interne de ce corps principal :

Il faut considérer une partition dynamique, dans le temps, de ce corps principal $(2)$.

Pour couvrir, entièrement, les réseaux formés des corps de chaque partition, on considère des maillages triangulaires de corps :

A chaque maillon du maillage triangulaire de corps, on considère la puissance élémentaire des interactions mutuelles des $3$ corps qui le composent et qui lui est associée, puis en prenant soin de ne pas comptabiliser les doublons, on intègre la fonction puissance élémentaire, sur tout le maillage ou sur tout le réseau, c'est-à-dire sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique $(1)$, à l'instant $t$, pour obtenir la puissance externe d'interaction du corps principal à l'instant $t$, et sur tous les maillons triangulaires de la partition dynamique $(2)$, à l'instant $t$, pour obtenir la puissance interne d'interaction du corps principal, à l'instant $t$, puis on somme ces 2 dernières, pour obtenir la puissance totale d'interaction du corps principal, à l'instant $t$.

Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps :

J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies.

Tant qu'à faire, j'ai généralisé la définition de puissance externe, interne et totale, d'interaction, à tout type d'intégrale et de mesure, en particulier à la mesure de comptage sur $\mathbb {N} _{n}^{*}$.

Comme vous pouvez le constater, les idées mises en oeuvre, sont simples.

Remarque importante : On se place, ici, dans le cadre de la mécanique newtonienne : L'espace $E\times T$ s'appelle l'espace-temps newtonien où $E\times T\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$, pour un $n\in \mathbb {N} ^{*}$ donné.

Remarque : La plupart des ensembles considérés reposent, essentiellement, sur des partitions.

On se donne un ensemble $I\in {\cal {P}}(E\times T)$.

La donnée de cet ensemble induit une application

${\widehat {I}}\,\,:\,\,T\,\,\longrightarrow \,\,{\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,t\,\,\longmapsto \,\,{\widehat {I}}(t)=I\cap (E\times \{t\})$.

C'est la "tranche" de $I$ à l'instant $t$.

On a $\displaystyle {I=\bigsqcup _{i\in T}{\widehat {I}}(t)\in {\cal {P}}(E\times T)}$

Par construction,

$\forall t\in T,\,\,{\widehat {I}}(t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})$

Il est équivalent de dire que

${\widehat {I}}\,\,:\,\,T\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,t\,\,\longmapsto \,\,{\widehat {I}}(t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})$

où $\displaystyle {I=\bigsqcup _{t\in T}{\widehat {I}}(t)}$.

On peut remarquer, si on le souhaite que

$t\in T\,\,et\,\,(i,t)\in {\widehat {I}}(t)$

$\iff t\in T\,\,et\,\,(i,t)\in I\cap (E\times \{t\})$

$\iff t\in T\,\,et\,\,(i,t)\in I\,\,et\,\,(i,t)\in E\times \{t\}$

$\iff t\in T\,\,et\,\,(i,t)\in I\,\,et\,\,i\in E\,\,et\,\,t=t$.

$\iff (i,t)\in I\,\,et\,\,(i,t)\in E\times T$

$\iff (i,t)\in I$ car $I\in {\cal {P}}(E\times T)$.

Soit $I\in {\cal {P}}(E\times T)$

On pose

$\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}(I,E,T)}$

$\displaystyle {={\Big \{}{\widehat {I}}{\Big |}{\widehat {I}}\,\,:\,\,T\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,t\,\,\longmapsto \,\,{\widehat {I}}(t)=I\cap (E\times \{t\}){\Big \}}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{\widehat {I}}{\Big |}{\widehat {I}}\,\,:\,\,T\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,t\,\,\longmapsto \,\,{\widehat {I}}(t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})\,\,et\,\,I=\bigsqcup _{t\in T}{\widehat {I}}(t){\Big \}}}$

On pose $\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}(E,T)={\Big \{}{\widehat {I}}\in {\widehat {\cal {A}}}(I,E,T){\Big |}I\in {\cal {P}}(E\times T){\Big \}}}$

Soit $J\in {\cal {P}}(E\times T)$

On pose

$\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}(J,I,E,T)}$

$\displaystyle {={\Big \{}{\widehat {I}}(J)\in {\widehat {\cal {A}}}(I,E,T){\Big |}{\widehat {J}}\in {\widehat {\cal {A}}}(J,E,T),\,\,\forall t\in T,\,\,{\widehat {J}}(t)\in {\mathcal {P}}{\Big (}{\widehat {I}}(J)(t){\Big )}\,\,et\,\,\forall (j,t)\in J,\,\,\exists {\widehat {I}}(J)(j,t)\in {\cal {P}}{\Big (}{\widehat {I}}(t){\Big )}\,\,:}$

$\displaystyle {\forall t\in T,\,\,\bigsqcup _{(j,t)\in {\widehat {J}}(t)}{\widehat {I}}(J)(j,t)={\widehat {I}}(J)(t){\Big \}}}$

$\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}(J,.,E,T)={\Big \{}{\widehat {I}}(J)\in {\widehat {\cal {A}}}(J,I,E,T){\Big |}I\in {\cal {P}}(E\times T){\Big \}}}$

On suppose, par ailleurs, donnée une autre application

${\widehat {\widehat {P}}}(I)\,\,:\,\,I\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,(i,t)\,\,\longmapsto \,\,{\widehat {\widehat {P}}}(i,t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})$.

On suppose aussi que pour

$\displaystyle {\forall (i_{1},t_{1}),(i_{2},t_{2})\in I,\,\,(i_{1},t_{1})\neq (i_{2},t_{2}),\,\,{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t_{1})\bigcap {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t_{2})=\emptyset }$

c'est-à-dire $\displaystyle {{{\Big (}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t){\Big )}}_{(i,t)\in I}\,\,partition}$

On pose

$\displaystyle {{\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T)}$

$\displaystyle {={\Big \{}{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big |}{\widehat {\widehat {P}}}(I)\,\,:\,\,I\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,(i,t)\longmapsto {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})}$

$\displaystyle {telle\,\,que\,\,\forall (i_{1},t_{1}),(i_{2},t_{2})\in I,\,\,(i_{1},t_{1})\neq (i_{2},t_{2}),\,\,{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t_{1})\bigcap {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t_{2})=\emptyset }{\Big \}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big |}{\widehat {\widehat {P}}}(I)\,\,:\,\,I\longrightarrow {\cal {P}}(E\times T)\,\,:\,\,(i,t)\longmapsto {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)\in {\cal {P}}(E\times \{t\})\,\,telle\,\,que\,\,{{\Big (}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t){\Big )}}_{(i,t)\in I}\,\,partition}{\Big \}}$.

On pose $\displaystyle {{\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(E,T)={\Big \{}{\widehat {\widehat {P}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T){\Big |}I\in {\cal {P}}(E\times T){\Big \}}}$.

Dans la suite on confondra ${\widehat {\widehat {P}}}(I)$ et $\displaystyle {\{{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)|(i,t)\in I\}=\{{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)|t\in T\,\,et\,\,(i,t)\in {\widehat {I}}(t)\}}$

Et on pose $\displaystyle {P(I)=\bigsqcup _{t\in T}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(t)=\bigsqcup _{t\in T}\bigsqcup _{(i,t)\in {\widehat {I}}(t)}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)=\bigsqcup _{(i,t)\in I}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)\,\,o{\grave {u}}\,\,{\widehat {\widehat {P}}}(I)(t)=\bigsqcup _{i\in {\widehat {I}}(t)}{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)}$,

on a $\displaystyle {\forall t_{1},t_{2}\in T,\,\,t_{1}\neq t_{2},\,\,{\widehat {\widehat {P}}}(I)(t_{1})\bigcap {\widehat {\widehat {P}}}(I)(t_{2})=\emptyset }$

c'est-à-dire $\displaystyle {\forall (i_{1},t_{1}),(i_{2},t_{2})\in I,\,\,t_{1}\neq t_{2},\,\,(i_{1},t_{1})\neq (i_{2},t_{2}),\,\,{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t_{1})\bigcap {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t_{2})=\emptyset }$

Soient $I,Q\in {\cal {P}}(E\times T)$.

Soit ${\widehat {\widehat {P}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T)$

On pose $\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}_{0}{\Big (}I,Q,{\widehat {\widehat {P}}}(I),E,T{\Big )}=\{{\widehat {Q}}\in {\widehat {\cal {A}}}(Q,E,T)|\forall (i,t)\in I,\,\,{\widehat {Q}}(t)\bigcap {\widehat {\widehat {P}}}(I)(i,t)=\emptyset \}}$

On pose $\displaystyle {{\widehat {\cal {A}}}_{0}{\Big (}I,.,{\widehat {\widehat {P}}}(I),E,T{\Big )}={\Big \{}{\widehat {Q}}\in {\widehat {\cal {A}}}_{0}{\Big (}I,Q,{\widehat {\widehat {P}}}(I),E,T{\Big )}{\Big |}Q\in {\cal {P}}(E\times T){\Big \}}}$

Soit $I\in {\cal {P}}(E\times T)$.

Soit ${\widehat {I}}\in {\cal {A}}(I,E,T)$.

Soit $t\in T$.

Soit ${\cal {E}}(t)$ une tribu sur ${\widehat {I}}(t)$

Soit $\mu (t)\,\,:\,\,{\cal {E}}(t)\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} }}$ une mesure

Soit ${\cal {E}}$ une tribu sur $I$

Soit $\mu \,\,:\,\,{\cal {E}}\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} }}$ une mesure

L'application $\displaystyle {{{\cal {P}}uissance}(\mu )\,\,:\,\,{\cal {P}}^{3}(E\times T)\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} }}\,\,:\,\,(A,B,C)\,\,\longmapsto \,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B,C)}$

telle que $\forall (A,B_{1},B_{2})\in {\cal {P}}^{3}(E\times T),\,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B_{1},B_{2})={{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B_{2},B_{1})$

et telle que $\forall (A,B,C)\in {\cal {P}}^{3}(E\times T)$

$\displaystyle {{{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B,C)={{\cal {P}}uissance}(\mu )(B,A,C)={{\cal {P}}uissance}(\mu )(C,A,B)}$

où le terme ${{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B,C)$

s'appelle la puissance des interactions de $A$,

en interaction avec les interactions de $B$ avec $C$,

par rapport à la mesure $\mu$.

(Remarque : Le terme ${{\cal {P}}uissance}(\mu )(A,B,B)$, s'appelle la puissance des interactions de $A$, en interaction avec les interactions de $B$ avec $B$, ou bien, plus simplement, la puissance des interactions entre $A$ et $B$)

et telle que

(Dans la définition de la puissance élémentaire entre 3 corps :

J'ai tenté de donner des conditions d'intégrabilité, afin que mes intégrales soient parfaitement définies.)

Notations :

Soient $f\,\,:\,\,E\times F\longrightarrow H$ et $E_{0}\times F_{0}\in {\cal {P}}(E\times F)$

Soit $h\,\,:\,\,H\,\,\longrightarrow \,\,K$

          Alors $f{|}_{E_{0}\times F_{0}}(.,.)=f{|}_{E_{0}\times F_{0}}$

          et  $h{\Big (}f(.,.){\Big )}{\Big |}_{E_{0}\times F_{0}}=(h\circ f){|}_{E_{0}\times F_{0}}(.,.)=(h\circ f){|}_{E_{0}\times F_{0}}$.

Soient $g\,\,:\,\,E\times F\times G\longrightarrow H$ et $E_{0}\times F_{0}\times G_{0}\in {\cal {P}}(E\times F\times G)$

Soit $k\,\,:\,\,H\,\,\longrightarrow \,\,K$

          Alors $g{|}_{E_{0}\times F_{0}\times G_{0}}(.,.,.)=g{|}_{E_{0}\times F_{0}\times G_{0}}$

          et  $k{\Big (}g(.,.,.){\Big )}{\Big |}_{E_{0}\times F_{0}\times G_{0}}=(k\circ g){|}_{E_{0}\times F_{0}\times G_{0}}(.,.,.)=(k\circ g){|}_{E_{0}\times F_{0}\times G_{0}}$.

Soit $t\in T$.

Soit $A\in {\cal {P}}(E\times T)$.

$\forall {\widehat {A}}\in {\widehat {\cal {A}}}(A,E,T),\forall {\widehat {\widehat {B}}}(I),{\widehat {\widehat {C}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T),\,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {A}}(t),{\widehat {\widehat {B}}}(I)(.,t),{\widehat {\widehat {C}}}(I)(.,t){\Big )}{|}_{\{i\in E|(i,t)\in I\}^{2}}$

$\in L^{1}{\Big (}\{i\in E|(i,t)\in I\}^{2},\,\,?,\,\,?{\Big )}$

$\forall {\widehat {A}}\in {\widehat {\cal {A}}}(A,E,T),\forall {\widehat {\widehat {B}}}(I),{\widehat {\widehat {C}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T),\,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {A}}(.),{\widehat {\widehat {B}}}(I)(.,.),{\widehat {\widehat {C}}}(I)(.,.){\Big )}{|}_{T\times {I}^{2}}$

$\in L^{1}{\Big (}T\times {I}^{2},\,\,{\cal {B}}(T)\otimes {\cal {E}}^{\otimes 2},\,\,\lambda \otimes \mu ^{\otimes 2}{\Big )}$

$\forall t\in T,$

$\forall {\widehat {A}}\in {\widehat {\cal {A}}}(I,A,E,T),\forall {\widehat {\widehat {B}}}(I),{\widehat {\widehat {C}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T),\,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {A}}(I)(.,t),{\widehat {\widehat {B}}}(I)(.,t),{\widehat {\widehat {C}}}(I)(.,t){\Big )}{|}_{\{i\in E|(i,t)\in I\}^{3}}$

$\in L^{1}{\Big (}\{i\in E|(i,t)\in I\}^{3},\,\,?,\,\,?{\Big )}$

et $\forall {\widehat {A}}\in {\widehat {\cal {A}}}(I,A,E,T),{\widehat {\widehat {B}}}(I),{\widehat {\widehat {C}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T),\,\,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {A}}(I)(.,.),{\widehat {\widehat {B}}}(I)(.,.),{\widehat {\widehat {C}}}(I)(.,.){\Big )}{|}_{{I}^{3}}$

$\in L^{1}{\Big (}{I}^{3},\,\,{\cal {E}}^{\otimes 3},\,\,\mu ^{\otimes 3}{\Big )}$

Remarque : On ne peut obtenir et prendre en compte la totalité du réseau entre les éléments d'une partition, que si on fait au moins des maillages triangulaires.

Puissance externe d'un corps

Définition

En tenant compte des notations de remarque et de ce qui précède et en supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons de

${{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t){\Big )}$,

dans les expressions suivantes, on obtient :

Soit $I\in {\cal {P}}(E\times T)$.

Soit $t\in T$.

Soit ${\cal {E}}(t)$ une tribu sur ${\widehat {I}}(t)$

Soit $\mu (t)\,\,:\,\,{\cal {E}}(t)\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} }}$ une mesure

Soit ${\widehat {\widehat {P}}}(I)\in {\widehat {\widehat {\cal {A}}}}(I,E,T)$

L'application ${{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,.,{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}$ est définie par :

$\displaystyle {{{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,.,{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}\,\,:\,\,{\widehat {\cal {A}}}_{0}(I,.,{\widehat {\widehat {P}}}(I),E,T)\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} }}\,\,:\,\,{\widehat {O}}\longmapsto {{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}}$

où

${{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}$

$\displaystyle {={\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {I}}(t)}\int _{{\widehat {I}}(t)}{\mathbb {I} }_{(i_{1}\neq i_{2})}(i_{1},i_{2}){{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)\,\,d\mu (t)(i_{2},t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {I}}(t)}{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)}$

En prolongeant les partitions, $\forall t\geq \,\,ou\,\,>\sup(T)$

${{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}$

$\displaystyle {{\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {I}}(t)}\int _{{\widehat {I}}(t)}{\mathbb {I} }_{(i_{1}\neq i_{2})}(i_{1},i_{2}){{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)\,\,d\mu (t)(i_{2},t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {I}}(t)}{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)}$

Puissance interne d'un corps

Définitions

Soit $t\in T$

Soit ${\widehat {O}}\in {\widehat {\cal {A}}}(J,.,E,T)$

${{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})={{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}\,\,{\mathbb {I} }_{\mathbb {R} _{+}}{\bigg (}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}{\bigg )}$

Soit $J\in {\cal {P}}(E\times T)$

Soit $t\in T$

Soit ${\cal {F}}(t)$ une tribu sur ${\widehat {J}}(t)$

Soit $\nu (t)\,\,:\,\,{\cal {F}}(t)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ une mesure.

L'application mesurable ${{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,.)$ est définie par :

$\displaystyle {{{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,.)\,\,:\,\,{\widehat {\cal {A}}}(J,.,E,T)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} _{+}}}\,\,:\,\,{\widehat {O}}\,\,\longmapsto \,\,{{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})={{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}\,\,{\mathbb {I} }_{\mathbb {R} _{+}}{\bigg (}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}{\bigg )}}$

Proposition

En supprimant et en ne prenant pas en compte les doublons, la relation :

Si $t\in T$

${{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})$

$\displaystyle {={\bigg (}{\frac {1}{6}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}\neq j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+{\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}=j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j=j_{1},j=j_{2},j_{1}=j_{2})}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t){\bigg )}}$

$\displaystyle {{\mathbb {I} }_{\overline {\mathbb {R} _{+}}}{\bigg (}{\frac {1}{6}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}\neq j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+{\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}=j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j=j_{1},j=j_{2},j_{1}=j_{2})}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t){\bigg )}}$

$\displaystyle {={\bigg (}{\frac {1}{6}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}\neq j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+{\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j,t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t){\bigg )}}$

$\displaystyle {{\mathbb {I} }_{\overline {\mathbb {R} _{+}}}{\bigg (}{\frac {1}{6}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{\mathbb {I} }_{(j\neq j_{1},j\neq j_{2},j_{1}\neq j_{2})}(j_{1},j_{2},j){{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{2},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j_{2},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+{\frac {1}{2}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t),{\widehat {O}}(J)(j_{1},t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j_{1},t)\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j,t),{\widehat {O}}(J)(j,t){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t){\bigg )}}$

$\displaystyle {={\Bigg (}{\frac {1}{3}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}J,\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}}(J)(j,.),{\widehat {O}}(J)\setminus {\widehat {O}}(J)(j,.){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}{{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}}(J)(j,.){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t){\Bigg )}}$

$\displaystyle {{\mathbb {I} }_{\overline {\mathbb {R} _{+}}}{\Bigg (}{\frac {1}{3}}\int _{{\widehat {J}}(t)}\,\,{{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}J,\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}}(J)(j,.),{\widehat {O}}(J)\setminus {\widehat {O}}(J)(j,.){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {J}}(t)}{{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}}(J)(j,.){\Big )}\,\,d\nu (t)(j,t){\Bigg )}}$

Puissance d'interaction, totale d'un corps

Définition

${{\cal {P}}uissance}{\Big (}I,\nu ,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ),{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}(t,O)$

$={{\cal {P}}uissance}{\Big (}I,\nu ,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ),{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})$

$={{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})+{{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})$

$={{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,O)+{{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}(t,O)$

où ${{\cal {P}}uissance}_{interne}{\Big (}\nu ,{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big )}(t,{\widehat {O}})$

$={{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}\,\,{\mathbb {I} }_{\mathbb {R} _{+}}{\bigg (}{{\cal {P}}uissance}(\nu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t),{\widehat {O}}(t){\Big )}{\bigg )}$

et où ${{\cal {P}}uissance}_{externe}{\Big (}I,\mu ,{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big )}{\Big (}t,{\widehat {O}},{\widehat {\widehat {P}}}(I){\Big )}$

$\displaystyle {={\frac {1}{2}}\,\,\int _{{\widehat {I}}(t)}\int _{{\widehat {I}}(t)}{\mathbb {I} }_{(i_{1}\neq i_{2})}(i_{1},i_{2}){{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{2},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)\,\,d\mu (t)(i_{2},t)}$

$\displaystyle {+\int _{{\widehat {I}}(t)}{{\cal {P}}uissance}(\mu ){\Big (}{\widehat {O}}(t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t),{\widehat {\widehat {P}}}(I)(i_{1},t){\Big )}\,\,d\mu (t)(i_{1},t)}$

Exemples

Exemple 1

A un instant donné :

Soit le département de Paris

et les départements de la première couronne :

Ils sont deux à deux disjoints.

La puissance externe du département de Paris

par rapport aux départements de la première couronne

est égale à

la demi somme des puissances

des interactions du département de Paris

en interaction

avec toutes les interactions entre chaque département de la première couronne {et/avec} un autre département différent, de la première couronne

plus la somme des puissances

des interactions du département de Paris

en interaction

avec toutes les interactions de chaque département de la première couronne, avec lui-même.

La puissance des interactions du département de Paris

en interaction

avec les interactions d'un département de la première couronne, avec lui-même

est aussi la puissance des interactions du département de Paris, avec ce même département de la première couronne.

Exemple 2

On prend $T=\mathbb {R}$

On prend l'instant $t=t_{0}$ dans la première ligne.

On prend ${\widehat {I}}(t_{0})=\mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}$.

On a $\displaystyle {I=\bigsqcup _{t\in T}{\widehat {I}}(t)=\mathbb {N} _{2}^{*}\times T=\mathbb {N} _{2}^{*}\times \mathbb {R} }$

On prend ${\widehat {O}}(t_{0})$, ${\widehat {\widehat {P}}}(1,t_{0})$, ${\widehat {\widehat {P}}}(2,t_{0})$, deux à deux disjoints.

On prend ${\cal {E}}(t_{0})={\cal {P}}{\Big (}{\widehat {I}}(t_{0}){\Big )}$ une tribu sur ${\widehat {I}}(t_{0})$.

c'est-à-dire ${\cal {E}}(t_{0})={\cal {P}}(\mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\})$

On prend $\mu (t_{0})$ une mesure de comptage sur ${\cal {E}}(t_{0})$

c'est-à-dire $\displaystyle {\mu (t_{0})\,\,:\,\,{\cal {E}}(t_{0})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,A\longmapsto \mu (t_{0})(A)=\sum _{i\in {\widehat {I}}(t_{0})}{\mathbb {I} }_{A}(i,t_{0})}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\mu (t_{0})\,\,\colon \,\,{\cal {P}}{\Big (}\mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}{\Big )}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\,\,\colon \,\,A=A'\times \{t_{0}\}\longmapsto \mu (t_{0})(A)=\sum _{(i,t_{0})\in \mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}}{\mathbb {I} }_{A}(i,t_{0})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{2}^{*}}{\mathbb {I} }_{A'}(i)}$

Remarque : Soit $f(t_{0})\,\,:\,\,{\cal {E}}(t_{0})={\cal {P}}{\Big (}\mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}{\Big )}\,\,\longmapsto \,\,{\overline {\mathbb {R} }}$ une fonction mesurable.

$\displaystyle {\mu (t_{0})(A)=\int _{\mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}}{\mathbb {I} }_{A}(i,t_{0})\,\,d\mu (t_{0})(i,t_{0})=\sum _{(i,t_{0})\in \mathbb {N} _{2}^{*}\times \{t_{0}\}}{\mathbb {I} }_{A}(i,t_{0})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{2}^{*}}{\mathbb {I} }_{A'}(i)}$

donc ${\int <!--\; \int \; -->}_{A}f(t_0)(i,t_0)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(t_0)(i,t_0)={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathbb{N}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\times <!--\; \times \; -->\{t_{}}$